第2章 力动量能量

兰州城市学院大学物理学兰州城市学院培黎工程技术学院

兰州城市学院力动量能量第二章兰州城市学院第2章力动量能量

2.1

牛顿运动定律

2.2功和能

2.3动量与冲量

2.4狭义相对论质点动力学初步

兰州城市学院2.1

牛顿运动定律

杰出的英国物理学家，经典物理学的奠基人．他的不朽巨著《自然哲学的数学原理》总结了前人和自己关于力学以及微积分学方面的研究成果，其中含有三条牛顿运动定律和万有引力定律，以及质量、动量、力和加速度等概念。在光学方面，他说明了色散的起因，发现了色差及牛顿环，他还提出了光的微粒说。

兰州城市学院古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle，公元前384一公元前322)认为：力是维持物体运动的原因。古代物理学的形式是属于经验总结性的，对事物的认识主要是凭直觉的观察、凭猜测和臆想。

兰州城市学院伽利略（Galileo，1564一1642）近代科学的先驱伽利略的斜面实验：如果把水平面制作得越是光滑，则小球会滚得更远。实验一

兰州城市学院实验二力不是维持运动的原因。

如果斜面的倾角无限小（平面），那么小球将沿平面几乎可以一直滚动过去。

伽利略对力学的贡献在于把有目的的实验和逻辑推理和谐地结合在一起，构成了一套完整的科学研究方法。

兰州城市学院1.牛顿第一定律（惯性定律）数学形式：

任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到其他物体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。三个重要概念：

惯性——质点不受力时保持静止或匀速直线运动状态的的性质，其大小用质量量度。

力——使质点改变运动状态的原因，力是改变速度的原因而不是维持速度的原因。

惯性系——质点处于静止或匀速直线运动状态(质点处于平衡状态)运动相对某一参考系而言，牛顿运动定律适用的参考系。兰州城市学院2牛顿第二定律定义：动量的变化率与外力成正比当V<<C时，m为常量几点说明：（1）牛顿运动方程只适用于质点的运动。（2）牛顿第二定律中和的关系为瞬时关系。（3）力的叠加原理:当几个外力同时作用于物体时，其合外力所产生的加速度与每一个外力所产生的加速度的矢量和是一样的。

兰州城市学院（4）矢量性：具体运算时应写成分量式在直角坐标系中，分量式和在自然坐标系中，分量式

兰州城市学院3牛顿第三定律（作用力和反作用力定律）两个物体之间作用力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上．（物体间相互作用规律）

兰州城市学院对牛顿第三定律的几点说明：(1)

作用力和反作用力总是成对出现的，同时产生，同时

消失。(2)

作用力和反作用力是分别作用在两个相互作用的物体

上的，不能相互抵消。(3)

作用力和反作用力总是属于同种性质的力。

兰州城市学院2.1.2力学中几种常见的力1

力的基本类型

四种基本自然力的特征1、引力（或称为万有引力）2、电磁力3、强力4、弱力力的种类相互作用的物体力的强度力程万有引力一切质点

无限远弱力大多数粒子

小于电磁力电荷

无限远强力核子、介子等

兰州城市学院温伯格萨拉姆格拉肖弱相互作用电磁相互作用电弱相互作用理论三人于1979年荣获诺贝尔物理学奖

。

鲁比亚,范德米尔实验证明电弱相互作用，1984年获诺贝尔奖

。电弱相互作用强相互作用万有引力作用“大统一”（尚待实现）

兰州城市学院1

万有引力：如果抛射速度足够大，则物体将绕地球转动，而永不落地。行星绕太阳的运动

兰州城市学院行星1：轨道半径为R1，加速度为a1，运行周期为T1行星2：轨道半径为R2，加速度为a2，运行周期为T2根据开普勒第三定律：引力与距离的平方成反比兰州城市学院万有引力定律：引力常量:

任何两个质点之间都存在互相作用的引力，引力的方向沿着两个质点的连线方向；其大小与两个质点质量ml和m2乘积成正比，与两质点之间距离r

的平方成反比。

第一宇宙速度：

第二宇宙速度：

兰州城市学院2.重力：重力是物体所受地球引力的一个分量。引力重力注：重力是地球对物体万有引力的一个分力，方向为竖直向

下，并非指向地心

兰州城市学院3.弹性力：物体在外力作用下因发生形变而产生欲使其恢复原来形状的力（k

称为劲度系数）0x胡克定律

兰州城市学院(1)静摩擦力当物体与接触面存在相对滑动趋势时，物体所受到接触面对它的阻力。其方向与相对滑动趋势方向相反。静摩擦力的大小随外力的变化而变化4.摩擦力：

