空间点阵、原胞 晶胞

Page1§1.2密堆积配位数:

在布喇菲格子中，离某一格点最近的格点，称为该格点的最近邻，由于布喇菲格子中格点相互等价，每一格点有相同的最近邻数。

一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数。用以描写晶体中粒子排列的紧密程度。最大配位数:

密堆积所对应的配位数。密堆积:晶体中的原子（或离子）在没有其他因素（例如价键的方向性、正负离子的相间排列等）的影响下，由于彼此之间的吸引力会尽可能地靠近，以形成空间密堆积排列的稳定结构。空间堆积的致密度用空间利用率（晶胞内原子总体积占晶胞体积的百分数）表示。§1.2密堆积Page3§1.2密堆积Page4§1.2密堆积Page5§1.2密堆积Page6§1.2密堆积六角密积ABAB铍Be,Cd金属六角结构Page7立方密集按ABC型次序重复排列，就得出了另一种配位数也是12的密集结构--面心立方结构，。因此，ABCABC型密集排列又称立方密集。§1.2密堆积Page8立方密集：层的垂直方向是立方体的空间对角线。面心立方处于原点顶角处的原子正好有12个处于面心的原子在其最近邻的位置上，这12个面心正好在立方体对角线的方向形成ABC型的排列次序。

铝、钙、镍、贵金属以及低温下的惰性气体都具有面心立方结构。§1.2密堆积

如果晶体不是由同一种原子构成，那么相应小球的体积不等，从而不可能形成密积结构，因此配位数一定小于12。

考虑到周期性和对称性的特点：晶体不可能具有配位数11、10和9，所以，次一个配位数应该是8、6。配位数情况

§1.2密堆积

上述考虑是基于粒子间互作用为球对称的假设，如果相互作用不是球对称，则粒子根本不能看作小球，但关于配位数的概念仍然适用。

此时，晶体中最高的配位数仍是12，以下的配位数依次是8、6、4、3、2。

配位数是3的为层状结构，而配位数是2的则为链状结构。

晶体的配位数也不可能是5，则下一个配位数是4，为四面体。§1.2密堆积配位数与球半径之间的关系

配位数r/R12181~0.7360.73~0.4140.41~0.2330.23~0.1620~0.16

下表给出部分配位数与球半径之间的关系。

配位数12配位数8配位数4配位数6配位数2配位数31、同种粒子构成的晶体

同种粒子组成的晶体可用等大刚球模型来描述。一般地，刚球模型只有在一些特殊情形下才近似反映粒子的真实情况。

对于金、银、铝、β-Fe等面心立方结构晶体，由于每个粒子周围有12个最近邻粒子，故其配位数为12；

而对于α-Fe，铬、钼、钨等体心立方结构晶体，其配位数显然为8。几种实际晶体的配位数

§1.2密堆积

设Se粒子处在晶胞的体心，其半径为r。Cl粒子处在立方体的8个顶角，其半径为R，且R>r

。这种结构的最紧密堆积是大和小球以及大球之间相切。此时立方体的边长为空间对角线长度为

若要小球与大球相切，小球的半径应等于2、不同种粒子构成的晶体

氯化铯结构此时，配位数最大，等于8。§1.2密堆积时，两种球为氯化铯型；

若小球r变小:小球在中心的位置不固定，结构不稳定，于是结构取配位数较小的堆积，即配位数位6的堆积，此时就不是氯化铯结构型。

如果小球r增大:大球将不再相切，但由于小球与大球仍相切，故结构依然稳定，配位数仍为8。所以当§1.2密堆积

若氯粒子在体心，它与处于面心位置的6个钠粒子构成最近邻，如图所示。

若增大6个大球的半径，直到大球R也相互相切时达到最紧堆积。氯化钠结构

当处在中央的小球r与其左右上下前后的6个大球R相切时，无论大球R是否相切，结构都是稳定的，此时，配位数为6。

由图可知，当NaCl型达到最紧密堆积时，有即得

若6个大球的半径继续增大，当到小球r不能与大球R都相切时，NaCl结构将改变。BAO§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞空间点阵(晶格)定义：晶体的内部结构概括为是由一些相同的点子在空间有规则地作周期性的无限分布，这些点子的总体称为点阵(晶格)。结点：代表结构中相同的位置。每个结点周围的情况都一样，即每个结点都是等价的。基元：一种或数种原子构成的基本的结构单元，结点代表基元中任意的点子，通常代表基元的重心。点阵学说概括了晶体的周期性点阵晶体结构基元§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞

布拉菲格子（Bravaislattice）：布拉菲格子是矢量§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞原胞：晶体中最小的周期性重复单元，当平移布喇菲格子所有的格点，将精确地填满整个空间，没有重叠也没有遗漏。一个原胞沿三维方向的重复排列构成晶体。可分为:固体物理学原胞:只要求反映周期性的特征（即只须概括空间三个方向上的周期大小），原胞可以取最小的重复单元，结点只在顶点上，内部和面上皆不含其他结点。结晶学原胞:

周期性和对称性原胞的选取是不唯一的，原则上讲只要是最小周期性单元都可以，但实际上各种晶格结构已有习惯的原胞选取方式。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞WS原胞:

固体物理学原胞并不能反映晶格的全部宏观对称性，为此，威格纳和塞兹提出了另一种原胞，称为威格纳—塞兹原胞，简写为WS原胞。

如图所示，若选定某一格点，从格点出发连接其它邻近的格点并作这些连线的中垂面，则被这些中垂面所围成的多面体就是WS原胞。

显然，WS原胞也只包含一个格点，因此它与固体物理学原胞的体积一样，也是最小周期性重复单元。原胞常取以基矢为棱边的平行六面体，体积为：

上述取法只是原胞的习惯取法，但原则上原胞可以任意多种取法，只要满足是晶体的最小重复单元这个条件。

无论如何选取，原胞均有相同的体积，每个原胞含有一个格点。对有限大的晶体（非理想晶体），所含原胞和格点数相等。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞艾舍尔荷兰著名版画大师§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞定义：（１）布喇菲格子：基元只含有一个原子的晶格，或晶格中每个原子周围情况都一样。（２）复式格子：基元包含两个或两个以上原子的晶格，或晶格中至少有两类原子，其周围情况不一样。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞例：一维布喇菲格子

定义：由一种原子组成的一维无限周期性点列，周期为a。原胞：长为a的一根直线段，原子在其两端点。每个原胞含一个原子。原子晶格物理性质周期性（平移对称性）：

Γ(x+na)=Γ(x)上式表示原胞中任一处x的物理性质，同另一原胞相应处的物理性质相同。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞例：一维复式格子

定义：晶格中含有n(n≥2)类原子，其周围情况不一样，它们组成一维无限周期性点列，周期为a。晶体由同一种原子构成，但原子周围情况并不相同，亦是复式格子。原胞：长为a的一根直线段，一类原子在其两端点，其余原子在线段上。每个原胞含n个原子。周期性：Γ(x+na)=Γ(x)§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞ABaa我们具体讨论三个具有不同“点对称性”的三维布喇菲格子原胞:(1)简立方(2)体心立方(3)面心立方(1)简立方简单立方晶格的原子在立方体的顶角上，立方单元就是最小的周期性单元，晶格基矢沿三个立方边，长短相等，三个基矢可以写成：a1＝ai,a2=aj,a3=ak

§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞

原胞体积：a3

。

自然界中几乎没有哪一种晶体原子是按简立方排列，却有不少复式格子的晶体可以看作是由简立方结构的子晶格穿套而成的。下面将要介绍的氯化銫结构即为一典型的例子。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞(2)体心立方

体心立方是一种布拉菲格子，位于顶角和体心上的同种原子是完全等价的，它们具有完全相同的周围环境，实际晶体是立方单元的重复延伸。体心立方晶格的立方体单元不是最小的周期性单元。在体心立方晶格中，可以由一个立方体项点到最近的三个体心得到晶格基矢a1、a2、a3，，以它们棱形成的平行六面体构成原胞。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞原胞的体积为:

Ω=a1

•(a2xa3)=a3/2

为立方单元的一半。体心立方晶格中的一个立方单元体积中，包含有两个原子，因而所构成的平行六面体是最小周期性单元。

a1=a/2(-i+j+k)

a2=a/2(i-j+k)a3=a/2(i+j-k)三个晶格基矢可以写成：

§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞

a1=a/2(i+j)a2=a/2(j+k)a3=a/2(k+i)(3)面心立方

面心立方也是一种布拉菲格子，因为处于面心的原子与处于顶角的同种原子是完全等价的。通常取原胞基矢（如图）为：它们是由一个顶角到同属一个立方单元的三个相邻面心的矢量。容易验证由这三个基矢围成的原胞的体积Ω=a1

•(a2xa3)=a3/4，符合布拉菲格子原胞基矢的要求。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞几种典型的晶体结构（复式格子）(1)氯化钠结构(2)氯化铯结构(3)金刚石结构(4)闪锌矿结构(5)碳60晶体结构§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞(1)氯化钠结构（碱金属卤化物晶体）氯化钠NaCl是由氯离子和钠离子结合而成，是典型的离子晶体。它好象是一个立方晶格，但每一行上相间地排列着正钠离子和负的氯离子。

固体物理学原胞基矢就是面心立方的基矢，原胞内包含两个异号离子（氯离子和钠离子）。

注意：不要将这种结构视为原胞边长为a/2的简立方，因为氯离子和钠离子是不等价的。

由氯离子和钠离子组成的两个面心立方晶格，彼此沿立方体边错开a/2的距离而穿套。a为立方体边长。子晶格为面心立方的复式格子晶体结构。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞(2)氯化铯结构

氯化铯（CsCl）晶胞是复式格子，与体心立方相仿，只是体心位置为一种离子，顶角为另一种离子。如果把整个晶格画出来，体心位置和顶角位置实际上完全等效，各占一半，正好容纳数目相等的正、负离子。氯化铯结构是由两个简立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1/2的长度套构而成，它的固体物理学原胞是简立方（原胞内包含两个异号离子），因此称氯化铯结构为简立方结构。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞注意：按固体物理的观点，复式格子总是由若干相同结构的子晶格互相位移套构而成，说结构，取原胞都是对布喇菲格子而言。因此:氯化钠型的结构是面心立方（而不是简立方）；氯化铯结构是简立方（而不是体心立方）

。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞(3)金刚石结构典型的、也是极为重要的晶体结构，因为重要的半导体材料锗和硅就具有这种形式的结构。金刚石结构也可以用一立方单元表达。结构特点：碳原子除去占有立方体的顶角与面心外，还有四个碳原子分别占据四条体对角线上距顶角处，即对角线长度的1/4处，a为立方单元边长。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞每个原子有四个最近邻，这四个最近邻原子处在正四面体的顶角上，这是金刚石结构的一个突出特点。最近邻原子间的距离正好也就是体对角线长度的1/4。金刚石结构并不是布拉菲格子，因为相邻的两个原子虽然相同却并不等价。例如A和A‘原子。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞整个晶体结构可看作两个面心立方子晶格沿立方体对角线平移1/4对角线长度相互穿套而成。（位于立方体顶角与面心的原子等价，位于体对角线上的原子也是等价的。）金刚石的布拉菲格子是面心立方结构所以称金刚石的结构是面心立方格子，一个晶胞内包含8个原子。固体物理学原胞的取法同面心立方的布拉菲原胞的取法相同，原胞中包含两个不等价的原子。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞1/201/201/201/2003/41/43/41/4原子在金刚石结构立方晶胞中的位置分布图图中分数值表示以立方体边长为单位，其原子处在基面上方的高度。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞(4)闪锌矿（立方ZnS）型结构如果在金刚石结构中，顶角与面心处为硫离子，而在立方单元的内部为锌离子，就形成闪锌矿型结构。闪锌矿型结构为由硫离子和锌离子各自构成的面心立方子晶格沿立方体对角线平移1/4长度相互错开穿套而成。其基由一对硫离子与锌离子组成。

许多重要的化合物半导体，如锑化铟、砷化镓等都是闪锌矿型结构。§1.3布喇菲空间点阵原胞晶胞(5)碳60晶体结构（Fuller烯结构）碳60是20世纪90年代初发现的由60个碳原子结合而成的分子