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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年江苏电子信息职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.在正方形ABCD中,已知它的边长为1,设=,=,=,则|++|的值为(

A.0

B.3

C.2+

D.2答案:D2.定点F1,F2,且|F1F2|=8,动点P满足|PF1|+|PF2|=8,则点P的轨迹是()A.椭圆B.圆C.直线D.线段答案:∵|PF1|+|PF2|=8,且|F1F2|=8∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|①当点P不在直线F1F2上时,根据三角形两边之和大于第三边,得|PF1|+|PF2|>|F1F2|,不符合题意;②当点P在直线F1F2上时,若点P在F1、F2两点之外时,可得|PF1|+|PF2|>8,得到|PF1|+|PF2|>|F1F2|,不符合题意;若点P在F1、F2两点之间(或与F1、F2重合)时,可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|,符合题意.综上所述,得点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间或与F1、F2重合,故点P的轨迹是线段F1F2.故选:D3.从装有5只红球和5只白球的袋中任意取出3只球,有如下几对事件:

①“取出两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”;

②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”;

③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”;

④“取出3只红球”与“取出3只白球”.

其中是对立事件的有______(只填序号).答案:对于①“取出两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”,由于它们不能同时发生,故是互斥事件.但由于它们的并事件不是必然事件,故它们不是对立事件.对于②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”,由于它们不能同时发生,故是互斥事件.但由于它们的并事件不是必然事件,故它们不是对立事件.对于③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”,它们不可能同时发生,而且它们的并事件是必然事件,故它们是对立事件.④“取出3只红球”与“取出3只白球”.由于它们不能同时发生,故是互斥事件.但由于它们的并事件不是必然事件,故它们不是对立事件.故为③.4.已知△ABC,D为AB边上一点,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,则λ=

.答案:∵AD=2DB,CD=13CA+λCB,CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(

CB-CA)=13CA+23CB,∴λ=23,故为:23.5.对于回归方程y=4.75x+2.57,当x=28时,y

的估计值是______.答案:∵回归方程y=4.75x+2.57,∴当x=28时,y的估计值是4.75×28+2.57=135.57.故为:135.57.6.如图所示,正四面体V—ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.

(1)求证:AO、BO、CO两两垂直;

(2)求〈,〉.答案:(1)证明略(2)45°解析:(1)

设=a,=b,=c,正四面体的棱长为1,则=(a+b+c),=(b+c-5a),=(a+c-5b),=(a+b-5c)∴·=(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)=(18×1×1·cos60°-9)=0.∴⊥,∴AO⊥BO,同理⊥,BO⊥CO,∴AO、BO、CO两两垂直.(2)

=+=-(a+b+c)+=(-2a-2b+c).∴||==,||==,·=(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=,∴cos〈,〉==,∵〈,〉∈(0,),∴〈,〉=45°.7.如图表示空间直角坐标系的直观图中,正确的个数为()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个答案:C8.在△ABC中,D为AB上一点,M为△ABC内一点,且满足AD=34AB,AM=AD+35BC,则△AMD与△ABC的面积比为()A.925B.45C.916D.920答案:AP=AD+DP=AD+35BC,DP=35BC.∴三角形ADP的高三角形ABC=ADAB=34,∴S△APDS△ABC=35?34=920.故选D.9.经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径等于2的圆的方程是______.答案:∵圆过原点,圆心在x轴的负半轴上,∴圆心的横坐标的相反数等于圆的半径,又∵半径r=2,∴圆心坐标为(-2,0),由此可得所求圆的方程为(x+2)2+y2=2.故为:(x+2)2+y2=210.“cosα=12”是“α=π3”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:∵“coa=12”?“a=π3+2kπ,k∈Z,或a=53π+2kπ,k∈Z”,“a=π3”?“coa=12”.故选D.11.在同一坐标系中,y=ax与y=a+x表示正确的是()A.

B.

C.

D.

答案:由y=x+a得斜率为1排除C,由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增,则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上,由此排除B;若y=ax递减,则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上,由此排除D,知A是正确的;故选A.12.在空间直角坐标系中,点P(2,-4,6)关于y轴对称点P′的坐标为P′(-2,-4,-6)P′(-2,-4,-6).答案:∵在空间直角坐标系中,点(2,-4,6)关于y轴对称,∴其对称点为:(-2,-4,-6),故为:(-2,-4,-6).13.已知m2+n2=1,a2+b2=2,则am+bn的最大值是()

A.1

B.

C.

D.以上都不对答案:C14.若直线的参数方程为(t为参数),则该直线的斜率为()

A.

B.2

C.1

D.-1答案:D15.已知球的表面积等于16π,圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,圆台的轴截面的底角为π3,则圆台的轴截面的面积是()A.9πB.332C.33D.6答案:设球的半径为R,由题意4πR2=16,R=2,圆台的轴截面的底角为π3,可得圆台母线长为2,上底面半径为1,圆台的高为3,所以圆台的轴截面的面积S=12(2+4)×3=33故选C16.化简下列各式:

(1)AB+DF+CD+BC+FA=______;

(2)(AB+MB)+(BO+BC)+OM=______.答案:(1)AB+DF+CD+BC+FA=(AB+BC+CD+DF)+FA=AF+FA=0;(2)(AB+MB)+(BO+BC)+OM=(AB+BC)+MB+(BO+OM)=AC+MB+BM=AC+(MB+BM)=AC+0=AC,故为:(1)0;(2)AC17.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,则每台彩电原价是______元.答案:设每台彩电的原价是x元,则有:(1+40%)x×0.8-x=270,解得:x=2250,故为:2250.18.在直角坐标系中,画出下列向量:

(1)|a|=2,a的方向与x轴正方向的夹角为60°,与y轴正方向的夹角为30°;

(2)|a|=4,a的方向与x轴正方向的夹角为30°,与y轴正方向的夹角为120°;

(3)|a|=42,a的方向与x轴正方向的夹角为135°,与y轴正方向的夹角为135°.答案:由题意作出向量a如右图所示:(1)(2)(3)19.在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是______.答案:由茎叶图可得甲组共有9个数据中位数为45乙组共9个数据中位数为46故为45、4620.直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,则k的值是()

A.