兰州城市学院（2）滑动摩擦:当物体相对于接触面滑动时，物体所受到接触面对它的阻力。其方向与滑动方向相反。为滑动摩擦系数最大静摩擦力：为静摩擦系数

兰州城市学院(3)

黏滞阻力当物体穿过液体或气体运动时，会受到流体阻力。(1)当物体速度不太大时，流体为层流，阻力主要由流体的

粘滞性产生。(2)当物体速率超过某限度时（低于声速），流体出现旋涡，这时流体阻力与物体速率的平方成正比。(3)

当物体与流体的相对速度提高到接近空气中的声速时，这时流体阻力将迅速增大。

兰州城市学院2.1.3

牛顿运动定律的应用应用牛顿运动定律解题时一般分以下几个步骤：(1)

隔离物体，分析受力．首先根据题意确定研究对象，并分别把每个研究对象与其它物体隔离开来，然后分析它们的受力情况，单独画出每个研究对象的受力示意图。(2)

建立坐标系，列方程．选择合适的坐标系，将给计算带来很大方便．坐标轴的方向尽可能地与多数矢量平行或垂直．根据牛顿第二和第三定律列出方程式．所列的方程式个数应与未知量的数量相等．若方程式的数目少于未知量的个数，则应由运动学和几何学的知识列出补充的方程式。

兰州城市学院(3)

求解方程．在解方程代人数据时，一定要注意统一单位，解得结果后通常还应进行必要的验算、分析和讨论。应用牛顿运动定律解题时一般分以下几个步骤：(4)

当物体受的力为变力时，就应该用牛顿第二定律的微分方程形式求解。

兰州城市学院质点动力学基本运动方程解题步骤：（1）确定研究对象。对于物体系，画出隔离图。（2）进行受力分析，画出示力图。（3）建立坐标系（4）对各隔离体建立牛顿运动方程（分量式）（5）解方程,求出相应物理量兰州城市学院解:分别取m1和m2为研究对象，受力分析如图(b)所示。利用牛顿第二定律列方程得例1：如图所示，在倾角30o的光滑斜面(固定于水平地面)上有

两物体通过滑轮相连，已知m1=3kg，m2=2kg，且滑轮和绳子质量可略。求:每一物体的加速度以及绳子的张力。绳子中的张力解以上方程组，得

兰州城市学院解:求整个系统的加速度时，可先将三物体看成是一个整体，并设FN为三物体共同对桌面的总压力，利用牛顿第二、三定律可得例2：如图所示，将质量分别为m1，m2，m3和m的四个物体连接，桌面与这些物体之间的摩擦系数都是μ。设绳子不变，桌子与滑轮位置不变，绳子质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦可忽略不计。求:该系统的加速度以及各物体之间的张力

兰州城市学院解方程组得隔离物体，分别取m1，m2，m3为研究对象，求对m1利用牛顿第二定律可得同理可得：

兰州城市学院例3质量为m的质点在空中由静止开始下落，在速度不太大的

情况下，质点所收阻力F=-kv

，式中k

为常数。

(1)质点的速度和加速度随时间变化的函数关系；

(2)质点的运动方程分离变量得两边积分得由此得求:

以质点开始下落时刻为计时起点，开始下落的位置作为坐标

原点O，竖直向下的方向为y

轴的正方向，则质点所受重力为

mg，阻力为

f=-kv

，故按牛顿第二定律，有解:

兰州城市学院由定义可知，质点加速度为当

时，(解释了人为啥不会被冰雹砸伤)由速度的定义可知分离变量得注意到运动的初始条件，则积分可得

兰州城市学院xy例4质量为m

的小球最初位于A

点，然后沿半径为R

的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用。mgFN解：A

兰州城市学院xyA

兰州城市学院解:例5：试证明圆柱形容器内以角速度绕中心轴作匀速旋转的流体表面为旋转抛物面。流体表面任取一质量为∆m

的质元为研究对象。∆m受重力和流体其它部分对它作用力的合力N。由于∆m并未沿切面流动，所以N的方向应垂直于该处切面，如图所示。流体绕轴旋转时，∆m将以O'为圆心，以x为半径作匀速圆周运动。根据牛顿第二定律，有分量式为：

