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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在直角梯形中,,,,,点为上一点,且,当的值最大时,()A. B.2 C. D.2.已知是虚数单位,若,则()A. B.2 C. D.103.把函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象.给出下列四个命题①的值域为②的一个对称轴是③的一个对称中心是④存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是()A.1 B.2 C.3 D.44.直角坐标系中,双曲线()与抛物线相交于、两点,若△是等边三角形,则该双曲线的离心率()A. B. C. D.5.在展开式中的常数项为A.1 B.2 C.3 D.76.已知函数满足:当时,,且对任意,都有,则()A.0 B.1 C.-1 D.7.下列命题是真命题的是()A.若平面,,,满足,,则;B.命题:,,则:,;C.“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件;D.命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”.8.已知不重合的平面和直线,则“”的充分不必要条件是()A.内有无数条直线与平行 B.且C.且 D.内的任何直线都与平行9.A. B. C. D.10.已知实数,则的大小关系是()A. B. C. D.11.记为等差数列的前项和.若,,则()A.5 B.3 C.-12 D.-1312.《普通高中数学课程标准(2017版)》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为5分,分值高者为优),则下面叙述正确的是()A.甲的数据分析素养高于乙B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差D.乙的六大素养整体平均水平优于甲二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)已知椭圆方程为,过其下焦点作斜率存在的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,则面积的取值范围是____________.14.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的高三年级为12人,则抽取的样本容量为________人.15.设为椭圆在第一象限上的点,则的最小值为________.16.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值为,则实数的值是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,.(1)解;(2)若,证明:.18.(12分)某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响,对近五年该产品的年产量和价格统计如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y关于x的线性回归方程;(2)若每吨该产品的成本为12千元,假设该产品可全部卖出,预测当年产量为多少时,年利润w取到最大值?参考公式:19.(12分)如图,已知正方形所在平面与梯形所在平面垂直,BM∥AN,,,.(1)证明:平面;(2)求点N到平面CDM的距离.20.(12分)已知椭圆的中心在坐标原点,其短半轴长为,一个焦点坐标为,点在椭圆上,点在直线上的点,且.证明:直线与圆相切;求面积的最小值.21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(),将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.(1)求曲线的普通方程和极坐标方程;(2)设直线与曲线交于两点,求的取值范围.22.(10分)2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中,居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识"的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1000人的得分数据,其频率分布直方图如图:(1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布,近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布,求P();(2)在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:(i)得分不低于可获赠2次随机话费,得分低于则只有1次:(ii)每次赠送的随机话费和对应概率如下:赠送话费(单位:元)1020概率现有一位市民要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列.附:,若,则,.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
由题,可求出,所以,根据共线定理,设,利用向量三角形法则求出,结合题给,得出,进而得出,最后利用二次函数求出的最大值,即可求出.【详解】由题意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵点在线段上,设,则,即,又因为所以,所以,当时,等号成立.所以.故选:B.【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理,以及运用二次函数求最值,考查转化思想和解题能力.2.C【解析】
根据复数模的性质计算即可.【详解】因为,所以,,故选:C【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质,属于容易题.3.C【解析】
由图象变换的原则可得,由可求得值域;利用代入检验法判断②③;对求导,并得到导函数的值域,即可判断④.【详解】由题,,则向右平移个单位可得,,的值域为,①错误;当时,,所以是函数的一条对称轴,②正确;当时,,所以的一个对称中心是,③正确;,则,使得,则在和处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个.故选:C【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.4.D【解析】
根据题干得到点A坐标为,代入抛物线得到坐标为,再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形,设直线OA为,设点A坐标为,代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为,代入双曲线得到故答案为:D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,结合转化为的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范围).5.D【解析】
求出展开项中的常数项及含的项,问题得解。【详解】展开项中的常数项及含的项分别为:,,所以展开式中的常数项为:.故选:D【点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想,考查计算能力,属于基础题。6.C【解析】
