第三章流体动力学基础

第三章

流体动力学基础3-1描述流体运动的两种方法着眼点不同拉格朗日法（Lagrange）：流体质点欧拉法（Euler）：空间跟踪追迹法设立观察站法一、拉格朗日描述法与质点系

（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为拉格朗日变数。任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和时间t的函数：

或r＝r（a,b,c,t）（1）（a,b,c）=const,t为变数,可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。

（2）（a,b,c）为变数,

t=const,可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。

流体质点任一物理量B（如速度、压力、密度等）表示为：

B＝B（a,b,c,t）

质点系：

在t＝0时紧密毗邻的具有不同起始坐标（a,b,c)的无数质点组成一个有确定形状、有确定流动参数的质点系。经过t时间之后，质点系的位置和形状发生变化。二、欧拉描述法与控制体

欧拉法不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动流体质点的空间——流场为对象。流体质点的物理量B是时空（x,y,z,t）的连续函数：B＝B（x,y,z,t）（x,y,z,）——欧拉变量速度场：

u＝u(x,y,z,t),v＝v(x,y,z,t),w＝w(x,y,z,t).控制体：将孤立点上的观察站扩大为一个有适当规模的连续区域。控制体相对于坐标系固定位置，有任意确定的形状，不随时间变化。控制体的表面为控制面，控制面上有流体进出。

三、两种描述方法之间的联系

如果标号参数为(a,b,c)的流体质点，在t时刻正好到达(x,y,z)这个空间点上，则有B＝B(x,y,z,t)＝B(x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t),t)＝B(a,b,c,t)3-2流体运动的几个基本概念一、物理量的质点导数质点导数定义：流体质点的物理量随时间的变化率。随体导数如速度V和加速度a为21、拉格朗日描述中的随体导数V和a在直角坐标系中展开：和以速度在直角坐标系为例：

流体质点运动速度在欧拉法中，V＝V

(x,y,z,t),由于位置又是时间t的函数，所以流速是t的复合函数，对流速求导可得加速度：

写成分量形式

2、欧拉描述中随体导数用哈密顿算子表示：局部（当地）加速度：同一空间点上流体速度随时间的变化率。定常流动该项为0。迁移（位变）加速度：同一时刻由于不同空间点的流体速度差异而产生的速度变化率。均匀流场该项为0。对于任一物理量B：局部（当地）导数，表示流场的非定常性。迁移（位变）导数，表示流场的均匀性。质点导数例题：解：二、定常流与非定常流（或恒定流与非恒定流）三、均匀流与非均匀流四、一元流、二元流与三元流按流体运动要素所含空间坐标变量的个数分：

（1）一元流

一元流(one-dimensionalflow):流体在一个方向流动最为显著，其余两个方向的流动可忽略不计，即流动流体的运动要素是一个空间坐标的函数。若考虑流道（管道或渠道）中实际液体运动要素的断面平均值，则运动要素只是曲线坐标s的函数，这种流动属于一元流动。（2）二元流

二元流(two-dimensionalflow):流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流动可忽略不计，即流动流体的运动要素是二个空间坐标（不限于直角坐标）函数。（3）三元流

三元流（three-dimensionalflow):流动流体的运动要素是三个空间坐标函数。五、迹线与流线

迹线流体质点在流场中的运动轨迹线。是拉格朗日法描述流体运动的基础。1、迹线

流线是流场中这样一条曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。流线是欧拉法描述流体运动的基础。图为流线谱中显示的流线形状。

2、流线

流线的作法：

在流场中任取一点，绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234…，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。流线方程:

设dr为流线上A处的一微元弧长矢量:

V为流体质点在A点的流速:根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：

展开后得到：——流线微分方程

dr流线的性质：在某一时刻，过某一空间点只有一条流线。流线不能相交，不能突然转折。三种例外：

对于非定常流动，流线具有瞬时性。一般情况下，流线迹线不重合。定常流动中流线形状不随时间变化，而且流体质点的迹线和流线重合驻点相切点奇点脉线在一段时间内，会有不同的流体质点相继经过同一空间固定点，在某一瞬时将这些质点所处的位置点光滑连接而成的曲线。

流线、迹线和脉线是本质不同的三种描述流体运动的线，定常时互相重合。六、流管与流束流面

在流场中作一条任意的空间曲线L（非流线），过此曲线的每一点作流线，这些无数密集的流线所构成的曲面。性质：（与流线相似）（1）在某一时刻，过一条曲线只有一个流面；（2）非定常时，流面形状随时间变化；（3）流体不能穿越流面。流管与流束流管定义

流管性质：（1）不能相交；（2）形状和位置在非定常时随时间变化；（3）不能在流场内部中断，只能始于或终于流场的边界。如物面，自由面等。流束除了有流管的性质以外，还具有：（1）截面上的速度处处相等；（2）微小截面看成是平面。流束定义：截面面积很小的流管，微元流管。流束的极限是流线。流管截面：以L为周界可以作很多的面，可以是平面或曲面。有效截面（过流断面）：截面上的流速方向处处与该面垂直缓变流动：如果微小流束（流线）间的夹角及流束的曲率都非常小，这种流动称为缓变流动。反之急变流。缓变流的过流断面可看作是平面。急变流的过流断面是曲面缓变流七、流量、净通量1、流量

