现代设计方法-2013

《现代设计方法》Ⅱ课程内容

第一章现代设计方法简介

第二章优化设计概论

第三章典型优化设计方法第四章有限元法概述第五章平面问题有限元法基础理论第六章Matlab

优化工具箱和ANSYS软件第一章现代设计方法简介现代设计方法:随着当代科学技术的飞速发展和计算机技术的广泛

应用而在涉及领域发展起来的一门新兴的多元交叉

学科。它是以设计产品为目标的一个总的知识群体

的总称。第一章现代设计方法简介优化设计可靠性设计计算机辅助设计虚拟设计疲劳设计相似性设计现代设计方法内容主要包括：模块化设计反求工程设计动态设计有限元法并行设计工业艺术造型设计第一章现代设计方法简介第二章优化设计概论

第一节优化设计概述人工试凑和定性分析的比较过程，被动的重复分析产品的性能——经验设计、近似计算、一般的安全寿命可行设计。传统设计方法:

基于手工劳动或简易计算工

具。方法低效，一般只能获

得一个可行的设计方案。传统机械设计理论与方法包

括疲劳寿命理论、强度理论、动力学理论

常凭经验、试算、校核等方法。优化设计与传统设计的比较利用计算机程序主动设计产品参数，获得最优方案——理论设计、精确计算、优化设计第一节优化设计概述现代优化方法：

基于计算机的应用，设计过程包括：①从实际问题中抽象出数学模型；②选择合适的优化方法求解数学模型。

特点：以人机配合或自动搜索方式进

行，能从“所有的”的可行方案中找

出“最优的”的设计方案。第一节优化设计概述来源：优化一语来自英文Optimization，其本意是寻优的

过程。优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值或极小

值的过程。例如,在右图中，求得一维函数f(x)最小值的条件为：若ｘ取x0，则f(x)取得最小值f(x0)。机械优化设计概念第一节优化设计概述机械优化设计：是使某项机械设计在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。最优化理论最优化是从所有可能的方案中选择最合理的一种方案,以达到最佳目标的科学.达到最佳目标的方案是最优方案,寻找最优方案的方法----最优化方法(算法)

。把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。优化设计：最优化原理与方法，在科学、工程和社会的实际问题中的应用，即为优化设计。优化设计可以使一项设计在一定的技术和物质条件下，寻求一个技术经济指标最佳的设计方案。机械优化设计的历史及发展1、古典优化思想:17世纪，利用微分学和变分学的解析解法。——

仅能解决简单的极值问题3、现代优化设计：

20世纪80年代出现许多现代优化算法：模拟退火算法、遗传算法、人工神经网络算法、蚁群优化算法等。

从狭义优化设计（零部件参数）转向广义优化设计（面向产品的全系统、设计全过程、全寿命周期）。例如,针对涉及多领域复杂系统的多学科设计优化。线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划和混合离散规划等。优化设计从无约束→有约束优化问题；连续变量→离散变量；确定型→随机型模型；单目标优化→多目标优化。第一节优化设计概述2、经典优化方法：20世纪40年代，数学规划方法

——可求解包

含等式约束和不等式约束的复杂优化问题。最优化方法用于机械设计是从二十世纪六十年代开始的,第一节优化设计概述早的成果主要反映在机构的优化设计方面,现已广泛用于机械，零部件设计和机械系统的优化设计.机构运动参数的优化设计是机械优化设计中发展较早的领域，连杆机构、凸轮机构等再现函数和轨迹的优化设计问题。机构动力学优化设计主要研究了惯性力最优平衡，主动件力矩最小波动等的问题。机械零部件优化设计主要研究了各种减速器的优化设计、液压轴承和滚动轴承的优化设计以及轴、弹簧、制动器等的结构优化。结构优化设计优化从层次上可分为：拓扑优化、形状优化和尺寸优化，它们分别对应着产品设计过程中的概念设计、基本设计和详细设计阶段。第一节优化设计概述尺寸优化形状优化拓扑优化应用案例美国BELL飞机公司利用优化方法解决450个设计变量的大型结构优化问题。一个机翼质量减轻35%。利用一化工优化系统，对一化工厂进行设计。根据给定数据，在16小时内，进行16000个可行性设计的选择，从中选择一成本最低、产量最大的方案，并给出必须的精确数据。传统设计：一组工程师，一年时间，仅仅3个方案，且并非最优。波音公司，在747的机身设计中收到了减轻质量、缩短生产周期、降低成本的效果。武汉钢铁公司从德国引进的1700薄板轧机，经该公司自主优化后，就多盈利几百万马克。第一节优化设计概述1。把实际问题进行数学描述,建立一组数学表达式，称数学模型2。寻找一种数值计算方法和相应的计算机程序3。求解工程最优化问题的求解的三个步骤：

现用薄板制造一体积为100m3，长度不小于5m的无上盖的立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽、高尺寸。

分析：（1）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。（2）设计参数确定：长

x1

、宽

x2、高

x3；（3）设计约束条件：

（a）体积要求

（b）长度要求货箱的优化设计2.1

引例第二节优化设计数学模型数学模型设计参数：设计目标：约束条件：第二节优化设计数学模型已知：传动比

i，转速

n，传动功率

P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。（1）目标：圆柱齿轮的体积V或重量w最小；（2）设计参数确定：模数m、齿宽b、齿数z1（3）设计约束条件：

（a）大、小齿轮满足弯曲强度要求；

（b）齿轮副满足接触疲劳强度要求；

（c）齿宽系数要求；

（d）最小齿数要求分析：齿轮传动优化设计第二节优化设计数学模型数学模型设计参数：设计目标：约束条件：齿宽系数第二节优化设计数学模型

优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。优化设计数学模型的三大要素：

设计变量

约束条件

目标函数2.2优化设计问题的数学模型第二节优化设计数学模型优化设计的数学模型由设计变量、目标函数和约束条件三部分组成，其一般形式如下：数学模型的一般形式求设计变量：x1,x2,…xn其中：