B.-

C.2

D.-2答案:B21.设随机变量ζ~N(2,p),随机变量η~N(3,p),若,则P(η≥1)=()

A.

B.

C.

D.答案:D22.有一个质地均匀的正四面体,它的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字.现将它连续抛掷3次,其底面落于桌面,记三次在正四面体底面的数字和为S,则“S恰好为4”的概率为______.答案:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是抛掷这颗正四面体骰子两次,共有4×4×4=64种结果,满足条件的事件是三次在正四面体底面的数字和为S,S恰好为4,可以列举出这种事件,(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)共有3种结果,根据古典概型概率公式得到P=364,故为:364.23.用反证法证明命题:“三角形的内角至多有一个钝角”,正确的假设是()

A.三角形的内角至少有一个钝角

B.三角形的内角至少有两个钝角

C.三角形的内角没有一个钝角

D.三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角答案:B24.下面是一个算法的伪代码.如果输出的y的值是10,则输入的x的值是______.答案:由题意的程序,若x≤5,y=10x,否则y=2.5x+5,由于输出的y的值是10,当x≤5时,y=10x=10,得x=1;当x>5时,y=2.5x+5=10,得x=2,不合,舍去.则输入的x的值是1.故为:1.25.如图,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于D,CD=4,AB=3BC,则AC的长是______.答案:∵CD是圆O的切线,∴由切割线定理得:CD2=CB×CA,∵AB=3BC,设BC=x,由CA=4x,又CD=4∴16=x×4x,x=2∴则AC的长是8.故填:8.26.若方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线,则A、B满足的条件是()

A.A>0,且B>0

B.A>0,且B<0

C.A<0,且B>0

D.A<0,且B<0答案:C27.当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时,要使一根长为2m的细杆的影子最长,则细杆与水平地面所成的角为()

A.15°

B.30°

C.45°

D.60°答案:B28.已知x,y的取值如下表所示:

x0134y2.24.34.86.7从散点图分析,y与x线性相关,且y^=0.95x+a,以此预测当x=2时,y=______.答案:∵从所给的数据可以得到.x=0+1+3+44=2,.y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5∴这组数据的样本中心点是(2,4.5)∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6∴线性回归方程是y=0.95x+2.6,∴预测当x=2时,y=0.95×2+2.6=4.5故为:4.529.命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是()A.若a+b不是偶数,则a,b都不是奇数B.若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数C.若a+b是偶数,则a,b都是奇数D.若a+b是偶数,则a,b不都是奇数答案:“a,b都是奇数”的否定是“a,b不都是奇数”,“a+b是偶数”的否定是“a+b不是偶数”,故命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数”.故选B.30.设非零向量、、满足||=||=||,+=,则<,>=()

A.150°

B.120°

C.60°

D.30°答案:B31.按ABO血型系统学说,每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一,依血型遗传学,当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时,子女的血型一定不是O型,若某人的血型为O型,则其父母血型的所有可能情况有()

A.12种

B.6种

C.10种

D.9种答案:D32.(坐标系与参数方程选做题)点P(-3,0)到曲线x=t2y=2t(其中参数t∈R)上的点的最短距离为______.答案:设点Q(t2,2t)为曲线上的任意一点,则|PQ|=(t2+3)2+(2t)2=(t2+5)2-16≥52-16=3,当且仅当t=0取等号,此时Q(0,0).故点P(-3,0)到曲线x=t2y=2t(其中参数t∈R)上的点的最短距离为3.故为3.33.一个凸多面体的各个面都是四边形,它的顶点数是16,则它的面数为()

A.14

B.7

C.15

D.不能确定答案:A34.直角三角形两直角边边长分别为3和4,将此三角形绕其斜边旋转一周,求得到的旋转体的表面积和体积.答案:根据题意,所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成它的底面半径等于直角三角形斜边上的高,高分别等于两条直角边在斜边的射影长∵两直角边边长分别为3和4,∴斜边长为32+42=5,由面积公式可得斜边上的高为h=3×45=125可得所求旋转体的底面半径r=125因此,两个圆锥的侧面积分别为S上侧面=π×125×4=48π5;S下侧面=π×125×3=36π5∴旋转体的表面积S=48π5+36π5=84π5由锥体的体积公式,可得旋转体的体积为V=13π×(125)2×5=48π535.在(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于______.(用数字作答)答案:由于(1+2x)5的展开式的通项公式为Tr+1=Cr5?(2x)r,令r=2求得x2的系数等于C25×22=40,故为40.36.已知函数f(x)=x+3x+1(x≠-1).设数列{an}满足a1=1,an+1=f(an),数列{bn}满足bn=|an-3|,Sn=b1+b2+…+bn(n∈N*).

(Ⅰ)用数学归纳法证明bn≤(3-1)n2n-1;

(Ⅱ)证明Sn<233.答案:证明:(Ⅰ)当x≥0时,f(x)=1+2x+1≥1.因为a1=1,所以an≥1(n∈N*).下面用数学归纳法证明不等式bn≤(3-1)n2n-1.(1)当n=1时,b1=3-1,不等式成立,(2)假设当n=k时,不等式成立,即bk≤(3-1)k2k-1.那么bk+1=|ak+1-3|=(3-1)|ak-3|1+ak3-12bk≤(3-1)k+12k.所以,当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知不等式对任意n∈N*都成立.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn≤(3-1)n2n-1.所以Sn=b1+b2+…+bn≤(3-1)+(3-1)22+…+(3-1)n2n-1=(3-1)•1-(3-12)n1-3-12<(3-1)•11-3-12=233.故对任意n∈N*,Sn<233.37.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为AB、B1C的中点.用AB、AD、AA1表示向量MN,则MN=______.答案:∵MN=MB+BC+CN=12AB+AD+12(CB+BB1)=12AB+AD+12(-AD+AA1)=12AB+12AD+12AA1.故为12AB+12AD+12AA1.38.直线l经过点A(2,-1)和点B(-1,5),其斜率为()

A.-2

B.2

C.-3

D.3答案:A39.三棱锥P-ABC中,M为BC的中点,以为基底,则可表示为()

A.

B.

C.

