高中数学 函数的单调性与最大（小）值 新人教A必修1

1.3.1

函数的单调性性与最大（小）值第一课时.(1)北京市春季某一天的气温随时间变化的图象.y＝f（x）Ox（时）y（℃）2468101214161820222424681012思考1：哪段时间气温是慢慢升高的？哪段时间气温是慢慢降低的？一、问题导入思考2:

观察图中的温度变化曲线，将来某个春季到北京旅游你打算如何防寒保暖？.yxo(2)y=2x+1二、探索新知（一）——增函数思考1：这两个函数的图象分别是什么？二者上升下降的趋势有何共同特征？

考查下列两个函数：xy.end思考2:

如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？思考3:

如图1为函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1

<x2时,f(x1)与f(x2)的大小关系如何？y=f(x)xx1x2f(x1)f(x2)oy图1.end返回思考4:

我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数呢？

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（如图1）思考5:

对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2的值，若当x1>x2

时，都有f(x1)>f(x2),则函数f(x)在区间D上是增函数还是减函数？.探索新知（二）——减函数xyo考察下列两个函数：(2)f(x)=-2x+2xy思考1:

这两个函数的图象分别是什么？它们的上升下降趋势有什么共同特征？.

如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.(如图2）yf(x2)f(x1)x2x10x图2y=f(x)思考3:

我们把具有上述特点的函数f(x)称为减函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是减函数”？思考2:

如图2为函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1

<

x2时,f(x1)与f(x2)的大小关系如何？.思考4:

对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2

的值，若当x1>x2

时，都有f(x1)<f(x2),则函数f(x)在区间D上是增函数还是减函数？.

探索新知（三）——单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1＜x2时，都有（1）f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数；（2）f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数....

如果函数y=f(x)某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性.这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数y=f(x)在这一区间上是单调函数.思考2：函数y=ax2+bx+c（a≠0）在R上是单调函数吗？若不是，那么请写出一个区间，使它在该区间上是单调函数.思考1：函数y=kx+b在R上是单调函数吗？探索新知（四）——函数的单调区间.思考3：一个函数在其定义域内，就单调性而言有哪几种可能情形？思考5:

一般地，若函数f(x)在区间A，B上是单调函数，那么f(x)在区间A∩B上是单调函数吗？在区间A∪B上呢？.返回

例1

下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出y＝f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y＝f(x)是增函数还是减函数.三、理论迁移-5O12345-1-2-3-4123-1-2x

y.解：y＝f(x)的单调区间有[－5，－2),[－2，1),[1，3),[3，5].其中y＝f(x)在[－5，－2),[1，3)上是减函数，在[－2，1),[3，5)上是增函数.事实证明：作图是发现函数单调性的方法之一．.用定义证明单调性是最基本的证明方法..1.定义法：用定义证明函数在区间M上具有单调性的步骤:(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；(2)作差：f(x1)-f(x