称不等式约束条件，简称不等式约束；使目标函数极小化:满足约束条件:称等式约束条件，简称等式约束。第二节优化设计数学模型数学模型可写为向量形式：s.t.表示满足于用表示设计变量min表示极小化引例1的一般形式为：第二节优化设计数学模型齿宽系数引例2的一般形式为：第二节优化设计数学模型建立优化设计问题数学模型的步骤：根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，

对优化对象进行分析；对结构的参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计

常数和设计变量；根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件；对数学模型进行规范化处理。第二节优化设计数学模型1.设计变量

在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。在优化设计过程中设计变量是不断修改、调整，一直处于变化状态。2.3

数学模型的组成

一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是：构件几何量（如尺寸、位置等），物理量（如质量、频率等），应力、变形等表示工作性能的导出量，非物理量（如寿命、成本等）。第二节优化设计数学模型

设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。其中任一个特定的向量都可以称为一个“设计”。

设计变量所组成的设计空间（a）二维设计问题（b）三维设计问题第二节优化设计数学模型当设计点连续时,

为直线;

为平面;

为立体空间;为超越空间.

设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大，可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大，求解亦愈复杂。由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。记作目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。

小型设计问题：2~10个设计变量；

中性设计问题：10~50个设计变量；

大型设计问题：50个以上的设计变量。最优化问题的目的：在设计空间中无穷多个设计点中，找到一个既满足所有约束条件，又使目标函数取得极小值的点，称最优点。它所代表的解称最优解。第二节优化设计数学模型如何选定设计变量？

抓主要，舍次要

对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至不考虑；任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，越可以详细地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以选择设计变量时应注意以下几点：根据要解决的设计问题的特殊性来选择设计

变量。第二节优化设计数学模型2、约束条件

根据约束性质：约束分类：

一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。

设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。

性能约束——针对性能要求而提出的限制条件。如选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性要求等；侧面约束（边界约束）——针对设计变量的取值范围加以限制的约束。如允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围等。第二节优化设计数学模型

显式约束和隐式约束约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式，如复杂结构中的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。

根据数学表达式的形式：等式约束：

不等式约束：第二节优化设计数学模型可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间的活动范围。（对应不可行域）

如右下图所示满足两项约束条件的二维设计问题的可行域D为ABC涵盖区域，包括线段AC和圆弧ABC在内。约束条件：第二节优化设计数学模型一般情况下，设计可行域可表示为：

不可行域:

可行点和不可行点

D内的设计点为可行点,

否则为不可行点（外点）。

边界点与内点

约束边界上的可行点为边界点,其余可行点为内点。

起作用的约束与不起作用的约束

满足

的约束为起作用约束,否则为不起作用的约束.(等式约束一定是起作用约束)第二节优化设计数学模型

为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数。用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数。记作：

在优化过程中，通过设计变量的不断向

f(X)

值改善的方向自动调整，最后求得的

f(X)

最好或最满意的

X值。通常:3、目标函数在构造目标函数时，应注意:

目标函数必须包含全部设计变量；

在机械设计中，可作为参考目标函数的有：最小体积，最轻重量，最高效率，最大承载能力，最小振幅或噪声，最小成本，最高利润等等。第二节优化设计数学模型

在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。目前处理多目标设计问题常用的方法是组合成一个复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即单目标函数多目标函数在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数在同一设计中要提出多个目标函数在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。加权因子第二节优化设计数学模型目标函数的等值线（面）

c

为一系列常数，代表一族

n

维超曲面。如在二维设计空间中，f（x1，x2）=c

代表x1，x2设计平面上的一族曲线。令目标函数f(X)等于任意常数c由此得到的图形称为目标函数的等值线或等值面,即具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面。

目标函数是

n

维变量的函数，它的函数图形只能在

n+1维空间中描述出来。为了在

n

维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值线（面）的方法。

最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值。若目标函数的最优点为可行域中的最大值，则可以看成是

[

-f(X)]

的最小值，当然也可看成是求

1/f(X)

的极小值。第二节优化设计数学模型无约束优化问题数学模型的一般形式：约束优化问题数学模型的一般形式：4、优化问题数学模型的一般形式优化问题的本质是求极值的数学问题。从理论上可以有解析法，即应用极值理论求解，但由于实际优化数学模型的目标函数及约束函数往往是非线性的，解析法求解非常困难，甚至无法实现。数值计算法可以较好地解决这类问题。第二节优化设计数学模型优化问题基本解法解析法

根据函数极值的必要条件和充分条件求得其最优解析解的求解方法，适用于目标函数比较简单的情况。图解法对简单的低维问题，可以用作图法，得到近似最优点。数值法最优化问题基本解法又称为数值迭代方法。数值计算的迭代方法是从目标函数出发，构造一种使目标函数值逐次

下降的数值计算方法；利用计算机进行反复迭代运算，一步步搜索、调优逐步逼近函数极值

点或最优点，所得到的解即一定精度下的近似解。第二节优化设计数学模型解析法图解法数值法原理用数学方法（微分，变分等）直接求求数学方程的极值作目标函数和约束函数图形后找极值点反复迭代，逐步逼近优点精度高简单直观适用于复杂的和无法用方程描述的优化问题缺点计算量大，费时手工作图，精度较低近似计算，精度受影响适用范围易于求导的低维数优化问题2维以下的优化问题各种复杂的优化问题第二节优化设计数学模型2.4数值迭代计算数值迭代法的基本思路：搜索、迭代、逼近