兰州城市学院2.1.4非惯性系中的力学问题惯性力

应用牛顿运动定律求解力学问题时，只能选择惯性系，因为在非惯性系中牛顿运动定律不再成立。然而，在实际问题中常常遇到非惯性系，即相对惯性系作变速运动的参考系．如相对地面作变速运动的火车、升降机以及旋转的圆盘等都是非惯性系1

平动加速系参考系的坐标原点相对惯性系作变速运动，但坐标轴没有转动

平移惯性力

相对某一惯性系作加速直线运动的参考系，叫做平动加速参考系，它是一种非惯性系。

兰州城市学院S是惯性系，牛顿定律成立。小球水平方向不受力，静止。a0mma0a0S系小球静止小球加速–a0mS

系S’是非惯性系，牛顿定律不成立！若形式上应用牛顿定律，必须认为小球受惯性力小球放在光滑的加速运动的小车内注：惯性力是由于非惯性系相对惯性系运动的加速度引起的！

兰州城市学院S

a0

·mFaa

a0

S：故由得定义惯性力（inertialforce）—则有

惯性系S′：修改牛顿第二定律，使之于适用平动非惯性系：—非惯性系中的牛顿第二定律S平动兰州城市学院2

转动参考系:相对惯性系转动的系统称为转动参考系

物体受到弹簧的拉力F，这个力就是使小球做匀速圆周运动的向心力

转台(非惯性系)上的观察者虽然也看到弹簧被拉长，小球却相对转台静止．为了使物体保持平衡的事实仍然遵从牛顿第二定律，必须想像还有一个与向心力等值而反向的惯性力Fi作用在物体上兰州城市学院3

惯性力的应用举例

m为物体A的惯性质量，B为指针，O为指针上的支点，C为表盘，K为平衡弹簧。当飞机加速上升时，m受到向下的惯性力，指针会向上偏转；飞机加速下降时，m受到向上的惯性力，指针会向下偏转

炮弹上安装的惯性引信同样是利用惯性力的作用来引爆炮弹的兰州城市学院解:例6：设电梯相对地面以加速度a上升，电梯中有一质量可忽略不计的滑轮，在滑轮的两侧用轻绳挂着质量为m1和m2的重物，已知m1>m2，如图所示。求:(1)m1和m2相对电梯的加速度；(2)绳中的张力设m1和m2相对电梯的加速度大小为a'，绳中张力大小为T。以电梯为参考系，这是一个非惯性系．在此参考系中，m1和m2受重力、绳的拉力和惯性力，惯性力的方向与电梯相对地面加速度a的方向相反，如图(b)所示。为了方便，图中字母仅表示各矢量的大小，方向为箭头指向。ab

兰州城市学院对m1和m2分别以各自相对电梯的加速度方向为正方向，于是有因绳子和滑轮的质量均忽略不计，所以有三式联立求解，可得

兰州城市学院例7：在水平轨道上有一节车厢以加速度ao行驶，在车厢中有一质量为m的小球静止地悬挂在天花板上，如图所示。求:试以车厢为参照系求。线与竖直方向的夹角Ө解:在车厢参照系内观察小球是静止的，即ao=0。它受的力除重力和悬线的拉力外还有一个惯性力由于，

在上两式中消去时间t，即得

兰州城市学院2.2

功和能2.2.1

功功率1

恒力的功

2

变力的功Oab在直角坐标系中在ab段所做的功：元功在自然坐标系中L位移元

兰州城市学院注意（1）功是代数量，且有正负（2）合力的功等于各分力的功的代数和

兰州城市学院3

功率（力在单位时间内所做的功）平均功率瞬时功率在

∆t

时间内所做的功为

A注：功率等于功对时间的一阶导数，也等于力和速度的标积功率的单位名称为瓦特，简称瓦，符号为W

兰州城市学院2.2.2功的计算在直角坐标系中，力和元位移表示为可得：在自然坐标系中，力和元位移表示为：可得：注：前者借助于坐标系，都是力的分量，

它们都是代数量；后者与坐标系无关，而是由力和位移的大小及其夹角的余弦共同确定.

