冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论

..冲激信号δ<t>的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班樊列龙__0909113224有一些物理现象,如理学中的爆炸、冲击、碰撞······,电学中的放电、闪电雷击等,它们都有共同特点：持续时间短.取值极大.冲击函数〔或冲击信号就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ<t>表示冲激信号,它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号,它也可以被称作δ函数或狄拉克〔Dirac函数,在信号领域中占有非常重要的地位.由于冲激函数的特殊性,现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号.如图1-1<a>的矩形脉冲,宽为τ,高为,其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号.现保持脉冲面积不变,逐渐减小τ,则脉冲的幅度逐渐增大,当时,矩形脉冲的极限成为单位冲激函数,即：〔1-1冲击信号的波形就如1-1<b>所示.δ<t>只表示在t=0点有"冲激",在t=0点以外的各处函数值均为0,其冲激强度〔冲激面积为1,若为A则表示一个冲击强度为E倍单位值得函数δ,描述为A=Eδ<t>,图形表示时,在箭头旁边注上E。<a><a>逐渐减小的脉冲函数<b>冲激信号图1-1也可以用抽样函数的极限来定义δ<t>。有〔1-2对式〔1-2作如下说明：Sa<t>是抽样信号,表达式为〔1-3图1-2其波形如图1-2所示,Sa<t>∝1/t,图1-21/t随t的增大而减小,sint是周期振荡的,因而Sa<t>呈衰减振荡；并且是一个偶函数,当t=±,±2,···,sint=0,从而Sa<t>=0,是其把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为"主瓣",其余的衰减部分称为"旁瓣"。时,,并且有：因其是偶函数有〔1-4由式〔1-4知〔1-5图1-3式〔1-5表明,曲线下的面积为1,且k越大,函数的振幅越大,振荡频率越高,离开原点时,振幅衰减越快,当k时,即得到冲激函数,波形表示如图1-3.图1-3实际上,脉冲函数的选取并不限于矩形脉冲与抽样函数,其他如三角形脉冲、双边指数脉冲等地极限,也可以变为冲激函数,作为冲激函数的定义。相应可以表示为：三角形脉冲：〔1-6双边指数脉冲：〔1-7钟形脉冲：〔1-8这些脉冲波变为相应的冲激函数,如图1-4<a>、<b>、<c>.〔a三角脉冲〔a三角脉冲〔b指数脉冲〔c钟形脉冲图1-4定义二：狄拉克<Dirac>定义.狄拉克给出冲激函数的定义式为〔2-1这一定义与上述的脉冲极限的定义式一致的,因此把δ函数称为狄拉克函数。现给出δ函数三个有用的特性：性质一：展缩特性.冲击函数是一个高而窄的峰,时间缩放会改变其面积。由于δ<t>的面积为1,时间压缩的冲激信号δ<at>的面积为,由于冲激信号δ<at>仍在t=0处发生,所以它可以被看做一个未压缩的冲激,即有。由于时间位移不会影响面积的大小,所以有〔2-2式〔2-2可以用定积分中的变量代换法加以证明。特别的当时,式〔2-2变为<2-3>从式〔2-3可以看出,δ<t>是一个偶信号。性质二：抽样特性〔筛选性.用冲激函数乘以任意连续信号,就可以得到一个冲激函数,它的强度等于在处的值。即筛选出了。从而有

〔2-4类似有〔2-5式〔2-4和式〔2-5表明：当连续时间函数与单位冲激信号或相乘,并在时间内积分,可以得到在处的函数值。性质三：位移特性.性质一和性质二表明乘积的面积等于,也就是说移除了在处的值。〔2-6值得指出的是,冲激信号与阶跃信号的关系：〔2-7〔2-8的狄拉克定义也可以表示为〔2-6上式与式〔2-1一样都表示,处,是一个间断点,但作为数学抽象式,式〔2-1中采用的约束条件,已经概括了间断点得邻域内的积分,反映出时的趋势,因此采用〔2-1的描述更合适。另一方面,狄拉克-函数的定义在数学上也是不严格的。如函数也满足式〔2-1其中:为冲激偶信号,但并不是单位冲激信号。为了给出奇异函数的严格定义,我们先引入分配函数的概念。概念引出〔1950年,L.Schwartz电压v<t>表示方法：分析说明：①读数并不是直接待测物理量本身,而是待测函数v<t>与测试仪表特性h<t>二者综合结果②电压v<t>的存在和性质借助h<t>来体现〔测量系统是检测电压v<t>特性的手段,故称h<t>为检试函数。下面给出分配函数定义：定义三：用分配函数定义.指定给的值为.通过上面所给出的几种定义和性质,我们可以总结推导关于的一些基本运算特性。相加:<3-1>相乘:<3-2>〔3反褶:〔3-3证明参见性质一.〔4尺度:〔3-4〔5时移:〔3-5证明参见性质二.〔6卷积:〔3-6〔3-6仅对i>进行如下证明：〔7复合函数：〔3-7证明：用泰勒级数展开,,忽略高次项。复合函数形式的可化简