如下图所示，按照某一迭代算式，从任意一个初始点

X0

开始，按某一递推的格式产生出如下点列：X0

，X1

，X2，…，Xk，Xk+1

，…若对应的函数值有如下的关系：必有：则构成此点列的算式和递推迭代格式就成为一种下降迭代算法。第二节优化设计数学模型下降迭代算法的基本格式上述点的产生一般采用如下迭代算式用以求最优步长因子的数值算法称一维搜索法称最优步长因子其中:称搜索方向第二节优化设计数学模型下降迭代算法的基本迭代格式可归纳如下:Step3:确定最优步长因子，计算得到新的迭代点；Step1:给定初始点和收敛精度，并置计数单元；Step2:选取搜索方向；Step4:终止判断：若点满足收敛精度，则以它为最优点，输出：并终止迭代；否则，以它作为新的起点，即令转Step2进行下一轮迭代。第二节优化设计数学模型下降迭代算法的计算框图如下：不难看出，要构成一个下降迭代算法必须解决以下问题：给定适当的终止

判断准则。初始点选择合适的搜索

方向。确定最优步长

因子。第二节优化设计数学模型终止准则（1）点距准则迭代点向极小点的逼近速度是逐渐变慢的，越接近极小点，相邻迭代点间的距离越近。当时：令，输出和,终止迭代。一般取收敛精度。第二节优化设计数学模型（2）值差准则在迭代点向极小点逼近的过程中，不仅相邻迭代点间的距离逐渐缩短，它们的函数值也越来越接近。因此，也可将相邻迭代点的函数值之差作为判断近似最优解的准则，这就是值差准则。即如果有:或令，输出和,终止迭代。第二节优化设计数学模型（3）梯度准则多元函数在某点取得极值的必要条件是函数在该点的梯度等于零。由此构成如下梯度终止准则。令，输出和,终止迭代。

上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。第二节优化设计数学模型数值法求解优化问题具体解法无约束优化问题：约束优化问题：随机方向搜索法复合形法可行方向法

惩罚函数法模拟退火法遗传算法（GA）模糊优化法神经网络优化多目标优化问题：一维搜索法梯度法

共轭梯度法牛顿法变尺度法坐标轮换法

单纯形法鲍威尔法统一目标函数法主要目标函数法功效系数法第二节优化设计数学模型第三章典型优化设计方法导数法：利用梯度和二阶导数构造搜索方向如梯度法、牛顿法、

变尺度法、共轭梯度法等求解无约束优化问题minf（X）的数值迭代解法，称为无约束优化方法。方法的基本问题是：选择搜索方向不同的搜索方向，构成不同的无约束优化算法。方法分：导数法和模式法两类模式法：利用某些点上的函数值构造搜索方向如坐标轮换法、鲍威尔法、单纯形法等第一节无约束优化问题设计方法无约束优化问题的流程图开始给定x和S的初始值计算使f（x+S）极小xx+S结束形成新的S满足收敛条件？

由于和S的形成和确定方法不同派生出不同的无约束优化方法。

无约束优化问题的解法是研究有约束优化问题的基础，也是优化方法的基础。有些实际问题，其数学模型

本身就是无约束优化问题，

或者除了在非常接近极小点

的情况下，都可以按无约束

问题来处理。通过熟悉无约束优化问题的

解法，可以为研究约束优化

问题打下良好的基础。约束优化问题的求解往往可

以通过一系列无约束优化方

法来实现。第一节无约束优化问题设计方法YN第一节无约束优化问题设计方法3.1

一维搜索法在优化设计的迭代运算中，在搜索方向

上寻求最优步长的方法称一维搜索法。一维搜索法是非线性优化方法的基本算法，一维搜索法就是一元函数极小值的数值迭代算法；

多维目标函数的迭代算法都可以归结为在一系列逐步产生的下

降方向上的一维搜索。多维目标函数的极值若出发点及搜索方向已确定，则从出发，沿方向搜索新点的迭代格式为为步长因子选择一特定步长，使产生的新点是方向上目标函数的极小点，即:则称为方向上的最优步长因子。

第一节无约束优化问题设计方法确定初始区间

确定单变量函数极小点所在的初始搜索区间

，该区间是单谷区间。对于单变量函数，其单谷区间用[a,b]表示，其中a<b

。单谷区间特征：函数在区间内只有一个极小点。在极小点左边的函数值应是严

格下降，在极小点右边的函数

值应是严格上升，单谷区间内的函数值具有的特

征是：“高—低—高”。第一节无约束优化问题设计方法进退法确定搜索区间若:，则极小值点在

的右边，保持搜索方向，称正向搜索外推法；令：比较：，函数值的大小Step1:确定搜索方向若:，则极小值点在

的左边，掉转搜索方向，称反向搜索外推法。正向搜索外推法（前进运算）反向搜索外推法（后退运算）Step2:小步试探令：比较：，函数值的大小若:，则区间为：注意:对反向搜索，在小步试探前自变量函数值沿前进方向换名，区间为：。第一节无约束优化问题设计方法正向搜索外推法（前进运算）反向搜索外推法（后退运算）Step3:大步长搜索若:，步长增加一倍继续搜索起始点和中间点向搜索方向移动一步后，令：比较：，函数值的大小若:，则正向搜索区间为：反向搜索，区间为：。否则，加倍步长继续搜索，直至函数值出现“高-低-高”为止。第一节无约束优化问题设计方法进退法确定搜索区间流程图在得到初始区间以后，通过某种算法，不断缩小包含极小点的区间，就可得到一维极小点。