D.答案:D40.能较好地反映一组数据的离散程度的是()

A.众数

B.平均数

C.标准差

D.极差答案:C41.是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量,且则△OAB的面积等于()

A.15

B.10

C.7.5

D.5答案:D42.设a1,a2,…,an为实数,证明:a1+a2+…+ann≤a21+a22+…+a2nn.答案:证明:不妨设a1≤a2≤…≤an,则由排序原理得:a12+a22+…+an2=a1a1+a2a2+…+anana12+a22+…+an2≤a1a2+a2a3+…+ana1a12+a22+…+an2≤a1a3+a2a4+…+an-1a1+ana2…a12+a22+…+an2≤a1an+a2a1+…+anan-1.将上述n个式子相加,得:n(a12+a22+…+an2)≤(a1+a2+…+an)2,上式两边除以n2,并开方可得:a1+a2+…+ann≤a21+a22+…+a2nn.43.函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.

(1)求f(0)的值;

(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值,猜想f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论;

(3)若f(1)≥1,求证:f(12n)>0(n∈N*).答案:(1)令x=y=0得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0?f(0)=0(2)f(1)=1,f(2)=f(1+1)=1+1+2=4f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16猜想f(n)=n2,下用数学归纳法证明之.①当n=1时猜想成立.②假设n=k时猜想成立,即:f(k)=k2,那么f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+2k+1=(k+1)2.这就是说n=k+1时猜想也成立.对于一切n≥1,n∈N+猜想都成立.(3)f(1)≥1,则f(1)=2f(12)+2×12×12≥1?f(12)≥14>0假设n=k(k∈N*)时命题成立,即f(12k)≥122k>0,则f(12k)=2f(12k+1)+2×12k+1×12k+1≥122k?f(12k+1)≥122(k+1),由上知,则f(12n)>0(n∈N*).44.已知x、y的取值如下表所示:

x0134y2.24.34.86.7若从散点图分析,y与x线性相关,且

y=0.95x+

a,则

a的值等于()A.2.6B.6.3C.2D.4.5答案:∵.x=0+1+3+44=2,.y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5,∴这组数据的样本中心点是(2,4.5)∵y与x线性相关,且y=0.95x+a,∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6,故选A.45.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心,求下列各式中的x,y的值:

(1)AC1=x(AB+BC+CC1),则x=______;

(2)AE=AA1+xAB+yAD,则x=______,y=______;

(3)AF=AD+xAB+yAA1,则x=______,y=______.答案:(1)根据向量加法的首尾相连法则,x=1;(2)由向量加法的三角形法则得,AE=AA1+A1E,由四边形法则和向量相等得,A1E=12(A1B1+A1D1)=12(AB+AD);∴AE=AA1+12AB+12AD,∴x=y=12;(3)由向量加法的三角形法则得,AF=AD+DF,由四边形法则和向量相等得,DF=12(DC+DD1)=12(AB+AA1);∴AF=AD+12AB+12AA1,∴x=y=12.46.设a,b,c是正实数,求证:aabbcc≥(abc)a+b+c3.答案:证明:不妨设a≥b≥c>0,则lga≥lgb≥lgc.据排序不等式有:alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algcalga+blgb+clgc≥clga+algb+blgcalga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc上述三式相加得:3(alga+blgb+clgc)≥(a+b+c)(lga+lgb+lgc)即lg(aabbcc)≥a+b+c3lg(abc)故aabbcc≥(abc)a+b+c3.47.若非零向量满足,则()

A.

B.

C.

D.答案:C48.命题“对于正数a,若a>1,则lg

a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.4答案:原命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”是真命题;逆命题“对于正数a,若lga>0,则a>1”是真命题;否命题“对于正数a,若a≤1,则lga≤0”是真命题;逆否命题“对于正数a,若lga≤0,则a≤1”是真命题.故选D.49.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)的展开式中,一共有多少项?答案:因为:从第一个括号中选一个字母有3种方法,从第二个括号中选一个字母有4种方法,从第三个括号中选一个字母有5种方法.故根据乘法计数原理可知共有N=3×4×5=60(项).50.用三段论的形式写出下列演绎推理.

(1)若两角是对顶角,则该两角相等,所以若两角不相等,则该两角不是对顶角;

(2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以,正方形的对角线相等.答案:(1)两个角是对顶角则两角相等,大前提∠1和∠2不相等,小前提∠1和∠2不是对顶角.结论(2)每一个矩形的对角线相等,大前提正方形是矩形,小前提正方形的对角线相等.结论第2卷一.综合题(共50题)1.把的图象按向量平移得到的图象,则可以是(

)A.B.C.D.答案:D解析:∵,∴要得到的图象,需将的图象向右平移个单位长度,故选D。2.化简5(2a-2b)+4(2b-2a)=______.答案:5(2a-2b)+4(2b-2a)=10a-10b+8b-8a=2a-2b故为:2a-2b3.已知f(x)=1-(x-a)(x-b),并且m,n是方程f(x)=0的两根,则实数a,b,m,n的大小关系可能是()

A.m<a<b<n

B.a<m<n<b

C.a<m<b<n

D.m<a<n<b答案:A4.一个样本a,99,b,101,c中五个数恰成等差数列,则这个样本的极差与标准差分别为(

)。答案:4;5.某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行,比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验,甲胜乙的概率为23.