兰州城市学院在工程上常用图示法计算功

如图所示，图中曲线表示切向力

随路径变化的函数关系，由下式可知，窄条面积等于元功，曲线下的面积等于从Sa到Sb该力所做的功

兰州城市学院

对几种常见力的功的计算

1重力的功重力的功只与始、末位置有关，而与质点路径无关。

xyzmG结论:重力ab

兰州城市学院x02、弹性力的功弹簧弹性力由x1

到x2

路程上弹性力的功为弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点路径无关。

结论:

兰州城市学院3

万有引力的功

Mabm万有引力万有引力的功只也与始、末位置有关，而与质点路径无关。

结论:

兰州城市学院4

摩擦力的功摩擦力F

做功摩擦力的功与质点路径有关摩擦力方向与质点速度方向相反结论:摩擦力兰州城市学院求:力F对物体所做的功解:物体在a、b之间任一位置c的受力情况如图所示，其中Fk为弹簧对物体的拉力．因物体极缓慢地移动，故可认为物体所受合外力为零．采用自然坐标系，切向合外力为零，即例8：如图中的半圆面是一个固定的半圆柱体截面，柱面光滑，半径为R。一根劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端与一个质量为m的小物体相连。开始时物体位于a处，弹簧无形变．物体在一个位于竖直平面内并且始终和圆柱面相切的拉力F作用下，极缓慢地从a处移到处b(弹簧形变在弹性限度内)，已知∠

兰州城市学院根据胡克定律有代入上式，得

质点从a处移动到b处，即角位置从0增大α到，力F对物体所做的功为不难看出，因合力为零，所以合力的功为零。因支持力N不做功，所以

三力做功的代数和必为零。显然，重力做功为

，而弹簧拉力做功为兰州城市学院例9：一质点沿如图所示的路径运动。求:求力对该质点所做的功。(1)沿ODC；(2)沿OBC。解:

(1)质点沿OC从O运动到C

在O到D的路径上，y=0，x从0变到2m；在D到C

的路径上，力F与路径垂直而不做功。因此，F所做的功为(2)质点沿OBC从O运动到C。同理可得：沿不同路径从O到C，力对质点所做的功不相等结论:

兰州城市学院2.2.3

动能定理1

质点动能定理（1）合力做的功等于质点始、末状态动能的增量（2）Ek

是一个状态量，

A

是过程量。（3）动能定律适用于惯性系。

注意元功第二定律在质点速度由

v0

变化到

v的过程中，外力做功为兰州城市学院2

质点系动能定律求和(2)

A包括内力做功和外力做功(3)系统的动能与外力、内力

都有关(1)对系统所做的功A等于系

统动能的增量讨论兰州城市学院求:试求到绳子与竖直线的夹角为15o的b处时小球的速率解:小球质量为m，在b处速率为v,小球受重力mg和绳的拉力T的作用。根据动能定理，有例10：一小球系在长L=1.0m的细绳下端，绳的上端固定在天花板上，如图所示。在初始位置a，绳子与竖直线的夹角

，由静止释放

由于的方向始终和小球的运动方向垂直,重力对小球做的功为依题意，可得代入已知条件

兰州城市学院求:若子弹接着穿过同样的第二块木板，速率降为多少?解:设子弹穿过第二块木板时速率为v3．由于两块板中的阻力对子弹做功相同，根据质点动能定理，有例11：速率为v1=700m·s-1的子弹，水平穿过第一块木板后速率降为v2=500m·

s-1

解得：

兰州城市学院2.2.4

保守力势能1保守力（做功而只取决于物体的始末位置，与路径无关）质点沿闭合路径一周保守力所做的功为零保守力：重力、万有引力、弹性力非保守力：摩擦力abL1L2结论:

兰州城市学院2

势能保守力做的功等于势能增量的负值。重力的功弹性力的功引力的功说明abL1引入势能函数Ep令Epb=0，

则质点在某处的势能，等于质点从该处移动至零势能点保守力所做的功。Epb=0Epa=?兰州城市学院例万有引力势能rMm以无穷远处为势能零点(1)势能零点可以任意选取，某一点的势能值是相对的。(3)势能是对保守内力而引入的。对外力没有势能的概念。(2)