缩小区间的方法，即一维搜索法。试探法插值法黄金分割法裴法纳契法(Fibonacci)二次插值法三次插值法一维搜索法第一节无约束优化问题设计方法

黄金分割法1.基本思想将区间按一定的比例缩小，且正常迭代时每缩短一次区间只需计算一次函数值。适用于单谷函数求极小值，且函数可以不连续的。选点的原则：对称－对称在区间[a，b]内的两个对称点可由以下公式产生：x1=a+（1－λ）(b－a）x2=a+λ(b－a)其中：λ为比例系数(0<λ<1)第一节无约束优化问题设计方法若初始区间为[a,b]，缩小一次后的新区间为[a,x2]。区间收缩率表示每次缩小所得到的新区间长度与缩小前旧区间长度之比区间收缩率即为，且每次分割保持不变。若使一次分割时的X1点与二次分割时的X2点在同一位置，则：即：解得：黄金分割法第一节无约束优化问题设计方法黄金分割法以区间长度是否充分小作为终止准则，并以收敛时区间的中间点作为一维搜索的极小点，即当b-a≤ε时，取x*=(a+b)/22.区间取舍通过比较搜索区间内两试点的函数值，逐步缩短搜索区间，得到一

个不断缩小的区间序列，逐步缩短搜索区间过程中保证极小点不会被舍弃；消去左边区间消去右边区间3.终止准则第一节无约束优化问题设计方法黄金分割法的算法框图:

第一节无约束优化问题设计方法二次插值法基本思想：用三点二次插值多项式来逼近原函数。取点的方法：二次插值函数的极小点第一次迭代第二次迭代第一节无约束优化问题设计方法利用区间消去法原理将初始搜索区间不断缩短，从而求得极小点的数值近似解。优化设计的数学基础（一）

函数的方向导数

一个二元函数，在点

处沿某一方向的方向导数

(即变化率)

可定义如下：

二元函数，在点处的偏导数（即沿坐标轴方向的变化率，或称坐标轴方向的方向导数）如下：优化设计的数学基础（一）

方向导数与偏导数之间的数量关系二元函数三元函数优化设计的数学基础（一）n元函数式中，为S方向与坐标轴方向xi夹角的余弦。优化设计的数学基础（一）

函数的梯度

函数F(X)在某点

X

的方向导数表明函数沿某一方向S的变化率。一般说来，函数在某一确定点沿不同方向的变化率是不同的。函数F(X)在点X处的梯度▽F(X),可记作gradF(X)方向S的单位向量

为求得函数在某点X方向导数为最大的方向，引入梯度的概念。

以二元函数为例:优化设计的数学基础（一）的梯度:n元函数优化设计的数学基础（一）梯度▽F(X)是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向（方向导数最大的方向），梯度的模就是函数变化率的最大值。即：分析:

函数F(X)沿S方向的方向导数等于向量▽F(X)在

S

方向上的投影。

当

，即S与▽F(X)方向相同时，向量▽F(X)在S方向上的投影最大，其值为:说明：

梯度▽F(X)方向是函数F(X)的最速上升方向；负梯度-▽F(X)方向是函数F(X)的最速下降方向。优化设计的数学基础（一）第三节无约束优化问题设计方法3.2

梯度法设想从某点出发，其搜索方向取该点的负梯度方向，使函数值在该点附近下降最快。这种方法也称为最速下降法。数学基础基本原理梯度法的迭代公式为：

X(k+1)=X(k)-(k)g(k)g(k)

函数F(X)在迭代点X(k)处的梯度F(X(k))

(k)一般采用一维搜索的最优步长即F(X(k+1))=F(X(k)-(k)g(k))=minF(X(k)-(k)g(k))=min()或(g(k+1))Tg(k)=0

’()=-(F(X(k)-(k)g(k)))T

g(k)

=0即（

f(x(k+1)))Tg(k)

=0相邻的两个迭代点的梯度是彼此正交的。根据极值的必要条件和复合函数的求导公式，有:相邻的搜索方向相互垂直向极小点的逼近路径是一条曲折

的锯齿形路线，而且越接近极小点，前进速度越慢。离极小点较远时，一次迭代得到的函数下降量较大。许多收敛性较好的算法，第一步迭代都采用梯度法。梯度法特点：迭代终止条件采用梯度准则：

||g(k)||第三节无约束优化问题设计方法迭代步骤（1）给定初始点X0

和收敛精度

ε，置k=0；（2）计算梯度，并构造搜索方向(归一化)（3）一维搜索，求新的迭代点（4）收敛判断：若满足则令X*=X(k+1)，F(X*)=F(X(k+1))终止计算；否则，令k=k+1，转（2）继续迭代。第三节无约束优化问题设计方法第三节无约束优化问题设计方法第三节无约束优化问题设计方法（2）第一个迭代点为解（1）求初始点的负梯度例3.1：已知目标函数：设初始点为X(0）=(1,1),,用梯度法求极小值。转化为求一维寻优的问题，求导：新的迭代点：最佳步长第三节无约束优化问题设计方法（3）求X(1)的梯度（4）求第二个迭代点X(2)因，继续迭代。第三节无约束优化问题设计方法以X(2)为起点继续求X（3)

，此问题的最优解为:因，可知也不是极值点，还应继续迭代。第三节无约束优化问题设计方法解得：第三节无约束优化问题设计方法3.3

坐标轮换法算法特点：1）编程简单，容易掌握；2）收敛速度通常较低，仅适于低维

的情况。搜索过程基本思想：每次搜索只允许一个变量变化，其余变量保持不变，也可称为变量轮换法。收敛效果与目标函数等值线有关(1)等值线为椭圆,且长短轴分别平行于坐标轴时--高效(3)等值线为如图脊线时--无效(2)长短轴不平等于坐标轴--低效第三节无约束优化问题设计方法