(1)求比赛三局甲获胜的概率;

(2)求甲获胜的概率;

(3)设甲比赛的次数为X,求X的数学期望.答案:记甲n局获胜的概率为Pn,n=3,4,5,(1)比赛三局甲获胜的概率是:P3=C33(23)3=827;(2)比赛四局甲获胜的概率是:P4=C23(23)3

(13)=827;比赛五局甲获胜的概率是:P5=C24(13)2(23)3=1681;甲获胜的概率是:P3+P4+P5=6481.(3)记乙n局获胜的概率为Pn′,n=3,4,5.P3′=C33(13)3=127,P4′=C23(13)3

(23)=227;P5′=C24(13)3(23)2=881;故甲比赛次数的分布列为:X345P(X)P3+P3′P4+P4′P5+P5′所以甲比赛次数的数学期望是:EX=3(127+827)+4(827+227)+5(1681+881

)=10727.6.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为()

A.(-2,1,-4)

B.(-2,-1,-4)

C.(2,1,-4)

D.(2,-1,4)答案:B7.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()

A.①②B.①③C.①④D.②④答案:正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,圆锥和正四棱锥的,正视图和侧视图相同,所以,正确为D.故选D8.已知事件A与B互斥,且P(A)=0.3,P(B)=0.6,则P(A|.B)=______.答案:∵P(B)=0.6,∴P(.B)=0.4.又事件A与B互斥,且P(A)=0.3,∴P(A|.B)=P(A)P(.B)=0.30.4=34.故为:34.9.下面的结论正确的是()A.一个程序的算法步骤是可逆的B.一个算法可以无止境地运算下去的C.完成一件事情的算法有且只有一种D.设计算法要本着简单方便的原则答案:算法需每一步都按顺序进行,并且结果唯一,不能保证可逆,故A不正确;一个算法必须在有限步内完成,不然就不是问题的解了,故B不正确;一般情况下,完成一件事情的算法不止一个,但是存在一个比较好的,故C不正确;设计算法要尽量运算简单,节约时间,故D正确,故选D.10.若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是()

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形答案:D11.某公司招聘员工,经过笔试确定面试对象人数,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为:y=4x,1≤x≤102x+10,10<x≤1001.5x

,x>100其中x代表拟录用人数,y代表面试对象人数.若应聘的面试对象人数为60人,则该公司拟录用人数为()A.15B.40C.130D.25答案:∵y=4x,1≤x≤102x+10,10<x≤1001.5x

,x>100=60,∴当1≤x≤10时,由4x=60得x=15?[1,10],不满足题意;当10<x≤100时,由2x+10=60得x=25∈(10,100],满足题意;当x>100时,由1.5x=60得x=40?(100,+∞),不满足题意.∴该公司拟录用人数为25.故选D.12.已知A(0,1),B(3,7),C(x,15)三点共线,则x的值是()

A.5

B.6

C.7

D.8答案:C13.从5名男学生、3名女学生中选3人参加某项知识对抗赛,要求这3人中既有男生又有女生,则不同的选法共有()A.45种B.56种C.90种D.120种答案:由题意知本题是一个分类计数问题,要求这3人中既有男生又有女生包括两种情况,一是两女一男,二是两男一女,当包括两女一男时,有C32C51=15种结果,当包括两男一女时,有C31C52=30种结果,∴根据分类加法得到共有15+30=45故选A.14.若已知中心在坐标原点的椭圆过点(1,233),且它的一条准线方程为x=3,则该椭圆的方程为______.答案:设椭圆的方程是x2a2+y2b2=1,由题设,中心在坐标原点的椭圆过点(1,233),且它的一条准线方程为x=3,∴1a2+43b2=1,a2c=3,又a2=c2+b2三式联立可以解得a=3,b=2,c=1或a=7,b=143,c=73故该椭圆的方程为x23+y22=1或x27+y2149=1故应填x23+y22=1或x27+y2149=115.不等式-x≤1的解集是(

)。答案:{x|0≤x≤2}16.200辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速不低于60km/h的汽车数量为

______辆.答案:时速不低于60km/h的汽车的频率为(0.028+0.01)×10=0.38∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76故为:7617.若命题p:2是偶数;命题q:2是5的约数,则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.(¬p)∧(¬q)C.¬pD.p∨q答案:∵2是偶数,∴命题p为真命题∵2不是5的约数,∴命题q为假命题∴p或q为真命题故选D18.已知向量=(2,4,x),=(2,y,2),若||=6,

⊥,则x+y的值是()

A.-3或1

B.3或1

C.-3

D.1答案:A19.从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有()A.120个B.480个C.720个D.840个答案:要选取5个字母时首先从其它6个字母中选3个有C63种结果,再与“qu“组成的一个元素进行全排列共有C63A44=480,故选B.20.若a>0,b<0,直线y=ax+b的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

答案:C21.编号为A、B、C、D、E的五个小球放在如图所示的五个盒子中,要求每个盒子只能放一个小球,且A不能放1,2号,B必需放在与A相邻的盒子中,则不同的放法有()种.A.42B.36C.30D.28答案:根据题意,A不能放1,2号,则A可以放在3、4、5号盒子,分2种情况讨论:①当A在4、5号盒子时,B有1种放法,剩下3个有A33=6种不同放法,此时,共有2×1×6=12种情况;②当A在3号盒子时,B有3种放法,剩下3个有A33=6种不同放法,此时,共有1×3×6=18种情况;由加法原理,计算可得共有12+18=30种不同情况;故选C.22.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为AB、B1C的中点.用AB、AD、AA1表示向量MN,则MN=______.答案:∵MN=MB+BC+CN=12AB+AD+12(CB+BB1)=12AB+AD+12(-AD+AA1)=12AB+12AD+12AA1.故为12AB+12AD+12AA1.23.下列四组函数,表示同一函数的是()A.f(x)=x2,g(x)=xB.f(x)=x,g(x)=x2xC.f(x)=lnx2,g(x)=2lnxD.f(x)=logaax(0<a≠1),g(x)=3x3答案:同一函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系,A中的2个函数的值域不同,B中的2个函数的定义域不同,C中的2个函数的对应关系不同,只有D的2个函数的定义域、值域、对应关系完全相同,故选D.24.直线x+1=0的倾斜角是______.答案:直线x+1=0与x轴垂直,所以直线的倾斜角为90°.故为:90°.25.经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为()

A.y2=-8x

B.x2=-8y

C.y2=x或x2=-8y

D.y2=x或y2=8x答案:C26.过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为()

A.x-2y+7=0

B.2x+y-1=0

C.x-2y-5=0

D.2x+y-5=0答案:A27.已知x,y的取值如下表:

x0134y2.24.34.86.7从散点图分析,y与x线性相关,则回归方程为.y=bx+a必过点______.答案:.X=0+1+3+44=2,.Y=2.2+4.3+4.8+6.74=92,故样本中心点的坐标为(2,92).故为:(2,92).28.i是虚数单位,a,b∈R,若ia+bi=1+i,则a+b=______.答案:∵ia+bi=1+i,a,b∈R,∴i(a-bi)(a+bi)(a-bi)=1+i,∴b+aia2+b2=1+i,化为b+ai=(a2+b2)+(a2+b2)i,根据复数相等的定义可得b=a2+b2a=a2+b2,a2+b2≠0解得a=b=12.∴a+b=1.故为1.29.命题:“方程X2-2=0的解是X=±2”中使用逻辑联系词的情况是()A.没有使用逻辑连接词B.使用了逻辑连接词“且”C.使用了逻辑连接词“或”D.使用了逻辑连接词“非”答案:命题:“方程X2-2=0的解是X=±2”可以化为:“方程X2-2=0的解是X=2,或X=-2”故命题:“方程X2-2=0的解是X=±2”中使用逻辑联系词为:或故选C30.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=

,其中A的各位数中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为.记ξ=a1+a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时,ξ的数学期望Eξ=()

A.