单位时间内通过某一过流断面的流体量。体积流量qv或Q表示，质量流量qm。体积流量（m3/s）：

质量流量（kg/s）：

如果dA不是过流断面，而是与微元流束相交的任意断面，则体积流量（m3/s）：

质量流量（kg/s）：2、净通量流过全部封闭控制面A的流量称为净流量，或净通量。八、过流断面上的平均速度与动能动量修正系数

1、断面平均速度

过流断面上各点的流速是不相同的，所以常采用一个平均值来代替各点的实际流速，称断面平均流速。2、动能及动能修正系数动能（kineticenergy）：是指物体由于机械运动而具有的能量。单位时间内通过过流断面的流体动能是：

动能修正系数——是实际动能与按断面平均流速计算的动能的比值。

注意：动能修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水断面上的流速分布，分布越均匀，α值越小，越接近于1.0。层流流速分布湍流流速分布2、动量及动量修正系数动量（momentum)是物体运动的一种量度，是描述物体机械运动状态的一个重要物理量。

单位时间内通过过流断面的流体动量是：

动量修正系数——是实际动量与按断面平均流速计算的动量的比值。动量修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水断面的流速分布，分布越均匀，β值越小，越接近于1.0。

断面流速分布动能修正系数动量修正系数圆管层流旋转抛物面

=2.0β=4/3圆管紊流对数规律=1.05~1.1β=1.02~1.05层流流速分布湍流流速分布§3-3连续方程式一、基本原理

特例

特例1定常流动则特例2不可压缩流动为常数则流管流动的连续性方程的应用：恒定流动时：对于不可压缩流体，则连续性方程的积分形式：由奥－高公式根据控制体与时间的无关性直角坐标系下连续性方程的微分形式即想一想：恒定、不可压情况下，连续性方程的微分形式。二、连续性方程的微分形式

§3-4流体微团的运动分析一、流体与刚体比较

刚体的运动是由平移和绕某瞬时轴的转动两部分组成。流体质点的运动，一般除了平移、转动外，还要发生变形（角变形和线变形）。二、流体微元的速度分解

A(x,y,z)点速度为vx,vy,vz，则C点的速度为：三、有旋流和无旋流

根据流体微团是否绕自身轴旋转，可分为有旋流和无旋流。1.定义：有旋流（vortex）：亦称“涡流”。流体质点（微团）在运动中不仅发生平动（或形变），而且绕着自身的瞬时轴线作旋转运动。如旋风即为空气的涡流。当流体速度变化较大，由于流体粘滞阻力、压强不均匀等因素的影响，就容易形成涡流。

无旋流（potentialflow）亦称“势流”、“有势流”。流体在运动中，它的微小单元只有平动或变形，但不发生旋转运动，即流体质点不绕其自身任意轴转动。注意：无旋流和有旋流决定于流体质点本身是否旋转，而与运动轨迹无关。

2.有旋流和无旋流的特性

（1）若wx=wy=wz=0，即

则流动为无旋流，否则，为有旋流。有旋流（涡流）——wx、wy、wz中任一个或全部不等于零的流体运动，绕自身轴有旋转的运动。（与通常的旋转不同）流场内流体质点具有绕质点自身任意轴的角速度。（2）有旋流的特征是存在角速度。角速度是一个矢量，所以可如同用流线描述流动一样，可用涡线描述流动的旋转变化。

涡线——在同一瞬时线上各质点的转速矢量都与该曲线相切。

无旋流一般存在于无粘性理想流体中。

有旋流一般存在于有粘性实际流体中。例题

已知流体流动的流速场为，判断该流动是无旋流还是有旋流？解：

故液体流动是无旋流。§3-5实际流体的运动微分方程式一、作用在流体微元上的应力

应力矩阵二、本构方程

确定应力与应变的方程式叫本构方程。其中p：在平衡流体，代表一点上的流体静压强；在理想流体，代表一点上的流体动压强；在不可压实际流体，代表一点上的流体动压强的算术平均值。三、纳维－斯托克斯方程式

不可压实际流体的运动方程式——N-S方程想一想理想流体、静止情况下的方程。§3-6伯努利方程式及其应用一、流线上的伯努利方程式

假设单位质量的流体质点某瞬时的速度为v＝vxi+vyj+vzk，经dt时间，质点沿流线移动一段微小距离ds＝dxi+dyj+dzk＝vxdti+vydtj+vzdt

k，为求出单位质量流体移动ds距离与外力作功的能量关系，将ds的三个投影分别与N-S方程的三个式子相乘，然后相加，得下面分别对式中的四类项进行简化质量力项，假设质量力有势

压强项

粘性摩擦力项

导数项将结果代回原式，则可得则——适用范围：非定常、质量力有势。——适用范围：定常、质量力有势。——适用范围：定常、重力场、不可压流体。——适用范围：理想、定常、重力场、不可压流体。那么，实际流体在定常、重力场、不可压条件下，在流线上任意两点间可列出伯努利方程为：理想流体在相同条件下，在流线上任意两点间的伯努利方程为：二、粘性总流的伯努利方程式