第二轮迭代。。。依次类推，不断迭代，目标函数值不断下降，最后逼近该目标函数的最优点。坐标轮换法迭代步骤：沿第一坐标轴的方向e1作一维搜索，用一维优化方

法确定最优步长11

;计算第一轮的第一个迭代点X11=X01+11

e1

；以X11为新起点，沿第二坐标轴的方向e2作一维搜索，

确定步长21

，计算第一轮的第二个迭代点X21=X11+21

e2任取一初始点X0作为第一轮的始点X01;第三节无约束优化问题设计方法终止准则注意：若采用点距准则或函数值准则，其中采用的点应该是一轮迭代的始点和终点，而不是某搜索方向的前后迭代点。可以采用点距准则或者其它准则。第三节无约束优化问题设计方法坐标轮换法的流程图入口给定：x0，K=1i=1Xik=x0沿ei方向一维搜索求ixik=xi-1k+

ikeix=xkf=f(x)i=n?||xnk-x0k||?x*=xf*=f(x*)出口i=i+1x0=x0kk=k+1NYNY第三节无约束优化问题设计方法设：初始点x0=(0,0),精度为，试用坐标轮换法求极小值例3.2：目标函数：第三节无约束优化问题设计方法第三节无约束优化问题设计方法第三节无约束优化问题设计方法第三节无约束优化问题设计方法

一般工程实际优化问题绝大多数属于约束非线性规划问题，其一般数学模型如下：求解上述问题的方法称为约束优化方法。第四节约束问题优化设计方法根据约束条件处理方法的不同，约束优化方法可分为以下类型：

直接法直接从可行域中寻找它的约束最优解。常用方法:约束坐标轮换法,约束随机方向法,复合形法,

可行方向法,线性逼近法等.特点：优点：算法简单、直观性强、对函数无特殊要求。缺点：计算量大、收敛慢，因而效率低。适用场合：维数低、函数复杂、精度要求不高的问题。

间接法

把约束条件引入目标函数，使约束优化问题转化为无约束优

化问题求解的算法。如：

常用方法:罚函数法,拉格朗日乘子法等.第四节约束问题优化设计方法4.1随机方向搜索法约束随机方向搜索法是解决小型约束最优化问题的一种常用的直接求解方法。搜索方向---采用随机产生的方向①若该方向不适用、可行，则试另一方向；②若该方向适用、可行，则以定步长前进；基本思路③若在某处产生的方向足够多，仍无一适用、可行，则采用收缩步长；④若步长小于预先给定的误差限则终止迭代。第四节约束问题优化设计方法

随机方向的实现1、随机方向的产生需要在(0,1)和(-1,1)区间内均匀分布的随机数，其步骤如下：

1)用RND(X)产生n个随机数3).构成随机方向2).将(0,1)中的随机数变换到(-1,1)中去;第四节约束问题优化设计方法2、初始点的选择初始点必须位于可行域内，即要满足全部不等式约束，其方法有：1)通过判别直接给定，但对于复杂问题有一定的难度；2)利用随机函数的方法来选择。第四节约束问题优化设计方法随机选定初始点，它的各维分量取值范围式中，和是n维设计变量的上限和下限，即初始点各维分量是在区间(0,1)内均匀分布的随机数列。判断是否在可行域内3、生成可行搜索方向即在随机方向中选择一个目标函数值下降最快的方向，当点满足：则可行搜索方向为4、搜索步长采用加速步长法，即依次迭代的步长按一定的比例递增，即第四节约束问题优化设计方法第四节约束问题优化设计方法5、收敛条件若前后函数值之差与可行点的范数均小于给定的精度，则收敛适用于求解小型的约束优化问题。

随机搜索的步骤：选择可行初始点

;

若收敛条件满足，迭代终止。否则，转步骤②。产生

k个n维随机单位向量；取试验步长，按计算k

个随

机点；在k个随机点中，找出满足条件的随机点，产生可行搜索方向

;从初始点出发，沿可行搜索方向d

以步长进行迭代计算，直到搜索一个满足全部约束条件，且目标函数值不再下降的新点

x

；第四节约束问题优化设计方法第四节约束问题优化设计方法例4.1:二维约束优化问题试用两个随机数

构成第

次搜索的随机方向

，由当前点

出发，按照该方向取步长

计算迭代点，确定该方向的终点

。解：随机方向和新点:

第四节约束问题优化设计方法适用性检验：新点函数值小于旧点函数值，该点适用。可行性检验：因此，为可行点，其函数值为：

第四节约束问题优化设计方法1.凸集凸函数、凸规划优化设计的数学基础（二）优化问题一般要求目标函数在某一区域内的最小点，即有：然而由于函数本身的问题，会出现局部最小点和全局最小点。一个点集(或区域)，如果连接其中任意两点X1和X2的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集。其数学描述为：若有：且有有：如Y

总在集合D

内，则称D为凸集。2.凸函数

函数，如果连结其凸集定义域内任意两点X1

，X2的线段上，函数值小于或等于用及作线性内插所得的值，那么称为凸函数，用数学描述为：若F(X)为一元函数，可以用右图表示优化设计的数学基础（二）3.凸规划对于约束优化问题若都为凸函数，则称此问题为凸规划3)凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。其性质为：1)若给定一点X0，则集合为凸集，即当为二元函数时，其等值线呈现大圈套小圈形式。2)可行域为凸集。优化设计的数学基础（二）4.最优点性质目标函数Y=G(X)，设计变量X,取值区间[a，b]即优化问题的可行区域D={X∣a≤X≤b}。★1●2★3●1●3★2Y=G(X)abX★3和●3分别为闭区间上设计端点；★2为开区间内极大点（或称局部极值点或局部最优点）;★1为可行区域D内全局最大点（全局最优点）;●1为开区间内极小点;●2为可行区域D内全局最小点。局部及全局最优点概念最优设计点可分为：局部最优点、全局最优点。优化设计的数学基础（二）局部及全局最优点性质讨论