B.

C.

D.答案:C31.若p、q是两个简单命题,且“p或q”的否定形式是真命题,则()

A.p真q真

B.p真q假

C.p假q真

D.p假q假答案:D32.经过两点A(-3,5),B(1,1

)的直线倾斜角为______.答案:因为两点A(-3,5),B(1,1

)的直线的斜率为k=1-51-(-3)=-1所以直线的倾斜角为:135°.故为:135°.33.①附中高一年级聪明的学生;

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;

③不小于3的正整数;

④3的近似值;

考察以上能组成一个集合的是______.答案:因为直角坐标系中横、纵坐标相等的点是确定的,所以②能构成集合;不小于3的正整数是确定的,所以③能构成集合;附中高一年级聪明的学生,不是确定的,原因是没法界定什么样的学生为聪明的,所以①不能构成集合;3的近似值没说明精确到哪一位,所以是不确定的,故④不能构成集合.34.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()

A.-y2=1

B.-y2=1

C.-=1

D.x2-=1答案:B35.已知定义在实数集上的偶函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,那么y1=f(π3),y2=f(3x2+1)和y3=f(log214)之间的大小关系为()A.y1<y3<y2B.y1<y2<y3C.y3<y1<y2D.y3<y2<y1答案:∵偶函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是增函数∴|x|越大,函数值就越大∵|3x2+1|≥3,|log214|=2∴|3x2+1|>|log214|>π3∴y1<y3<y2故选A36.命题“若A∪B=A,则A∩B=B”的否命题是()A.若A∪B≠A,则A∩B≠BB.若A∩B=B,则A∪B=AC.若A∩B≠A,则A∪B≠BD.若A∪B=B,则A∩B=A答案:“若A∪B=A,则A∩B=B”的否命题:“若A∪B≠A则A∩B≠B”故选A.37.若向量=(1,λ,2),=(-2,1,1),,夹角的余弦值为,则λ等于()

A.1

B.-1

C.±1

D.2答案:A38.化简下列各式:

(1)AB+DF+CD+BC+FA=______;

(2)(AB+MB)+(BO+BC)+OM=______.答案:(1)AB+DF+CD+BC+FA=(AB+BC+CD+DF)+FA=AF+FA=0;(2)(AB+MB)+(BO+BC)+OM=(AB+BC)+MB+(BO+OM)=AC+MB+BM=AC+(MB+BM)=AC+0=AC,故为:(1)0;(2)AC39.某班一天上午安排语、数、外、体四门课,其中体育课不能排在第一、第四节,则不同排法的种数为()A.24B.22C.20D.12答案:先排体育课,有2种排法,再排语、数、外三门课,有A33种排法,按乘法原理,不同排法的种数为2×A33=12.故选D.40.已知不等式a≤对x取一切负数恒成立,则a的取值范围是____________.答案:a≤2解析:要使a≤对x取一切负数恒成立,令t=|x|>0,则a≤.而≥=2,∴a≤2.41.以抛物线的焦点弦为直径的圆与其准线的位置关系是(

A.相切

B.相交

C.相离

D.以上均有可能答案:A42.在边长为1的正方形中,有一个封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机的撒入100粒豆子,恰有60粒落在阴影区域内,那么阴影区域的面积为______.

答案:设阴影部分的面积为x,由概率的几何概型知,则60100=x1,解得x=35.故为:35.43.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()

A.直线

B.椭圆

C.抛物线

D.双曲线答案:D44.图是正方体平面展开图,在这个正方体中

①BM与ED垂直;

②DM与BN垂直.

③CN与BM成60°角;④CN与BE是异面直线.

以上四个命题中,正确命题的序号是______.答案:由已知中正方体的平面展开图,我们可以得到正方体的直观图如下图所示:由正方体的几何特征可得:①BM与ED垂直,正确;

②DM与BN垂直,正确;③CN与BM成60°角,正确;④CN与BE平行,故CN与BE是异面直线,错误;故为:①②③45.选修4-2:矩阵与变换

已知矩阵M=0110,N=0-110.在平面直角坐标系中,设直线2x-y+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F,求曲线F的方程.答案:由题设得MN=01100-111=100-1.…(3分)设(x,y)是直线2x-y+1=0上任意一点,点(x,y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x′,y′),则有1001xy=x′y′,即x-y=x′y′,所以x=x′y=-y′…(7分)因为点(x,y)在直线2x-y+1=0上,从而2x′-(-y′)+1=0,即2x′+y′+1=0.所以曲线F的方程为2x+y+1=0.

…(10分)46.某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下:

61

76

70

56

81

91

55

91

75

81

88

67

101

103

57

91

77

86

81

83

82

82

64

79

86

85

75

71

49

45

(Ⅰ)完成下面的频率分布表;

(Ⅱ)完成下面的频率分布直方图,并写出频率分布直方图中a的值;

(Ⅲ)在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天,求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内的概率.

分组频数频率[41,51)2230[51,61)3330[61,71)4430[71,81)6630[81,91)[91,101)[101,111)2230答案:(Ⅰ)如下图所示.