粘性流体在定常、重力场、不可压条件下，在流线上任意两点间可列出伯努利方程为其中用代替，则在实际工程中，我们遇到的往往是过流断面具有有限大小的流动，我们称它们为总流。因此我们应将沿流线的伯努利方程推广到沿总流上去。将上式乘以gdqv，然后对整个总流断面积分，这样就获得总流的能量关系式1)为单位时间内通过断面A的势能总和。

假设两个过流断面上的流动为缓变流动,在缓变流动情况下，过流断面可以近似地认为是一个平面。由于过流断面是与流线上的速度方向成正交的断面，故而在过流断面上没有任何速度分量。如果令x轴与过流断面相垂直,如图，则

N-S方程的第2及第3式与流体静力学地平衡方程相同，这说明在缓变流时，yz断面上各点保持流体静力学地规律，即

2)为单位时间内通过断面A的动能总和。

断面上速度v是变量，如果用平均流速代替，则

3）为单位时间内流体克服摩擦阻力作功而消耗的机械能。该项不易通过积分确定，可令

hf表示总流中单位重量流体从断面1-1到2-2平均消耗的能量。则1-1到2-2的伯努利方程为即总流能量方程（即伯努利方程）在推导过程中的限制条件（1）恒定流；

（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过流断面间可以是急变流。

（5）总流的流量沿程不变。

（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。

（7）式中各项均为单位重量流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgqv，三、伯努利方程式的应用

1.皮托管速度滞止图皮托管因为z1=z2，v2=0，这里流场为均匀，点1至2hf

0，所以静压强动压强滞止压强皮托管与测压管联合使用

由于皮托管结构会引起液流扰乱和微小阻力，故精确计算还要对速度公式加以修正Cv为流速系数，一般条件下为0.97~0.99皮托－静压管2.节流式流量计工作原理：在管道中安装一个过流断面略小的节流元件，使流体流过时，速度增大、压强降低。利用节流元件前后的压强差来测定流量的仪器称作节流式流量计。节流式流量计有孔板、喷嘴和圆锥式（又叫文丘利）三种类型。因为z1=z2，如果暂不计能量损失ghf，且1与2均接近于1，所以设孔板的断面为A，该处的速度为v，由连续性方程可得代入伯努利方程：于是理论流量为：流量系数Cq可达0.98。实际流量qv小于理论流量qT，我们用下列通用形式来表示流量

——Cq为流量系数，对锐缘的孔板流量计约为0.6~0.62补充、沿程有能量输入或输出的伯努利方程

沿总流两断面间装有水泵、风机或水轮机等装置，流体流经水泵或风机时将获得能量，而流经水轮机时将失去能量。设单位重量液体所增加或减少的能量用H来表示，则总流的伯努利方程为

上式中，H前面的正负号，获得能量为正，失去能量为负。对于水泵，H为扬程。

水池通过泵将水送至水塔。列出水池液面（1-1断面）至水塔液面（2-2断面）的伯努利方程，因为液面敞开在大气中，液面上流速v1和v2近似于0，所以泵在单位时间内对通过的液体所作的功叫做泵的有效功率或输出功率，用NT表示，公式为因为泵内的能量损失，泵的输入功率N要大于输出功率NT，输出功率与输入功率之比为泵的效率§3-7动量方程式及其应用一、用欧拉法表示的方程式

关于质点系动量定理：IIIIIItt＋tt时刻：质点系的动量[Msys]t，控制体的动量[Mcv]t经t时间，在t＋t时刻：质点系的动量[Msys]t＋t

，控制体的动量[Mcv]t＋t

经t时间，质点系的动量变化：

Msys＝[Msys]t＋t

－[Msys]t其中，[Msys]t＋t

＝II+III＝(I+II)-I＋III＝[Mcv]t＋t

－[Mcv]i＋[Mcv]o经t时间流入控制体的流体动量经t时间流出控制体的流体动量所以，Msys＝[Mcv]t＋t

－[Mcv]t－[Mcv]i＋[Mcv]o

＝Mcv－[Mcv]i＋[Mcv]o

Mcv=－[Mcv]i＋[Mcv]o=即——欧拉方法表示的动量方程式作用在控制体内质点系上的所有外力的矢量和。是控制体内流体动量对时间的变化率，定常流动时为0。单位时间内控制体流出动量与流入动量之差。定常、不可压、一元流的情况：虚线所围的区域为控制体，过流断面上的平均速度为v1，v2，由动量方程为：在三个坐标轴上的投影式为注意：方程式的受力对象；外力与速度的方向；控制体流出、流入动量的符号。二、动量方程式的应用

1.流体对管道的作用力已知1、2、A1、A2、p1、p2、v1、v2求密度为、流量为qv的流体对弯管的作用力FRx和FRy第一步：取控制体第二步：分析流体质点系受到的外力，忽略重力－FRx、－FRy、p1A1、