全局最优点一定也是局部最优点，而局部最优点不一

定是全局最优点。

判断是否全局、局部最优点的依据和最实用方法是高等数学中的极值原理（开区间上讲极值，闭区间上讲最值）。

最优化问题常要求解全局最优点，然而由于优化算法本

身结构、优化问题本身的复杂性等原因，很多情况下算

的是局部最优点：

传统优化算法：如黄金分割法，单纯形法、复合形法、最小二

乘法等算的是局部最优点

目前，求解全局最优点的有效方法主要有：遗传优化法、多个

局部最优点比较综合法。

新发展的模糊优化法、神经网络优化法都很难直接求出全局最

优点。优化设计的数学基础（二）4.2

惩罚函数法——是一种使用广泛、很有效的间接解法基本思想：第四节约束问题优化设计方法数学基础用约束条件构造一个制约函数，当约束条件不满足时，该函数受

到制约，反之当约束条件满足时，则不受制约；将制约函数加权后，和原目标函数结合形成新目标函数—惩罚函数；将约束问题转化为一系列无约束问题求解和称惩罚因子，是一个递增或递减的数列，使惩罚项所起的作用越来越小，即：和分别是由不等式约束函数和等式约束函数构成的复合函数，分别称障碍项和惩罚项。其中称为惩罚函数；结果：与收敛于同一最优解。障碍项：当迭代点在可行域内时，在迭代过程中阻止迭代点越出边界。惩罚项：当迭代点在非可行域或不满足不等式约束条件时，在迭代

过程之中迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。第四节约束问题优化设计方法惩罚函数法又可分为外点法、内点法和混合法。可适用于求解含不等式约束的优化问题。4.2.1内点法基本思想：内点法将新目标函数定义于可行域内，这样它的初始点及后面的迭代点序列必定在可行域内。对约束优化问题：转化后的内点惩罚函数可以有如下两种形式为：式中：r为惩罚因子，即取第四节约束问题优化设计方法倒数形式：对数形式：依次对各个罚函数求极值，所得极小点序列是向约束问题的最优点逼近的。障碍项①惩罚函数的有效区域是约束的可行域，目标函数在可行域内的所

有点都受到惩罚，且愈靠近约束边界惩罚得愈多；②不同的惩罚因子对应不同的罚函数，惩罚因子愈小，函数的极小点愈接近约束边界处的最优点；③当惩罚因子趋近于零时，惩罚函数的极小点，就是原约束问题的

最优点。第四节约束问题优化设计方法例4-1用内点处罚函数法求问题约束最优解。解：用内点法求解，首先构造内点

惩罚函数：用解析法对函数求极小值。第四节约束问题优化设计方法求解得不满足约束条件，舍去。无约束极值点为：31.20.360[1.8230][1.4220][1.1560][10]3.9073.0572.00513.3232.0221.3361第四节约束问题优化设计方法第四节约束问题优化设计方法内点法中的初始点、惩罚因子初值及其缩减系数的选取和收敛条件的确定:1.初始点的选取离约束边界较远的可行点。程序设计时，一般，考虑具有人工输入、和计算机自动生成可行初始点的两种功能。2.惩罚因子的初值的选取惩罚因子的初值选取应适当，否则会影响迭代计算的正常进行。太大会影响迭代次数，太小会使惩罚函数的形态变坏，难以收敛到极值点。

1）取r0=1，根据试算的结果，再决定增加或减少r0

值。第四节约束问题优化设计方法2）按经验公式这样选取的r0

，可以是惩罚函数中的障碍项和原目标函数的值大致相等，不会因障碍项的值太大则其支配作用，也不会因障碍项的值太小而被忽略掉。3.惩罚因子的缩减系数c的选取

在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为：第四节约束问题优化设计方法惩罚因子的缩减系数通常的取值范围：0.1-0.7之间。4.收敛条件第四节约束问题优化设计方法第四节约束问题优化设计方法可适用于求解含不等式约束和等式约束的优化问题。4.2.2外点法基本思想：新目标函数在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。对约束优化问题：转化后的外点惩罚函数的形式为：式中：r为惩罚因子，即取第四节约束问题优化设计方法①在可行域内惩罚函数和目标函数是完全重合的，在可行域外惩罚函数的曲线被抬高，且离边界越远，曲线被抬高得越多；②惩罚因子越大，惩罚函数被抬高得越多，极小点越靠近约束边界；③惩罚因子趋于无穷大时，惩罚函数的极小点就是约束问题的最优点。第四节约束问题优化设计方法例6-6用外点法求问题约束最优解。首先构造外点惩罚函数：用解析法求解第四节约束问题优化设计方法求解得0.31.27.5[0.2310][0.60][0.8820][10]0.2310.5520.78510.0530.360.781第四节约束问题优化设计方法第四节约束问题优化设计方法外点法惩罚因子按下式递增递增系数，通常取c=5-10。选取的r0

太大则会使惩罚函数等值线偏心或变形，难以取得极小值。但r0太小，势必增加迭代次数。经验计算一般取r0=1，c=10常常可以取得满意的效果。也可以通过经验公式获得r0

值第四节约束问题优化设计方法内点法的特点： 1．初始点必须为严格内点 2．不适于具有等式约束的数学模型3．迭代过程中各个点均为可行设计方案4．一般收敛较慢5．初始罚因子要选择得当6．罚因子为递减，递减率c有0<c<1。 第四节约束问题优化设计方法外点法的特点：