…(4分)(Ⅱ)如下图所示.…(6分)由己知,空气质量指数在区间[71,81)的频率为630,所以a=0.02.…(8分)分组频数频率………[81,91)101030[91,101)3330………(Ⅲ)设A表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天,这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”,由己知,质量指数在区间[91,101)内的有3天,记这三天分别为a,b,c,质量指数在区间[101,111)内的有2天,记这两天分别为d,e,则选取的所有可能结果为:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e).基本事件数为10.…(10分)事件“至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”的可能结果为:(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e).基本事件数为7,…(12分)所以P(A)=710.…(13分)47.(选做题)某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养温度,实验范围定为29℃~63℃,精确度要求±1℃,用分数法进行优选时,能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为(

)。答案:748.若平面向量a与b的夹角为120°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=______.答案:∵|a+2b|=(a+2b)2=a

2+4a?b+4

b2=|a|2+4|a||b|cos<a,b>+4|b|2=22+4×2×1cos120°+4×1=2.故为:249.(几何证明选讲选做题)

如图,已知PA是圆O的切线,切点为A,直线PO交圆O于B,C两点,AC=2,∠PAB=120°,则切线PA的长度等于______.答案:∵∠PAB=120°,∴优弧ACB=240°,∴劣弧AB=120°,∴∠ACB=60°,又∵OA=OC故∠AOP=60°,OA=AC=2,∠又∵PA是圆O的切线,切点为A,∴∠OAP=90°∴PA=3OA=23故为:2350.m为何值时,关于x的方程8x2-(m-1)x+(m-7)=0的两根,

(1)为正数;

(2)一根大于2,一根小于2.答案:(1)设方程两根为x1,x2,则∵方程的两根为正数,∴△≥0x1+x2>0x1x2>0即[-(m-1)]2-4×8×(m-7)>0--(m-1)8>0m-78>0解得7<m≤9或m≥25.(2)令f(x)=8x2-(m-1)x+(m-7),由题意得f(2)<0,解得m>27.第3卷一.综合题(共50题)1.俊、杰兄弟俩分别在P、Q两篮球队效力,P队、Q队分别有14和15名球员,且每个队员在各自队中被安排首发上场的机会是均等的,则P、Q两队交战时,俊、杰兄弟俩同为首发上场交战的概率是(首发上场各队五名队员)(

)A.B.C.D.答案:B解析:解:P(俊首发)=

P(杰首发)==P(俊、杰同首发)=

选B评析:考察考生等可能事件的概率与相互独立事件的概率问题。2.已知m,n为正整数.

(Ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;

(Ⅱ)对于n≥6,已知(1-1n+3)n<12,求证(1-mn+3)n<(12)m,m=1,2…,n;

(Ⅲ)求出满足等式3n+4n+5n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.答案:解法1:(Ⅰ)证:用数学归纳法证明:当x=0时,(1+x)m≥1+mx;即1≥1成立,x≠0时,证:用数学归纳法证明:(ⅰ)当m=1时,原不等式成立;当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x2≥0,所以左边≥右边,原不等式成立;(ⅱ)假设当m=k时,不等式成立,即(1+x)k≥1+kx,则当m=k+1时,∵x>-1,∴1+x>0,于是在不等式(1+x)k≥1+kx两边同乘以1+x得(1+x)k•(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x,所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x.即当m=k+1时,不等式也成立.综合(ⅰ)(ⅱ)知,对一切正整数m,不等式都成立.(Ⅱ)证:当n≥6,m≤n时,由(Ⅰ)得(1-1n+3)m≥1-mn+3>0,于是(1-mn+3)n≤(1-1n+3)nm=[(1-1n+3)n]m<(12)m,m=1,2,n.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当n≥6时,(1-1n+3)n+(1-2n+3)n++(1-nn+3)n<12+(12)^++(12)n=1-12n<1,∴(n+2n+3)n+(n+1n+3)n++(3n+3)n<1.即3n+4n+…+(n+2)n<(n+3)n.即当n≥6时,不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形:当n=1时,3≠4,等式不成立;当n=2时,32+42=52,等式成立;当n=3时,33+43+53=63,等式成立;当n=4时,34+44+54+64为偶数,而74为奇数,故34+44+54+64≠74,等式不成立;当n=5时,同n=4的情形可分析出,等式不成立.综上,所求的n只有n=2,3.解法2:(Ⅰ)证:当x=0或m=1时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明:当x>-1,且x≠0时,m≥2,(1+x)m>1+mx.①(ⅰ)当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x≠0,所以x2>0,即左边>右边,不等式①成立;(ⅱ)假设当m=k(k≥2)时,不等式①成立,即(1+x)k>1+kx,则当m=k+1时,因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得(1+x)k•(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以(1+x)k+1>1+(k+1)x.即当m=k+1时,不等式①也成立.综上所述,所证不等式成立.(Ⅱ)证:当n≥6,m≤n时,∵(1-1n+3)n<12,∴[(1-1n+3)m]n<(12)m,而由(Ⅰ),(1-1n+3)m≥1-mn+3>0,∴(1-mn+3)n≤[(1-1n+3)m]n<(12)m.(Ⅲ)假设存在正整数n0≥6使等式3n0+4n0++(n0+2)n0=(n0+3)n0成立,即有(3n0+3)n0+(4n0+3)n0++(n0+2n0+3)n0=1.②又由(Ⅱ)可得(3n0+3)n0+(4n0+3)n0++(n0+2n0+3)n0=(1-n0n0+3)n0+(1-n0-1n0+3)n0++(1-1n0+3)n0<(12)n0+(12)n0-1++12=1-12n0<1,与②式矛盾.故当n≥6时,不存在满足该等式的正整数n.下同解法1.3.已知f(x+1)=x2+2x+3,则f(2)的值为______.答案:由f(x+1)=x2+2x+3,得f(1+1)=12+2×1+3=6,故为:6.4.P是以F1,F2为焦点的椭圆上一点,过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线,垂足为M,则点M的轨迹是()

A.椭圆

B.圆

C.双曲线

D.双曲线的一支答案:B5.过A(-2,3),B(2,1)两点的直线的斜率是()

A.

B.