任意两点间的势能差是绝对的。引力势能“所有者”？说明

兰州城市学院3

势能曲线(a)、(b)、(c)

分别给出了重力势能、弹性势能和万有引力势能的势能曲线

势能曲线不仅可以求出质点在保守力场中各点所受保守力的大小和方向，而且还可以定性讨论质点在保守力场中的运动情况及平衡的稳定性等问题

兰州城市学院求:(1)势能函数；(2)质点位于地面附近上空时，势能函数的近似式解:(1)地球对质点的引力为例12：已知地球的质量为M，半径为R，一质量为m的质点与地心的距离为r。选地面为零势能面

根据势能定义式，可得势能函数为(2)设质点距地面高度为h，则r=R+h，地面附近上空的势能为兰州城市学院解:如图所示，质量为m1的质点位于参考点O点，质量为m2的质点沿图示任意路径从位置a点运动到b点，路径上某一点的位矢为r，此点处的位移元ds与位矢r的夹角为Ө。令位矢:例13：试判断万有引力是否为保守力

相对于

的微小增量：在质点m2从位置点a运动到点b的过程中，质点m1对质点m2的引力的功为可见，万有引力是保守力

兰州城市学院2.2.5功能原理机械能守恒定律1

质点系的功能原理外力做功系统机械能非保守内力做功注意：守恒条件只有保守内力做功当

，机械能

E

守恒—机械能守恒定律

兰州城市学院求:试分别列出以下列物体为系统时的功能关系式（1）M，m（2）M，m，k，地球（3）M，m，k（4）M，m，地球解:根据功能原理和题目所要求的四类系统，可分别得出如下关系式例14：如图所示，在水平桌面上放置一质量为M的木块，M的一端与劲度系数为k的轻弹簧相连，并固定在墙上，另一端经轻滑轮与下垂的重物m相连，设与桌面间摩擦系数为μ，其余为光滑接触，开始时M静止于平衡位置

兰州城市学院从上例的解答可得下述结论：(2)

系统内某保守力做功的量值与其相应的势能增量是相同的，

在功能关系中绝不可重复计入(1)

内力和外力的确定与所选取的系统有关(3)

等式两边的位移、速度等物理量必须相对(或换算到)同

一惯性参考系进行运算(4)

在机械运动范围内，我们所讨论的只是机械能(动能和势

能)．兰州城市学院2

机械能守恒定律

仅当外力和非保守内力都不做功或其元功的代数和为零时，质点系内各质点间动能和势能可以相互转换，但它们的总和(即总机械能)保持不变．这就是质点系的机械能守恒定律(2)在实际问题中，机械能守恒的条件是无法严格满足的但是当摩擦力等非保守内力的功同系统的机械能相比可忽略不计时，仍可用机械能守恒定律来处理问题（1）机械能守恒定律只适用于惯性参考系，且物体的位移、速

度必须相对同一惯性参考系说明

兰州城市学院（2）决不能把功和能看成是等同的，功总是和系统能量的改变

和转换过程相联系，而能量则只和系统的状态有关，是系统状态的函数．3

能量守恒定律

对一个封闭系统来说，系统内的各种形式的能量可以相互转换，也可以从系统的一部分转移到另一部分，但无论发生何种变化，能量既不能凭空地产生也不能凭空地消失，能量总和总是一个常量．这就是能量守恒定律（1）在能量守恒定律中，系统的能量是不变量、守恒量。系统

内的能量在发生转换时，常用功来量度说明

兰州城市学院求:求M落到地面时的速率V1(m始终在桌面上)。若物体与桌面的静摩擦系数与动摩擦系数均为μ，结果又如何?

解:以m和M及地球做为系统，分析知系统的机械能守恒。设物体开始下落时为状态A，M落到地面前瞬间为状态B，取地面为重力势能零点，则例15：如图所示，一轻绳跨过一个定滑轮，两端分别拴有质量为m及M的物体，M离地面的高度为h，若滑轮质量及摩擦力不计，m与桌面的摩擦也不计，开始时两物体均为静止，即：