1．初始点可以任选，但应使各函数有定义2．对等式约束和不等式约束均可适用3．仅最优解为可行设计方案4．一般收敛较快5．初始罚因子要选择得当6．惩罚因子为递增，递增率c有c>1。第四节约束问题优化设计方法第四节约束问题优化设计方法第四节约束问题优化设计方法第四节约束问题优化设计方法第四节约束问题优化设计方法第四节约束问题优化设计方法第四节约束问题优化设计方法第四节约束问题优化设计方法例：用内点法求目标函数f(x)=ax受约束g(x)=b-x<0时的最优解。

构造惩罚函数

求可求出极值点表达式为：惩罚函数值为：r(k)为一递减序列：0.1，0.01，0.0014.2.2混合法混合法是综合外点法和内点法的优点建立的一种算法，对不等式约束按内点法建立惩罚项，对等式约束按外点法建立惩罚项，即:称混合惩罚函数。式中，惩罚因子rk1取正的递减数列；rk2取正的递增数列。或:第四节约束问题优化设计方法显然，当惩罚因子rk

取正的递减数列并趋近于零时，混合惩罚函数的极小点就是原约束最优化问题的最优解。若将两个惩罚因子合并，即令：得到只包含一个惩罚因子的混合惩罚函数或第四节约束问题优化设计方法工程实际问题通常有多种评价设计质量好坏的技术经济指标。称多目标最优化问题，简称多目标问题。以,

,…代表多个目标函数或设计目标，构成的优化设计数学模型：第五章多目标问题优化设计方法多目标问题的解：完全最优解：使各个目标函数都取得极小值的解；劣解：至少使一个目标函数取得最大值的解；有效解：除完全最优解和劣解之外的所有解。有效解之间是不能

直接比较优劣的。无论哪一种方法都只能求得有效解，或相对最优解。多目标最优化方法就是在对各个目标加权量化的基础上，将不可比问题转化成可比问题，求得对每一个目标来说都相对最优的有效解。多目标最优化一般都是转化为单目标求解的。如常用的主要目标法、线性加权法、最大最小法和理想点法等。第五章多目标问题优化设计方法5.1主要目标法将多目标问题，用主要目标法构造的多目标问题如下：在所有技术经济指标中选出一个最重要的作为设计的目标函数，而将其他的指标分别给定一个可以接受的范围，转变为一组约束条件，从而构成一个单目标最优化问题。其中，fi1和fi2分别是第i个目标fi的下限和上限。第五章多目标问题优化设计方法由此求的就是原多目标问题的一个相对最优解。5.2线性加权法由q个目标函数构成综合评价函数:多目标优化转化为单目标约束最优化问题：是反映各个分目标重要性的系数，称权因子。第五章多目标问题优化设计方法一般情况下有如何确定合理的权因子是这一方法的关键。多数情况下权因子可以根据经验直接给出，有时也可按下式计算:其中是以第i

个分目标为目标函数所构成的单目标问题的最优值。第五章多目标问题优化设计方法5.3最大最小法对多目标优化问题采用各个目标中的最大值作为评价函数的函数值来构造新的目标函数。即：评价函数其中：将多目标优化转为下列单目标优化问题：第五章多目标问题优化设计方法5.4理想点法构造如下单目标优化评价函数：可以证明，此问题的最优解是一个最接近完全最优解的有效解。故称这种方法为理想点法。的意义与前述相同将多目标优化转为下列单目标优化问题：第五章多目标问题优化设计方法第六章有限元法第一节有限元法概览第三节结构离散化第四节单元位移模式第五节单元分析单元刚度矩阵第六节整体分析总体刚度矩阵第七节边界条件处理

计算成果整理第二节有限元法基本思路第一节有限元法概览工程问题建模分析过程典型工程问题物理模型计算结果分析验证修改验证直接实验模型相似实验模型数学模型弹性力学问题热传导问题流体力学问题电磁场问题应力场温度场流速场电磁场边界条件偏微分方程的边值问题偏微分方程

典型工程问题的数学描述数学问题！解析法解析解（函数）仅解决某些特殊问题差分法数值解（近似）受边界形状限制且精度有限变分法解析解（近似）工程应用受限有限元法数值解+解析解计算机应用目前工程应用最为广泛的分析方法逆法、半逆法三角级数法复变函数法特殊函数法数学模型的求解偏微分方程的边值问题求解方法：历史

1943年数学家Courant

第一次提出了有限元的思想；有限元法是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法1956年JohnTurner

首次将这种方法应用于波音飞机动力学计算；

20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和非线性问题（Argyris1965年），并得到迅速发展。1960年Clough

提出了FiniteElementMethod的名称。国内：50年代数学家冯康

“基于变分原理的差分格式”。1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用和发展。1967年Zienkiewicz

出版《TheFiniteElementMethod》。弹性力学平面问题板壳，空间问题静力学流体力学，热力学，电磁学……固体力学动力学，稳定、波动等问题弹性材料弹塑性，粘弹性材料小变形、几何线性大变形、几何非线性单一物理场多物理场耦合与CAD无缝集成开放性、二次开发网格处理能力发展数字化产品开发基本流程有限元应用学科领域：结构热流体,包括CFD(计算流体动力学)电场/静电电磁电子及器具重型设备及机械MEMS–微机电系统运动产品

有限元应用的部分工业领域:航空航天汽车生物医学桥梁和建筑应用领域结构分析用于确定结构的变形、应变、应力及反力。静力分析用于静力载荷条件可以模拟诸如大变形、大应变、接触、塑性、超弹、蠕变等非线性行为结构分析动力学分析模态分析

计算固有频率及振型谐响应分析

确定结构对已知幅值和频率的正弦载荷的响应瞬态动力学分析

确定结构对随时间变化载荷的响应，可以包括非线性行为其他结构功能谱分析随机振动特征值屈曲子结构,子模型疲劳、断裂力学、复合材料结构分析侧重惯性力占主导的大变形模拟用于模拟冲击、碰撞、跌落、爆炸、快速成型等高度非线性问题结构分析热分析用于确定物体的温度分布。其它如热损失或吸收的热量，热梯度、热通量等也可以获得。可以模拟所三种主要的传热方式：传导、对流及辐射稳态时间相关效应可以忽略瞬态确定温度等时间相关的量可以模拟相变(熔化或凝固)热分析电磁分析用于计算电磁装置的电磁场静态及低频

