空气动力学基础-4 粘性流体动力学1

空气动力学基础沈阳航空航天大学航空航天工程学院飞机设计教研室2014年3月第2章（补）粘性流体动力学简介粘性流体动力学基础流体的粘性及其对流动的影响雷诺实验、层流与湍流粘性流体的应力状态广义牛顿内摩擦定理（本构关系）粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程工程中遇到的问题大多是粘性流体运动问题，实际的粘性流体运动现象远比理想流复杂，从而控制粘性流体运动的基本方程及其求解也相对复杂本章（补）的任务是：介绍粘性流体运动的基本概念、流动现象和流动特征建立控制粘性流体运动的基本方程得到解决粘性流体运动问题的基本思路、方法和途径（一）流体的粘性及其对流动的影响

流体的粘滞性是指，流体在运动状态下抵抗剪切变形能力。流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动。因此流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间的相对运动能力。在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运动状态下，流体可以承受剪力，而且对于不同种流体所承受剪力大小是不同的。自然界中流体都具有粘性，因此粘性对流体运动的影响是普遍存在的。对于具体的流动问题，粘性所起的作用并不一定相同。特别是象水和空气这样的小粘性流体，对于某些问题忽略粘性的作用可得到满意的结果。因此为了简化起见，提出了理想流体的概念和理论。然而对于实际的流动，粘性对流动的影响是如何体现的？粘性流动的特点是什么？（一）流体的粘性及其对流动的影响我们首先回顾一下在绪论中曾经提到过的几个与粘性流体运动有关的基本现象和问题：为什么麻面的高尔夫球比光球打得更远？（一）流体的粘性及其对流动的影响为什么自行车运动员要戴一个圆头尖尾的帽子？能否反过来戴成尖头圆尾，或做成尖头尖尾？为什么汽车的阻力主要取决于汽车后部而不是前部？为什么汽车和飞机作高速运行时，我们在功率（燃料消耗）上必须付出与速度增加不成比例的超乎想象的高代价？为什么空气阻力是速度的最终限制？（一）流体的粘性及其对流动的影响

以下用若干流动事例说明粘性流动与无粘流动的差别。（1）绕过平板的均直流动理想流流过无厚度平板时的流动特点：

不允许流体穿透平板（不穿透条件）允许流体质点滑过平板平板对流动不产生任何影响，平板对流动无阻滞作用，平板阻力为零粘性流体流过无厚度平板时的流动特点：不允许流体穿透平板（满足不穿透条件）不允许流体在平板上滑移（满足不滑移条件，由于粘性，紧贴板面的流体质点粘附在平板上与板面无相对运动）（一）流体的粘性及其对流动的影响与物面的粘附条件（无滑移条件）是粘性流体运动有别与理想流体运动的主要标志。随着离开板面的距离加大，与物面的强粘性作用逐步向外层传递，直至流层间不存在速度差别。平板附近速度梯度很大，流层之间的粘性切应力不能忽略，这个区称为边界层区。平板对流动起阻滞作用，平板阻力不为零。（一）流体的粘性及其对流动的影响（2）圆柱绕流理想流体绕流圆柱时的流动特点：在流体质点绕过圆柱的过程中，只有动能、压能的相互转换，而无机械能的损失。在圆柱面上压强分布对称，无阻力存在。（达朗贝尔疑题）（一）流体的粘性及其对流动的影响粘性流体绕圆柱时的绕流特点：边界层分离机械能损失:物面近区由于粘性将产生边界层，由A点到B点的流程中将消耗部分动能用于克服摩擦阻力做功丧失部分机械能的边界层流动无法满足由B点到D点压力升高的要求，在BD流程内流经一段距离就会将全部动能消耗殆尽（一部分转化为压能，一部分克服摩擦阻力做功），于是在壁面某点速度变为零（S点）。流体将从这里离开物面进入主流场中，这种现象称为边界层分离，S点称为分离点。分离点下游流体发生倒流，形成了旋涡区。（一）流体的粘性及其对流动的影响旋涡区的出现，使得圆柱壁面压强分布发生了变化，前后不对称（如前驻点的压强要明显大于后驻点的压强），因此出现了压差阻力。对绕圆球的粘性流动不仅存在摩擦阻力，还存在压差阻力，压差阻力是由于边界层分离后压强不平衡造成的，但本质上仍然是由于粘性造成的。（一）流体的粘性及其对流动的影响粘性对流动的影响小结：（1）粘性摩擦切应力及其与物面的粘附条件（无滑移条件）是粘性流体运动有别与理想流体运动的主要标志。（2）粘性是产生摩擦阻力的根本原因，粘性边界层在一定条件（逆压梯度）下产生分离是形成压差阻力的根本原因。（3）对于研究阻力、边界层及其分离、旋涡的扩散等问题时，粘性起主导作用不能忽略。（一）流体的粘性及其对流动的影响（一）流体的粘性及其对流动的影响粘性流体抵抗剪切变形的能力，可通过流层间的剪切力表现出来（这个剪切力称为内摩擦力）。粘性流体在流动过程中必然要克服内摩擦力做功，因此流体粘滞性是流体发生机械能损失的根源。牛顿的内摩擦定律（Newton，1686年）