C.-2

D.2答案:B6.给出函数f(x)的一条性质:“存在常数M,使得|f(x)|≤M|x|对于定义域中的一切实数x均成立.”则下列函数中具有这条性质的函数是()A.y=1xB.y=x2C.y=x+1D.y=xsinx答案:根据|sinx|≤1可知|y|=|xsinx|=|x||sinx|≤|x|永远成立故选D.7.已知集合A={1,2,3},集合B={4,5},映射f:A→B,且满足1对应的元素是4,则这样的映射有()A.2个B.4个C.8个D.9个答案:∵满足1对应的元素是4,集合A中还有两个元素2和3,2可以和4对应,也可以和5对应,3可以和4对应,也可以和5对应,每个元素有两种不同的对应,∴共有2×2=4种结果,故选B.8.解关于x的不等式(k≥0,k≠1).答案:不等式的解集为{x|x2}解析:原不等式即,1°若k=0,原不等式的解集为空集;2°若1-k>0,即0,所以原不等式的解集为{x|x2}.</k<1,由原不等式的解集为{x|2<x<</k<1时,原不等式等价于9.如图所示,已知PA切圆O于A,割线PBC交圆O于B、C,PD⊥AB于D,PD与AO的延长线相交于点E,连接CE并延长交圆O于点F,连接AF.

(1)求证:B,C,E,D四点共圆;

(2)当AB=12,tan∠EAF=23时,求圆O的半径.答案:(1)由切割线定理PA2=PB?PC由已知易得Rt△PAD∽Rt△PEA,∴PA2=PD?PE,∴PA2=PB?PC=PA2=PD?PE,又∠BPD为公共角,∴△PBD∽△PEC,∴∠BDP=∠C∴B,C,E,D四点共圆

(2)作OG⊥AB于G,由(1)知∠PBD=∠PEC,∵∠PBD=∠F,∴∠F=∠PEC,∴PE∥AF.∵AB=12,∴AG=6.∵PD⊥AB,∴PD∥OG.∴PE∥OG∥AF,∴∠AOG=∠EAF.在Rt△AOG中,tan∠AOG=tan∠EAF=23=6OG,∴OG=9∴R=AO=AG2+OG2=313∴圆O的半径313.10.已知向量,,,则(

)A.B.C.5D.25答案:C解析:将平方即可求得C.11.不等式≥0的解集为[-2,3∪[7,+∞,则a-b+c的值是(

)A.2B.-2C.8D.6答案:B解析:∵-a、b的值为-2,7中的一个,x≠c

c=3∴a-b=-(b-a)=-(-2+7)=-5a-b+c=-5+3=-2

选B评析:考察考生对不等式解集的结构特征的理解,关注不等式中等号与不等号的关系。12.下列函数中,与函数y=1x有相同定义域的是()A.f(x)=lnxB.f(x)=1xC.f(x)=x3D.f(x)=ex答案:∵函数y=1x,∴x>0,A、∵f(x)=lnx,∴x>0,故A正确;B、∵f(x)=1x,∴x≠0,故B错误;C、f(x)=x3,其定义域为R,故C错误;D、f(x)=ex,其定义域为R,故D错误;故选A.13.设空间两个不同的单位向量

a=(x1,y1,0),

b=(x2,y2,0)与向量

c=(1,1,1)的夹角都等于45°.

(1)求x1+y1和x1y1的值;

(2)求<

a,

b>的大小.答案:(1)∵单位向量a=(x1,y1,0)与向量c=(1,1,1)的夹角等于45°∴|a|=x21+y21=1,cos45°=a?

c|a|?

|c|=13(x1+y1)=22∴x1+y1=62,x1?y1=-14(2)同理可知x2+y2=22,x2?y2=-14∴x1?x2=-14,y1?y2=-14cos<a,b>=a?b|a|?|b|=x1?x2+y1?y2=-12∴<a,b>=120°14.天气预报说,在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%,用随机模拟的方法进行试验,由1、2、3、4表示下雨,由5、6、7、8、9、0表示不下雨,利用计算器中的随机函数产生0~9之间随机整数的20组如下:

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为(

)。答案:0.2515.若=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是()

A.(0,-3,1)

B.(2,0,1)

C.(-2,-3,1)

D.(-2,3,-1)答案:D16.设M是□ABCD的对角线的交点,O为任意一点(且不与M重合),则OA+OB+OC+OD

等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM答案:∵O为任意一点,不妨把A点O看成O点,则OA+OB+OC+OD=0+AB+AC

+AD,∵M是□ABCD的对角线的交点,∴0+AB+AC+AD=2AC=4AM故选D17.若x,y∈R,x>0,y>0,且x+2y=1,则xy的最大值为______.答案:∵x,y∈R,x>0,y>0,且x+2y=1,∴1=x+2y≥2x?2y,∴22×xy≤1,∴xy≤

122=24,所以xy≤18.当且仅当x=2yx+2y=1时,即x=12,y=14时,取等号.故为:18.18.用反证法证明命题“如果a>b>0,那么a2>b2”时,假设的内容应是()

A.a2=b2

B.a2<b2

C.a2≤b2

D.a2<b2,且a2=b2答案:C19.方程组的解集为()

A.{2,1}

B.{1,2}

C.{(2,1)}

D.(2,1)答案:C20.假设两圆互相外切,求证:用连心线做直径的圆,必与前两圆的外公切线相切.答案:证明:设⊙O1及⊙O2为互相外切的两个圆,其一外公切线为A1A2,切点为A1及A2令点O为连心线O1O2的中点,过O作OA⊥A1A2,由直角梯形的中位线性质得:OA=12(O1A1+O2A2)=12O1O2,∴以O1O2为直径,即以O为圆心,OA为半径的圆必与直线A1A2相切,同理可证,此圆必切于⊙O1及⊙O2的另一条外公切线.21.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)=()

A.

B.

C.

D.答案:D22.已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2),则直线AB的斜率为______.答案:因为A(0,4)和点B(1,2),所以直线AB的斜率k=2-41-0=-2故为:-223.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点是F2(2,0),且b=3a.

(1)求双曲线C的方程;

(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1),当直线l与双曲线C的右支相交于A,B不同的两点时,求实数m的取值范围;并证明AB中点M在曲线3(x-1)2-y2=3上.

