电磁感应和力学规律的综合应用1

电磁感应和力学规律的综合应用电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，因此，电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起，解决这类电磁感应中的力学问题，不仅要应用电磁学中的有关规律，如楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定则、安培力的计算公式等，还要应用力学中的有关规律，如牛顿运动定律、动量定理、动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律等。要将电磁学和力学的知识综合起来应用。由于安培力和导体中的电流、运动速度均有关，所以对磁场中运动导体进行动态分析十分必要。例1.水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上，有一根导体棒ab，用恒力F作用在ab上，由静止开始运动，回路总电阻为R，分析ab

的运动情况，并求ab的最大速度。abBRF分析：ab

在F作用下向右加速运动，切割磁感应线，产生感应电流，感应电流又受到磁场的作用力f，画出受力图：f1a=(F-f)/mvE=BLvI=E/Rf=BILFf2最后，当f=F时，a=0，速度达到最大，FfF=f=BIL=B2L2

vm/Rvm=FR/B2L2vm称为收尾速度.又解：匀速运动时，拉力所做的功使机械能转化为电阻R上的内能。

Fvm=I2R=B2L2vm2/Rvm=FR/B2L2

例2.在磁感应强度为B的水平均强磁场中，竖直放置一个冂形金属框ABCD，框面垂直于磁场，宽度BC＝L，质量m的金属杆PQ用光滑金属套连接在框架AB和CD上如图.金属杆PQ电阻为R，当杆自静止开始沿框架下滑时：(1)开始下滑的加速度为

多少?(2)框内感应电流的方向怎样？(3)金属杆下滑的最大速度是多少?(4)从开始下滑到达到最大速度过程中重力势能转化为什么能量QBPCDA解:开始PQ受力为mg,mg所以a=gPQ向下加速运动,产生感应电流,方向顺时针,受到向上的磁场力F作用。IF达最大速度时,F=BIL=B2L2

vm/R=mg∴vm=mgR/B2L2

由能量守恒定律,重力做功减小的重力势能转化为使PQ加速增大的动能和热能

例3.

竖直放置冂形金属框架，宽1m，足够长，一根质量是0.1kg，电阻0.1Ω的金属杆可沿框架无摩擦地滑动.框架下部有一垂直框架平面的匀强磁场，磁感应强度是0.1T，金属杆MN自磁场边界上方0.8m处由静止释放(如图).求：(1)金属杆刚进入磁场时的感应电动势；(2)金属杆刚进入磁场时的加速度；(3)金属杆运动的最大速度及此时的能量转化情况.

答：(1)(2)I=E/R=4AF=BIL=0.4Na=(mg-F)/m=6m/s2;(3)

F=BIL=B2L2

vm/R=mg

vm=mgR/B2L2=10m/s,此时金属杆重力势能的减少转化为杆的电阻释放的热量E=BLv=0.4V;NM例4.如图所示，竖直平行导轨间距l=20cm，导轨顶端接有一电键K。导体棒ab与导轨接触良好且无摩擦，ab的电阻R=0.4Ω，质量m=10g，导轨的电阻不计，整个装置处在与轨道平面垂直的匀强磁场中，磁感强度B=1T。当ab棒由静止释放0.8s后，突然接通电键，不计空气阻力，设导轨足够长。求ab棒的最大速度和最终速度的大小。（g取10m/s2）Kab解:ab棒由静止开始自由下落0.8s时速度大小为v=gt=8m/s则闭合K瞬间，导体棒中产生的感应电流大小I＝Blv/R=4Aab棒受重力mg=0.1N,安培力F=BIL=0.8N.因为F＞mg，ab棒加速度向上，开始做减速运动，产生的感应电流和受到的安培力逐渐减小，当安培力F′=mg时，开始做匀速直线运动。此时满足B2l2vm

/R

=mg解得最终速度，vm=mgR/B2l2=1m/s。闭合电键时速度最大为8m/s。t=0.8sl=20cmR=0.4Ωm=10gB=1TKabmgF解：画出ab棒的截面受力图：aθBNfmgN=mgcosθf=μN=μmgcosθ

开始时，ab在mg和f的作用下加速运动，v增大，切割磁感应线产生感应电流I，·感应电流I又受到磁场的作用力F，F合力减小，加速度a减小，速度v增大，I和F增大当F+f=mgsinθ时ab棒以最大速度vm做匀速运动F=BIL=B2L2

vm/R=mgsinθ-μmgcosθvm=mg(sinθ-μcosθ)R/B2L2

滑轨问题V1≠0V2=0，不受其它水平外力作用。V=0，2杆受到恒定水平外力作用光滑平行导轨光滑平行导轨示意图分析规律B21Fm1=m2r1=r2l1=l2B21vm1=m2r1=r2l1=l2

※

杆1做变减速运动，杆2做变加速运动，稳定时，两杆的加速度为0，以相同速度做匀速运动0vt21开始两杆做变加速运动，稳定时，两杆以相同的加速度做匀变速运动21vt0由楞次定律，感应电流的效果总要阻碍产生感应电流的原因，1棒向右运动时，2棒也要向右运动。21vB杆1做变减速运动，杆2做变加速运动，稳定时，两杆的加速度为0，当两棒相对静止时，没有感应电流，也不受磁场力作用，以共同速度匀速运动。由动量守恒定律:mv=(m+m)vt

共同速度为vt=1/2v它们的速度图象如图示：vt021v0.5v

例5.