电磁场模拟直流电源操作装置，低频AC或低频瞬态信号例如:电机、变压器等电磁场可分析磁通量密度、场强磁力及磁矩、阻抗、电感、涡流、功率损失及通量泄漏等。机箱内磁场分布机箱漏磁场分布

电磁场分析高频电磁场模拟装置的电磁波传播例如:微波及RFpassive部件,波导,同轴连结器感兴趣的量包括S-参数，Q-因子,返回损失，电介质和传导损失，及电场和磁场螺旋天线

中心截面电场强度图

中心截面磁场强度

电磁场分析静电计算电压或电荷激励的电场例如:高压装置，微机电系统(MEMS),传输线典型感兴趣的量是电场强度及电容电流传导计算给定电压下导体的电流电路耦合电路与电磁装置的耦合电场强度矢量图

电场强度分布云图

同轴电缆中的电场(EFSUM)

电场分析计算流体动力学(CFD)确定流体的流动及温度分布ANSYS/FLOTRAN可以模拟层流和湍流，可压和不可压缩流动及多组份流体应用:航空航天,电子封装，汽车设计典型量包括速度、压力、温度及对流换热系数流体分析声学用于模拟流体及其所包围的固体间的相互作用。例如:扬声器,汽车interiors,声纳典型量包括压力分布、位移及固有频率容器内流体分析用于模拟容器内不流动的流体计算及由于晃动导致的静水压力例如:油箱,其他流体容器热及质量输运一维单元用于计算两点间质量输运产生的热，如管道。流体分析双金属杆由于加热产生变形耦合场分析考虑两种或多于两种场之间的相互作用。每一种场都依赖于另一种场使得不可能对每个场单独求解，因此需要一个能够将物理问题综合在一起考虑计算的程序。例如:热应力分析压电分析(电及结构)声学(流体及结构)热－电分析导热(磁和热)静电－结构分析由压电陶瓷产生的机电耦合场（超声电机原理）耦合场分析拓扑优化10040静力学拓扑优化:在体积约束下优化结构静刚度ANSYS拓扑优化计算结果（体积减少50%）拓扑优化动力学拓扑优化:在体积约束下优化低阶固有频率（即提高动刚度）ANSYS拓扑优化计算结果工程实际问题的有限元分析刚度、强度（应用于整车、大小总成与零部件分析）；静力学分析汽车结构常规有限元分析：疲劳:分析研究多次使用载荷作用下的破坏FatigueSensitivitySafetyFactor工程实际问题的有限元分析轻量化设计；汽车控制臂有限元拓扑优化工程实际问题的有限元分析NVH分析（各种振动、噪声）；动力学特性分析工程实际问题的有限元分析Noise:20Hz-10000HzVibration:0.5Hz-500HzHarshness:20Hz-200Hz模态分析,频率响应或谐响应分析,随机振动分析工程实际问题的有限元分析

机构运动分析；多刚体动力学，刚-柔体动力学工程实际问题的有限元分析车辆碰撞模拟分析；大变形非线线分析，冲击分析工程实际问题的有限元分析金属板件冲压成型模拟分析;接触非线性，大变形非线性工程实际问题的有限元分析应用软件用户分布情况：

ANSYSABQUSLS-DYNAMARCADINAMSC.NASTRANHyperworks非线性动力分析接触非线性多物理场，通用性好求解器效率高接触非线性，前后处理弱提供源代码，二次开发功能强前处理功能强大软件比较一般结构非线性爆炸与冲击电磁场声学（噪声）渗流多场耦合流体力学温度场易用性价格二次开发ANSYS540542545555ABAQUS554344335455LS-DYNA125000202251MSC.MARC550330335345MSC.NASTRAN530343235152ADINA550335445345项目软件第二节有限元法基本思路有限元法基本思路:问题分析结构离散分片近似单元平衡整体平衡方程求解物理模型节点单元位移函数单刚方程总刚方程节点位移

离散化

构造单元内

位移函数；单元位移模式

单元分析；划分网格，将连续体划分为有限数量的单元。单元内位移节点位移单元刚度矩阵单元节点力节点位移变分法思想

整体分析；总体刚度矩阵节点位移外载荷静力平衡

求解；节点位移单元位移模式几何方程物理方程差分法思想（1）平衡微分方程：（2）几何方程：（3）物理方程：（4）边界条件：三组方程+两组边界条件偏微分方程边值问题平面问题弹性力学数学模型位移变分方程虚功方程极小势能原理应力边界条件平衡微分方程等价!虚功方程：对单元，外力虚功等于内力虚功。虚功方程矩阵表示第三节结构离散化第二节结构离散化

深梁（离散化结构）

将连续体变换为离散化结构：将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些节点处连接，构成所谓“离散化结构”。单元节点1单元要素节点：单元与单元之间的连接点（i,j,m）。节点位移：节点产生的位移。ijm节点力：通过节点传递的内力。节点载荷：作用在节点上的载荷（外力）。单元位移：单元内位移分布（u(x,y),v(x,y)）2单元类型一维单元：如杆单元，梁单元

二维单元：如三角形单元，四边形单元。

三维单元：如四面体单元，六面体单元，棱柱单元。

3连续体离散化模型

单元间仅通过节点连接，没有其它联系；位移，载荷仅通过节点传递；单元内依然是连续体，位移是坐标的连续函数。第四节单元位移模式单元位移函数