(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支相交于A,B两点,问是否存在实数m,使得∠AOB为锐角?若存在,请求出m的范围;若不存在,请说明理由.答案:(1)c=2c2=a2+b2∴4=a2+3a2∴a2=1,b2=3,∴双曲线为x2-y23=1.(2)l:m(x-2)+y=0由y=-mx+2mx2-y23=1得(3-m2)x2+4m2x-4m2-3=0由△>0得4m4+(3-m2)(4m2+3)>012m2+9-3m2>0即m2+1>0恒成立又x1+x2>0x1•x2>04m2m2-3>04m2+3m2-3>0∴m2>3∴m∈(-∞,-3)∪(3,+∞)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x22=2m2m2-3y1+y22=-2m3m2-3+2m=-6mm2-3∴AB中点M(2m2m2-3,-6mm2-3)∵3(2m2m2-3-1)2-36m2(m2-3)2=3×(m2+3)2(m2-3)2-36m2(m2-3)2=3•m4+6m2+9-12m2(m2-3)2=3∴M在曲线3(x-1)2-y2=3上.(3)A(x1,y1),B(x2,y2),设存在实数m,使∠AOB为锐角,则OA•OB>0∴x1x2+y1y2>0因为y1y2=(-mx1+2m)(-mx2+2m)=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2∴(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2>0∴(1+m2)(4m2+3)-8m4+4m2(m2-3)>0即7m2+3-12m2>0∴m2<35,与m2>3矛盾∴不存在24.在空间中,有如下命题:

①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线;

②若平面α∥平面β,则平面α内任意一条直线m∥平面β;

③若平面α与平面β的交线为m,平面α内的直线n⊥直线m,则直线n⊥平面β.

其中正确命题的个数为()个.

A.0

B.1

C.2

D.3答案:B25.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()

A.直线

B.椭圆

C.抛物线

D.双曲线答案:D26.抛物线x2+y=0的焦点位于()

A.y轴的负半轴上

B.y轴的正半轴上

C.x轴的负半轴上

D.x轴的正半轴上答案:A27.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:

男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110为了判断爱好该项运动是否与性别有关,由表中的数据此算得k2≈7.8,因为P(k2≥6.635)≈0.01,所以判定爱好该项运动与性别有关,那么这种判断出错的可能性为______.答案:由题意知本题所给的观测值,k2≈7.8∵7.8>6.635,又∵P(k2≥6.635)≈0.01,∴这个结论有0.01=1%的机会说错,故为:1%28.已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧,F为焦点,且|AF|=2,|BF|=5,在抛物线的AOB一段上求一点P,使S△ABP最大,并求面积最大值.答案:不妨设点A在第一象限,B点在第四象限.如图.抛物线的焦点F(1,0),点A在第一象限,设A(x1,y1),y1>0,由|FA|=2得x1+1=2,x1=1,代入y2=4x中得y1=2,所以A(1,2),…(2分);同理B(4,-4),…(4分)由A(1,2),B(4,-4)得|AB|=(1-4)2+(2+4)2=35…(6分)直线AB的方程为y-2-4-2=x-14-1,化简得2x+y-4=0.…(8分)再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0,y0),且0≤x0≤4,-4≤y0≤2.则点P到直线AB的距离d=|2x0+y0-4|1+4=|2×y0

24+y0-4|5=|12(y0+1)2-92|5

…(9分)所以当y0=-1时,d取最大值9510,…(10分)所以△PAB的面积最大值为S=12×35×9510=274

…(11分)此时P点坐标为(14,-1).…(12分).29.甲、乙两人约定上午7:20至8:00之间到某站乘公共汽车,在这段时间内有3班公共汽车,它们开车的时刻分别是7:40、7:50和8:00,甲、乙两人约定,见车就乘,则甲、乙同乘一车的概率为(假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的,且每人在7:20至8:00时的任何时刻到达车站都是等可能的)()A.13B.12C.38D.58答案:甲、乙同乘第一辆车的概率为12×12=14,甲、乙同乘第二辆车的概率为14×14=116,甲、乙同乘第三辆车的概率为14×14=116,甲、乙同乘一车的概率为14+116+116=38,故选C.30.某品牌平板电脑的采购商指导价为每台2000元,若一次采购数量达到一定量,还可享受折扣.如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图,若一次采购85台该平板电脑,则S=______元.答案:分析程序中各变量、各语句,其作用是:表示一次采购共需花费的金额,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算分段函数S=200×0.8?x,x>100200×0.9?x,50<x≤100200?x,0<x≤50的值,∵x=85,∴S=200×0.9×85=15300(元),故为:15300.31.已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,假定某次试验种子发芽,则称该次试验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次试验是失败的.

(1)第一个小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率;

(2)第二个小组进行试验,到成功了4次为止,求在第四次成功之前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率.答案:(1)(2)解析:(1)第一个小组做了三次试验,至少两次试验成功的概率是P(A)=·+=.(2)第二个小组在第4次成功前,共进行了6次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,其中各种可能的情况种数为=12.因此所求的概率为P(B)=12×·=.32.直角坐标xOy平面上,平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有()

A.25个

B.36个

C.100个

D.225个答案:D33.抛物线y=14x2的焦点坐标是______.答案:抛物线y=14x2

即x2=4y,∴p=2,p2=1,故焦点坐标是(0,1),故为(0,1).34.已知R为实数集,Q为有理数集.设函数f(x)=0,(x∈CRQ)1,(x∈Q),则()A.函数y=f(x)的图象是两条平行直线B.limx→∞f(x)=0或limx→∞f(x)=1C.函数f[f(x)]恒等于0D.函数f[f(x)]的导函数恒等于0答案:函数y=f(x)的图象是两条平行直线上的一些孤立的点,故A不正确;函数f(x)的极限只有唯一的值,左右极限不等,则该函数不存在极限,故B不正确;若x是无理数,则f(x)=0,f[f(x)]=f(0)=1,故C不正确;∵f[f(x)]=1,∴函数f[f(x)]的导函数恒等于0,故D正确;故选D.35.已知ABCD是平行四边形,P点是ABCD所在平面外的一点,连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.

(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面;

(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.答案:(1)证明略(2)平面EFGH∥平面ABCD解析:(1)

分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点,因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心,所以M、N、Q、R为所

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