光滑平行导轨上有两根质量均为m，电阻均为R的导体棒1、2，给导体棒1以初速度v运动，分析它们的运动情况，并求它们的最终速度。….21vB对棒1，切割磁感应线产生感应电流I，I又受到磁场的作用力F

E1IFFv1E1=BLv1I=(E1-E2)/2RF=BILa1=F/m对棒2，在F作用下，做加速运动，产生感应电动势，总电动势减小E2a2=F/mv2E2=BLv2I=(E1-E2)/2RF=BIL21vtBE1E2FFvtI当E1=E2时，I=0，F=0,两棒以共同速度匀速运动，vt=1/2vB1B2baP163/例3

如图示,螺线管匝数n=4，截面积S=0.1m2，管内匀强磁场以B1/t=10T/s逐渐增强，螺线管两端分别与两根竖直平面内的平行光滑直导轨相接，垂直导轨的水平匀强磁场B2=2T，现在导轨上垂直放置一根质量m=0.02kg，长l=0.1m的铜棒，回路总电阻为R=5Ω，试求铜棒从静止下落的最大速度.(g=10m/s2)解:螺线管产生感生电动势

E1=nSB1/t=4V方向如图示mgF1I1=0.8AF1=B2I1L=0.16Nmg=0.2Nmg>F1

ab做加速运动,又产生感应电动势E2,（动生电动势）mgF2当达到稳定状态时,F2=mg=0.2NF2=BI2LI2=1AI2=(E1+E2)/R=(4+E2)/5=1AE2=1V=BLvmvm=5m/s

例6.

倾角为30°的斜面上，有一导体框架，宽为1m，不计电阻，垂直斜面的匀强磁场磁感应强度为0.2T，置于框架上的金属杆ab，质量0.2kg，电阻0.1Ω，如图所示.不计摩擦，当金属杆ab由静止下滑时，求：

(1)当杆的速度达到2m/s时，ab两端的电压；

(2)回路中的最大电流和功率.

解：30°baBL(1)E=BLv=0.4VI=E/R=4A因为外电阻等于0，所以U=0NFmg(2)达到最大速度时，BImL=mgsin30°Im=mgsin30°/BL=1/0.2=5APm=Im

2R=25×0.1=2.5W解:

dBOxyv0R（1）金属杆在导轨上先是向右做加速度为a的匀减速直线运动，到导轨右方最远处速度为零，后又沿导轨向左做加速度为a的匀加速直线运动．当过了y轴后，由于已离开了磁场区，故回路不再有感应电流．以t1表示金属杆做匀减速运动的时间，有t1

＝v0

/a

．从而，回路中感应电流持续的时间T＝2t１＝2v0／a

．（2）以x１表示金属杆的速度变为v1＝v0／2时它所在的x坐标，由v12＝v02－2ax１，可得x１＝3v02／8a

，从而，此时金属杆所在处的磁感强度

B1＝kx１＝3kv02／8a所以，此时回路中的感应电动势E1＝B1v1

d＝3kv03d／16a．

例8：水平放置的导轨处于垂直轨道平面的匀强磁场中，今从静止起用力拉金属棒ab，若拉力为恒力，经t1

秒ab的速度为v，加速度为a1

，最终速度为2v,若拉力的功率恒定，经t2秒ab的速度为v，加速度为a2

，最终速度为2v,求a1和a2的关系××××××××××baRF安1atv2vFFF

安解：拉力为恒力：最终有F=F安=B2L2×2v/Ra1=(F-B2L2v/R)/m=F/m-B2L2v/mR=B2L2v/mR

拉力的功率恒定：F′=F安=P/2v=B2L2×2v/R∴P/v=4B2L2v/Ra2=(F2′-F安′)/m=[P/v-B2L2v/R]/m=3B2L2v/mRa2=3a1B

例9.

用长度相同，粗细不同的均匀铜导线制成的两个圆环M和N，使它们从同一高度自由下落，途中经过一个有边界的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，如图所示．若下落过程中圆环平面始终与磁场方向保持垂直，不计空气阻力，则（）A.两圆环将同时落地B.细铜线制成的圆环先落地C.粗铜线制成的圆环先落地D.条件不足无法判断BMNA

练习1、如图所示，矩形线框的质量m＝0.016kg，长L＝0.5m，宽d＝0.1m，电阻R＝0.1Ω.从离磁场区域高h1＝5m处自由下落，刚入匀强磁场时,由于磁场力作用，线框正好作匀速运动.(1)求磁场的磁感应强度；

(2)

如果线框下边通过磁场所经历的时间为△t＝0.15s，求磁场区域的高度h2.h1h2dLm＝0.016kgd＝0.1mR＝0.1Ωh1＝5mL＝0.5mh1h2dL12解：1---2，自由落体运动在位置2，正好做匀速运动，mgF∴F=BIL=B2d2v/R=mg32---3匀速运动：t1=L/v=0.05st2=0.1s43---4初速度为v、加速度为g的匀加速运动，s=vt2+1/2gt22=1.05m∴h2=L+s=1.55m练习2

、如图示:两根平行光滑金属导轨竖直放置在匀强磁场中,磁场方向跟导轨所在平面垂直,金属棒ab

两端套在导轨上且可以自由滑动,电源电动势E=3v,电源内阻和金属棒电阻相等,其余电阻不计,当S1接通,S2断开时,金属棒恰好静止不动,现在断开S1,