和

分别为状态B时两物体的运动速率

兰州城市学院

如果物体m与桌面有摩擦，那么对于上述所取的系统，这个摩擦力做的功可视为系统的外力负功(若将桌面看作地球的一部分，则摩擦力为非保守内力)，根据功能原理得代入

兰州城市学院求:A点与抛物线最高点C

的高度差

解:例16：如图所示，质量为m的滑块从A点由静止开始沿轨道下滑，在B点抛出．在从A到B的过程中，摩擦力对滑块做功为A，滑块在B点抛出时的水平速率为u设A、C

两点高度差为h，C点为重力势能零点，如图所示，根据功能原理有所以，解得

兰州城市学院2.2.6宇宙速度1

人造地球卫星第一宇宙速度将上式代入可解得：兰州城市学院当时的发射速度最小，就是第一宇宙速度，即

兰州城市学院第一宇宙速度

兰州城市学院联立方程求解得：说明

在地面上发射物体使其脱离地球引力所需的最小发射速度称为第二宇宙速度2

人造行星第二宇宙速度只要物体具有不小于

的发射速度，就能脱离地球的引力作用 兰州城市学院人造行星

兰州城市学院3飞出太阳系第三宇宙速度使物体脱离太阳引力的束缚而飞出太阳系所需的最小发射速度称为第三宇宙速度然后以太阳为参考系．物体在太阳引力作用下飞行．设太阳的质量为Ms，物体脱离地球引力时，相对太阳的速度为V's，与太阳之间的距离可近似为地球与太阳之间的距离Rs．要想脱离太阳引力作用，物体的机械能至少应为：先以地球为参考系。设从地球发射一个速度为V3的物体，脱离地球引力时，它相对地球的速度为V'，根据机械能守恒定律，有

兰州城市学院代入相关数值解之最后考虑地球绕太阳的公转．设地球公转速度为，据牛顿第二定律，有兰州城市学院质心位矢xyzmio对于质量连续分布的系统m1m2坐标2.3动量与冲量2.3.1质心质心运动定律1质心

兰州城市学院2

质心运动定律2.1

质心的速度质点系动量2.2质心的加速度及其动力学规律质点系动量定理质点系动量质心运动状态只取决于外力，与内力无关。质点系动量等于总质量与质心速度的积说明说明

兰州城市学院水平纸面兰州城市学院解:例17：求半径为R

的匀质半薄球壳的质心选如图所示的坐标轴．由于球壳对oy轴对称，质心显然位于图中的oy轴上．在半球壳上取一圆环，圆环的平面与oy轴垂直．圆环的面积为：设匀质薄球壳的质量面密度为σ，圆环的质量则为：可得匀质薄球壳的质心处于质心位于处，其位置矢量为

兰州城市学院例18:

质量为m

的匀质链条，全长为

L，开始时，下端与地面的距离为

h。解dl在落地时的速度根据动量定理地面受力求:当链条自由下落在地面上的长度为l

时，地面所受链条的作用力？LhmllNN′G

兰州城市学院例19：人从船头到船尾，船长l

求：人和船各移动的距离解质心静止初态末态人相对船的位移

兰州城市学院2.3.2冲量动量动量定理1冲量(1)恒力的冲量(2)变力的冲量设在t0到t的时间内，恒力持续作用于质点，则力与其作用时间的乘积定义为该恒力的冲量，用表示，即设在t0到t的时间内，作用在质点上的力随时间变化，可以把力持续作用的时间分成许多微小的时间间隔，在每一间隔内，可以将力视为恒力，于是力在dt间隔内的冲量为

兰州城市学院表明，合力的冲量等于各个分力在同一时间内冲量的矢量和(1)若有几个力同时作用在质点上，则合力的冲量为说明（2）在SI中冲量的单位名称为牛顿每秒，符号为：N.s

兰州城市学院牛顿定律结论元冲量2质点动量定理对质点的冲量等于质点动量的增量动量定理微分形式动量定理积分形式.兰州城市学院3质点系动量定理质点系动量求和内力之和为0

兰州城市学院(2)直角坐标系在有限时间内(1)系统动量的变化等于外力的冲量，和内力无关。说明积分——微分形式——积分形式质点系动量定理(3)只适用于惯性系。

兰州城市学院求:此过程中氢分子对器壁的平均冲力

解:根据动量定理，氢分子所受器壁的冲量等于氢分子动量的增量，即选取如图所示的坐标系，把冲量和动量进行分解例20：已知氢分子的质量m=3.3x10-27kg，与器壁碰撞前后的速度大小不变，均为