F=µAU/h

FhU（一）流体的粘性及其对流动的影响流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。设表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力），则µ-----流体的动力粘性系数（单位：Ns/m2=Pa.s）=µ/---流体的运动粘性系数（单位：m2/s

）水=

1.13910-6(m2/s)空气=1.46110-5(m2/s)（一）、流体的粘性及其对流动的影响一般流层速度分布不是直线，如图所示。

y

u0

du/dy----表示单位高度流层的速度增量，称为

速度梯度

速度梯度du/dy物理上也表示流体质点剪切变形速度或角变形率。如图所示：u+du

dy

du

dudt

（一）、流体的粘性及其对流动的影响

流体切应力与速度梯度的一般关系为：1.=0+µdu/dy，binghan流体，泥浆、血浆、牙膏等2.

=µ（du/dy）0.5，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等3.

=µdu/dy

，牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等4.

=µ(du/dy)2，胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等5.＝0，µ＝0，理想流体，无粘流体。1234（一）、流体的粘性及其对流动的影响雷诺（OsborneReynolds，1842~1921，英国工程师兼物理学家，维多利亚大学（曼彻斯特）教授）最早详细研究了管道中粘性流体的流动状态及其影响因素。（二）雷诺实验、层流与湍流层流湍流加大流速或减小粘性时H＝C甘油和水的混合液，可变混合比例流态从层流到湍流的过渡称为转捩。实验表明流态的转捩不是单单取决于某一个流动参数V,μ等，而是取决于无量纲的相似组合参数雷诺数，记为Re：在非管道流动中也存在层流与湍流这两种不同的流态，从层流到湍流的转捩也与雷诺数大小有关（二）雷诺实验、层流与湍流雷诺数之所以对粘性流体运动的流态及其他相关特性起着重要作用，在于雷诺数具有很明显的物理意义。实验发现，随着雷诺数增加而呈现的不同流态(层流或湍流)对于流动的摩擦阻力、流动损失、速度分布等影响很大。雷诺数的物理意义：雷诺数代表作用在流体微团上的惯性力与粘性力之比。（二）雷诺实验、层流与湍流雷诺数正比于惯性力与粘性力之比的说明：

惯性力正比于质量乘加速度：

～ρV2L2粘性力正比于剪应力乘面积：

～μVL因此惯性力与粘性力之比正比于：～（二）雷诺实验、层流与湍流大型民航客机的飞行雷诺数可达上百万至几千万（106～107）了解雷诺数的物理意义可帮助我们判断一个流动中何种因素占主导作用，但要注意不要将雷诺数的绝对数值等同于惯性力与粘性力的绝对比值（二）雷诺实验、层流与湍流日本设计的机械蜻蜓俄罗斯设计的机械蜻蜓美国设计的机械苍蝇

微型飞行器的飞行雷诺数只有几百到几万的量级（102～104）（二）雷诺实验、层流与湍流空气中的悬浮尘埃其运动雷诺数则更低甚至可以小于1需要再次强调：雷诺数代表惯性力与粘性力之比只是宏观量级上的比例关系，根据雷诺数的大小可以判断流动中何种因素占主导作用，但绝不能认为Re=1表示流动的惯性力与粘性力刚好相等。（二）雷诺实验、层流与湍流