由题意可知,代入函数表达式即可得解.【详解】由可知函数是周期为4的函数,.故选:C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用,属于基础题.7.D【解析】
根据面面关系判断A;根据否定的定义判断B;根据充分条件,必要条件的定义判断C;根据逆否命题的定义判断D.【详解】若平面,,,满足,,则可能相交,故A错误;命题“:,”的否定为:,,故B错误;为真,说明至少一个为真命题,则不能推出为真;为真,说明都为真命题,则为真,所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件,故C错误;命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”,故D正确;故选D【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件,写出命题的逆否命题等,属于中档题.8.B【解析】
根据充分不必要条件和直线和平面,平面和平面的位置关系,依次判断每个选项得到答案.【详解】A.内有无数条直线与平行,则相交或,排除;B.且,故,当,不能得到且,满足;C.且,,则相交或,排除;D.内的任何直线都与平行,故,若,则内的任何直线都与平行,充要条件,排除.故选:.【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面,平面和平面的位置关系,意在考查学生的综合应用能力.9.A【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】本题正确选项:【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.10.B【解析】
根据,利用指数函数对数函数的单调性即可得出.【详解】解:∵,∴,,.∴.故选:B.【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.B【解析】
由题得,,解得,,计算可得.【详解】,,,,解得,,.故选:B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,前项和公式,考查了学生运算求解能力.12.D【解析】
根据雷达图对选项逐一分析,由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A选项,甲的数据分析分,乙的数据分析分,甲低于乙,故A选项错误.对于B选项,甲的建模素养分,乙的建模素养分,甲低于乙,故B选项错误.对于C选项,乙的六大素养中,逻辑推理分,不是最差,故C选项错误.对于D选项,甲的总得分分,乙的总得分分,所以乙的六大素养整体平均水平优于甲,故D选项正确.故选:D【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由题意,,则,得.由题意可设的方程为,,联立方程组,消去得,恒成立,,,则,点到直线的距离为,则,又,则,当且仅当即时取等号.故面积的取值范围是.14.【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【详解】设抽取的样本为,则由题意得,解得.故答案为:【点睛】本题考查了分层抽样的知识,算出抽样比是解题的关键,属于基础题.15.【解析】
利用椭圆的参数方程,将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题,利用两角和的正弦公式和三角函数的性质,以及求导数、单调性和极值,即可得到所求最小值.【详解】解:设点,,其中,,由,,,可设,导数为,由,可得,可得或,由,,可得,即,可得,由可得函数递减;由,可得函数递增,可得时,函数取得最小值,且为,则的最小值为1.故答案为:1.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用,利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法,考查化简变形能力和运算能力,属于难题.16.1【解析】
把向量进行转化,用表示,利用基本不等式可求实数的值.【详解】,解得=1.故答案为:1.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用,综合了基本不等式,侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)见解析.【解析】
(1)在不等式两边平方化简转化为二次不等式,解此二次不等式即可得出结果;(2)利用绝对值三角不等式可证得成立.【详解】(1),,由得,不等式两边平方得,即,解得或.因此,不等式的解集为;(2),,由绝对值三角不等式可得.因此,.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式,考查推理能力与运算求解能力,属于中等题.18.(1)(2)当时,年利润最大.【解析】
(1)方法一:令,先求得关于的回归直线方程,由此求得关于的回归直线方程.方法二:根据回归直线方程计算公式,计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小.(2)求得w的表达式,根据二次函数的性质作出预测.【详解】(1)方法一:取,则得与的数据关系如下123457.06.55.53.82.2,,,.,,关于的线性回归方程是即,故关于的线性回归方程是.方法二:因为,,,,,所以,故关于的线性回归方程是,(2)年利润,根据二次函数的性质可知:当时,年利润最大.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法,考查利用回归直线方程进行预测,考查运算求解能力,属于中档题.19.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)因为正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直,平面平面,,所以平面ABMN,因为平面ABMN,平面ABMN,所以,,因为,所以,因为,所以,所以,因为在直角梯形ABMN中,,所以,所以,所以,因为,所以平面.(2)如图,取BM的中点E,则,又BM∥AN,所以四边形ABEN是平行四边形,所以NE∥AB,又AB∥CD,所以NE∥CD,因为平面CDM,平面CDM,所以NE∥平面CDM,所以点N到平面CDM的距离与点E到平面CDM的距离相等,设点N到平面CDM的距离为h,由可得点B到平面CDM的距离为2h,由题易得平面BCM,所以,且,所以,又,所以由可得,解得,所以点N到平面CDM的距离为.20.证明见解析;1.【解析】
由题意可得椭圆的方程为,由点在直线上,且知的斜率必定存在,分类讨论当的斜率为时和斜率不为时的情况列出相应式子,即可得出直线与圆相切;由知,的面积为【详解】解:由题意,椭圆的焦点在轴上,且,所以.所以椭圆的方程为.由点在直线上,且知的斜率必定存在,当的斜率为时,,,于是,到的距离为,直线与圆相切.当的斜率不为时,设的方程为,与联立得,所以,,从而.而,故的方程为,而在上,故,从而,于是.此时,到的距离为,直线与圆相切.综上,直线与圆相切.由知,的面积为,上式中,当且仅当等号成立,所以面积的最小值为1.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识,考查化归与转化思想,属于难题.21.(1)的极坐标方程为,普通方程为;(2)【解析】
(1)根据三角函数恒等变换可得,,可得曲线的普通方程,再运用图像的平移得依题意得曲线的普通方程为,利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程;(2)法一
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