=1.6x103m●s-1，且碰撞前后的速度方向与器壁法线方向夹角均为α=60o，如图所示．设碰撞时间∆t=10-13s，

兰州城市学院代入上式解得解得将数值代入，可解出氢分子对器壁的平均冲力与等值反向，即垂直指向器壁，大小为5.28×10-11N

兰州城市学院2.3.3

动量守恒定律当

时，质点系动量

不变(1)

动量守恒的分量表述(2)

动量守恒定律适用于惯性系———质点系动量守恒定律讨论质点系动量定理兰州城市学院求:(1)炮车的反冲速度；(2)若炮筒长为，则在发射炮弹的过程中炮车移动的距离为多少?

解:例21：如图所示，一辆停在水平地面上的炮车以仰角Ө发射一颗炮弹，炮弹的出膛速度相对于炮车为u，炮车和炮弹的质量分别为m和M。忽略地面的摩擦(1)以炮弹和炮车为系统，选地面为参考系，根据相对运动速度变换关系，可得在水平方向建立ox轴，并以炮弹前进的一方为正方向．由于系统动量在水平方向的分量守恒，因此

兰州城市学院在x方向的分量式为可得炮车的反冲速度为(2)

以表示炮弹在炮筒内运动过程中任意时刻相对炮车的速率在发射炮弹的过程中，炮车的位移为有

，可得炮车的位移为兰州城市学院不难看出，应用动量守恒定律解题的一般步骤是：说明1.按问题的要求和计算方便，选定系统，分析要研究的过程2.对系统进行受力分析，并根据动量守恒条件，判断系统是

否满足动量守恒，或系统在哪个方向上动量守恒

3.确定系统在研究过程中的初动量和末动量．应注意各动量

中的速度是相对同一惯性系而言的．4.建立坐标系，列出动量守恒方程．求解，必要时进行讨论兰州城市学院解:例22：一辆静止在水平光滑轨道上且质量为M的平板车上站着两个人，设人的质量均为m求:试求他们从车上沿同方向，以相对于平板车水平速率u同时跳下和依次跳下时，平板车的速率大小

(1)两个人同时跳下．取两个人和平板车为一个系统，该体系在水平方向不受力，故动量守恒．设两人跳下后平板车的速率为

，于是有(2)两个人依次跳下。先取两个人和平板车为一个系统，该体系在水平方向不受力，故动量守恒．设第一个人跳下后平板车的速率为

，于是有

兰州城市学院解得当第二个人跳下时，取平板车和第二个人为一个系统，显然，也满足动量守恒定律，设第二个人跳下后平板车的速率为

，于是有兰州城市学院2.3.4角动量角动量守恒定律1力对参考点的力矩如图所示，定义力F对参考点O的力矩M

的大小等于此力和力臂(从参考点到力的作用线的垂直距离)的乘积，即力矩M的定义式又可表示为（1）方向用右手螺旋法则确定（2）在国际单位制中，力矩的单位是牛[顿]·米(N·m)

兰州城市学院2

质点角动量O大小方向：垂直

，所在平面2

力矩1

质点的角动量大小：方向：垂直，所在平面兰州城市学院3质点的角动量定理说明1.

和是对于惯性系中的同一个参考O

点而言的。积分形式微分形式冲量矩是质点角动量变化的原因角动量变化的快慢取决于力矩2力矩决定了质点角动量变化的快慢兰州城市学院4质点角动量守恒定律──质点动量矩守恒守恒条件2.F=01.

r=03.

=0

或

π即“有心力”问题F力对太阳中心O点的力矩为0，行星的角动量守恒例行星运动的开普勒第二定律SO单位时间扫过面积相等守恒

兰州城市学院(1)有心力问题：过

O点，

MO=0，

角动量守恒(2)

动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用讨论

兰州城市学院5质点系的角动量定理和角动量守恒定律(1)质点系角动量定理ho质点系角动量根据质点角动量定理，对于第

i个质元求和一对内力矩，大小相等，方向相反，所以质点系角动量变化的快慢取决于外力矩，和内力作用无关说明兰州城市学院有以下三种情况：(2)质点系的角动量守恒定律──质点系角动量守恒定律2.所有的外力都通过参考点1.体系不受任何外力(即孤立体系)3.