管中层流与湍流的对比抛物线分布

对数分布层流Re<2100湍流Re>4000（二）、雷诺实验、层流与湍流>10000(2300,10000)(100,2300)（二）、雷诺实验、层流与湍流SmokePatternBasicAerodynamics管道中层流与湍流的区别层流

湍流1.Re2.外观3.质量与动量交换4.速度分布5.损失6.剪应力较大流动紊乱、不规则，外表粗糙在纵向和横向存在较大的微团宏观质量、动量交换平均速度是较饱满的对数分布，壁面附近速度和梯度相对较大随Re增加转捩时损失增加牛顿应力及雷诺应力较小色线规则，流动分层，外表光滑流层间只限于分子间的较小的扩散较尖瘦的抛物线分布，壁面附近速度和梯度都相对较小随Re增加而降低牛顿应力雷诺数对流动影响的进一步举例雷诺数不同使得射流流态及其混合状况根本不同：雷诺数不同使得机翼的边界层流态、速度分布、压力分布、升力特性和阻力特性根本不同斯托克斯阻力定律：高雷诺数时物体受到的流动阻力正比于:ρV2L2

低雷诺数时物体受到的流动阻力正比于:μVL

甘油甘油与水的混合液水Re=0.051020030001、理想流体和粘性流体作用面受力差别静止或理想流体内部任意面上只有法向力，无切向力粘性流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力（三）粘性流体的应力状态在粘性流体运动中，过任意一点任意方向单位面积上的表面力不一定垂直于作用面，可分解为法向应力和切向应力如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，分别为法应力分量和切应力分量2、粘性流体中的应力状态（三）粘性流体的应力状态从而三个面的合应力可表示为

x面

:y面:z面:由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。（三）粘性流体的应力状态上述九个应力分量可写为：这九个应力分量并不全部独力，其中的六个切向应力是两两相等的，所以独立的一共是三个法向的，三个切向的。这个结论可利用对微元六面体的动量矩定理得到证明，思路是：一对剪应力对微元产生的力矩将与彻体力力矩和微元质量的动量矩平衡，而后二者都正比于微元的体积乘以微距离，是一个高阶小量可略去，从而得到这一对剪应力相等。注：有的教材将法向应力记为:（三）粘性流体的应力状态关于应力的几个要点：（1）在理想流体及静止流体中不存在切应力，三个法向应力相等（各向同性），等于该点压强的负值。即：（2）在粘性运动流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和为一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即：（3）在粘性运动流体中，任意面上的切应力一般不为零。（三）粘性流体的应力状态Stokes（1845年）根据牛顿内摩擦定理的启发（粘性流体作直线层状流动时，层间切应力与速度梯度成正比），在一些合理的假设下将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义牛顿内摩擦定理----应力应变率关系（本构关系）：这个关系将六个应力与微团的变形率直接联系（线性关系）。满足上述关系的流体称为牛顿流体。（四）广义牛顿内摩擦定理（本构关系）对于不可压缩流体，上述应力应变率关系可化简为：（四）广义牛顿内摩擦定理（本构关系）本构关系满足：1、流体运动的基本方程

利用牛顿第二定律推导以应力形式表示的流体运动微分方程。像推导欧拉方程一样，在流场中取一个微元六面体进行分析，以x方向为例，建立运动方程。现在由于是粘性流体，作用在中心P点处不仅有法向应力，而且还有切向应力，控制面上的应力可用中心点处应力泰勒召开表示。作用在ABCD和A’B’C’D’两个侧面的法向力差是：作用在ABB’A’和CDC’D’两个侧面的切向力差是：（五）粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程作用在ADA’D’和BCB’C’两个侧面的切向力差是：仍然设单位质量彻体力分量为：fx,fy,fz,按照牛顿第二定律：是欧拉法表示的加速度或速度的物质导数。（五）粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程或：同理：将反映粘性应力与应变率关系的广义牛顿内摩擦定理代入上式右端，即得到粘性流动的运动方程N-S方程：（五）粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程其中是拉普拉斯算子：可见，对于理想流右端的粘性项为零，方程化为欧拉方程。（五）粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程当不可压时，根据连续方程：则不可压粘流的N-S方程写为：（五）粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程用三个方向的单位向量i、j、k分别乘上三式并相加，可得不可压粘流N-S方程比较简捷的向量形式：其中为速度分量

为哈密顿算子

为拉普拉斯算子（五）粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程

与之前一样，这个方程中速度的随体导数可以加以分解，把涡量分离出来，写成格罗米柯形式的方程也称为兰姆型方程。这样有利于研究流体的有旋性：（五）粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程事实上速度随体导数中迁移加速度项也可以直接应用向量导数运算公式得到：定常、不可压、彻体力有势时格罗米柯方程可化为：N-S方程的重要性2、伯努利(Bernoulli)积分

伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史上罕见的数学大家族。其中，Bernoulli,Nocholas(尼古拉斯.伯努利，1623-1708），瑞士伯努利数学家族第一代。Bernoulli,Johann（约翰.伯努利，1667-1748

），伯努利数学家族第二代，提出著名的虚位移原理。Bernoulli,Daniel（丹尼尔.伯努利，1700-1782），伯努利数学家族第三代，Johann.伯努利的儿子，著有《流体动力学》（1738），将微积分方法运用到流体动力学中，提出著名的伯努利方程。（五）粘性流体运动方程将定常、不可压、彻体力为重力（Ω=gy）条件下的格罗米柯方程沿流线投影得：（五）粘性流体运动方程上式与第二章中得到的有粘性损失一维能量方程形式相同。其中为单位质量流体所具有的机械能，是从1－2流动过程中粘性力做功使每单位质量流体损失的能量。写为高度量纲：如果令:方程变为:沿着同一条流线积分，得到：（五）粘性流体运动方程

上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上无论势能、压能和动能如何转化，总机械能是沿程减小的，总是从机械能高的地方流向机械能低的地方，不能保持守恒，减小的部分代表流体质点克服粘性应力做功所消耗的能量。粘性流体运动一般性质：（1）运动的有旋性；（2）能量的耗损性；（3）涡旋的扩散性由于N-S方程为二阶非线性偏微分方程组，准确解为数甚少，只有在一些简单的问题中才能实现：如两无限大平行平板间的定常流动（库特流）；圆管内的的定常流动；两同心旋转圆柱间的定常流动等等。（五）粘性流体运动方程下图是理想流和粘流沿流线（管）的能量关系几何意义对比。

（五）粘性流体运动方程应该指出，由于粘性流体必然存在剪切层是有旋的，上述对N-S方程的积分只能沿流线成立。y1y2H1H2静力水头线总水头线12yxhw12y1y2H1H2静力水头线总水头线12yx理想流粘性流1122例：进出口面积相等高度相同的管道,体积流量Q=30m3/s,测得两端压降为p1-p2=5kpa,求流动的粘性损失功率N损

解：设流动定常、一维，由N-S方程的伯努利积分：得从1-2每单位质量流体损失的能量为：则1-2的损失功率为：(注：上述管道围起来可看成风洞的一段，因此1-2压差可看成由风扇提供用于克服管道损失，故所求即风扇功率，可由风扇两端的有机械功输入的能量方程验证。)N－S方程为非线性偏微分方程，它的求解一般需要借助计算机用数值方法求解。而在一些简单的粘流问题上，N－S方程也有解析解。例：求解二维平行壁之间的不可压粘性流动，二壁固定。2bxy解:设流动定常，彻体力可略。二维不可压N–S方程写为：3.N-S方程的解析解举例*（五）粘性流体运动方程---N-S方程的解析解举例*由于，第二个方程化为：即在流动横截面压强不变。又第一个方程化为：对y积分，注意到不是y的函数，对y积分时当常数看（五）粘性流体运动方程---N-S方程的解析解举例*由边界条件定常数C1

和C2：y=±b处，u=0，定得C1＝0，C2＝－b2/2，于是：即u

在y向作抛物线分布。中心点流速为：表明沿x轴是个负值，即压强是逐步