每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零兰州城市学院解:分析知，在A到B的过程中,子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒例23：在光滑的水平桌面上，放着质量为M的木块，木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在点O，弹簧的劲度系数为k，设有一质量为的子弹以初速度

垂直于OA射向M并嵌入木块内，如图所示，弹簧原长为L0，子弹击中木块，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为L，此时OB垂直于OA，求:在B点时，木块的运动速度

击中瞬时，在水平面内，子弹和木块组成的系统沿方向动量守恒，若设为子弹嵌入木块时的速率，即有

兰州城市学院联立求得由A到B的过程中，木块对O的角动量守恒，设与OB方向成Ө角，则有求得与OB夹角Ө：

兰州城市学院解:求:杆转动的角速度

这三个质点组成的系统，在碰撞过程中，系统对O点的角动量守恒，由于可解得例24：如图所示，质量分别为m1，m2的两个小钢球固定在一个长为a的轻质硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆可在水平面内自由转动，杆原来静止．另一小球质量为m3，以水平速度

沿垂直于杆的方向与m2发生碰撞，碰后二者粘在一起。设

兰州城市学院2.3.5开普勒定律(1)每个行星各自在一个椭圆轨道上运动，太阳位于椭圆的一个焦点德国天文学家开普勒1609年和1618年发表了描述太阳系行星运行的三条结论，史称开普勒定律(2)从太阳指向行星的位矢在相等的时间内扫过的面积相等(3)每个行星运动周期的平方与其椭圆轨道长半轴的立方成正比

兰州城市学院令1开普勒第一定律得：上式表示一个椭圆，即：太阳位于椭圆的一个焦点。这就是开普勒第一定律

兰州城市学院2.星体的机械能e<1时，行星的机械能E<0，凡是被太阳引力束缚而绕太阳运动的星体的机械能都是负值e=0时，即把行星绕太阳的运动看成圆运动时e=1时，即当星体沿着抛物线运动时，E=0

只受引力作用的星体的机械能虽然守恒，但不一定为负。只有当星体为引力束缚而绕太阳运动时，星体的机械能才是负值

兰州城市学院3开普勒第二定律行星绕太阳做椭圆运动时，相等时间内位矢扫过的面积相等。=是一个常量，而且是行星绕太阳运动时位矢在单位时间内扫过的面积

兰州城市学院4开普勒第三定律这表明行星运动周期的平方与椭圆轨道长半轴的立方成正比。行星绕太阳运动一周的时间叫做行星的运动周期T。设某行星的运动周期为，椭圆轨道的长、短半轴分别是a、b，则有

兰州城市学院2.3.6变质量系统问题如有一人造卫星由三级火箭从地面静止发射，每级火箭的燃料燃烧完后便自动脱落。设想气体的喷射速率恒为u=2.5km·s-1，且略去燃料完后脱落燃料容器的质量

兰州城市学院1碰撞过程分析2.3.7碰撞开始碰撞时，两球相互挤压，发生形变，由形变产生的弹性恢复力使两球的速度发生变化直到两球速度变得相等为止，这时形变达到最大，这是碰撞的第一阶段，称为压缩阶段由于形变仍然存在，弹性恢复力继续作用，使两球速度继续改变而有相互脱离接触的趋势，两球压缩的程度逐渐减小，直到两球脱离接触时为止，这是碰撞过程的第二阶段，称为恢复阶段，整个碰撞过程到此结束。

兰州城市学院2正碰(1)完全弹性碰撞若两小球在碰撞前后的速度都在两球的连心线上，则称这种碰撞为对心碰撞，也称正碰

兰州城市学院在弹性正碰中，碰后两球的分离速度与碰前两球的接近速度量值相等联立两式解得

兰州城市学院(2)完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞的特点是，碰撞后两物体不再分开，而以相同的速度运动系统损失的动能为

兰州城市学院(3)非完全弹性碰撞若e=0，为完全非弹性碰撞若e=1，为完全弹性碰撞若0<

e<1，为一般碰撞撞碰撞后两物体彼此分开，但由于压缩后的物体不能完全恢复原状而有部分形变被保留下来，因此，系统也只是动量守恒，而动能有损失；碰撞后两球的分离速度与碰撞前两球的接近速度之比为一定值，比值由两球材料的性质决定．该比值称为恢复系数

兰州城市学院等大球相碰大球碰小球小球碰大球兰州城市学院3斜碰