框架结构设计计算

框架结构设计计算本章主要内容1框架结构的特点和结构布置2竖向荷载下内力计算—分层法3水平荷载下内力近似计算—反弯点法4水平荷载下改进反弯点法—D值法5水平荷载下侧移的近似计算1高层结构计算的基本假定平面抗侧力结构和刚性楼板假定高层建筑结构的组成成分可以分为两类：一类是由框架、剪力墙和筒体等竖向结构组成的竖向抗侧力结构；另一类是水平放置的楼板。楼板将竖向抗侧力结构连为整体。在满足结构平面布置的条件下，在水平荷载作用下选取计算简图时，作了两个基本假定。1、平面抗侧力结构假定一片框架或一片墙在其自身平面刚度很大，可以抵抗在本身平面内的侧向力；而在平面外的刚度很小，可以忽略，即垂直于该平面的方向不能抵抗侧向力。因此，整个结构可以划分成不同方向的平面抗侧力结构，共同抵抗结构承受的侧向水平荷载。2、刚性楼板假定水平放置的楼板，在其自身平面内刚度很大，可以视为刚度无限大的平板；楼板平面外的刚度很小，可以忽略。刚性楼板将各平面抗侧力结构连接在一起共同承受侧向水平荷载。以图所示结构为例，结构是由Y方向（通常称为横向）的6榀框架、2片墙和x方向（通常称为纵向）的三榀框架（每片都有7跨，中间一片中含两段墙）通过刚性楼板连接在一起的。在横向水平荷载作用下，只考虑横向框架起作用，计算简图如图（b）所示，是8榀平面抗侧力结构的综合；在纵向水平荷载作用下，忽略横向框架作用，计算简图如图（c）所示，是3榀平面抗侧力结构的综合。在此两条基本假定下，复杂高层建筑结构的计算可大为简化。框架结构的计算简图2竖向荷载作用下的近似计算—分层法竖向荷载作用下的内力计算近似采用分层法；将作用在某层框架柱上的竖向荷载只对本楼层及与本层相连的框架柱产生弯矩和剪力。除底层以外，其他各层柱的线刚度均承以0.9的折减系数；柱的弯矩传递系数取为1/3。2.1分层法计算步骤（1）将框架分层，各层梁跨度及柱高与原结构相同，假定柱远端为固定端；（2）计算梁柱线刚度，除底层外，其余各层柱线刚度乘以0.9倍的修正系数；（以消除将柱远端视为固定端所造成的影响）；（3）计算和确定梁柱弯矩分配系数µ和传递系数c。梁的弯矩传递系数C=1/2，底层柱向柱脚的弯矩传递系数取C=1/2，其余各柱的弯矩传递系数取C＝1/3。（4）计算各层梁上竖向荷载值和梁的固端弯矩；（5）按力矩分配法进行各刚架梁端弯矩的分配和传递；（6）将分层计算得到的、但属于同一层柱的柱端弯矩进行叠加；（7）在各节点内，分配各节点由于叠加弯矩所造成的不平衡弯矩。例题求图4－3所示框架结构的内力图。

已知均布荷载q=2.8KN/m，框架梁线刚度：ib=EI/L=12.4×103KN-m,底层框架柱线刚度：ic=EI/h=13.83×103KN-m，

其余各层柱：ic=EI/h=17.48×103KN-m；梁跨度L＝6.0m；

2、3层高度相等h=3.0m；1层高度h=3.6m。解：（1）将三层框架按图（b）、(c)、(d)的形式分解成单层框架，并将除底层之外的柱线刚度乘以0.9的修正系数；（2）求梁柱相对线刚度。将各梁柱线刚度除以梁的线刚度，使梁的相对线刚度为1；柱的相对线刚度分别为：

底层ic’=1.1、其余各层ic’=1.3；（3）求节点弯矩分配系数。以第三层A柱节点为例，求弯矩分配系数μ3i：以此类推三层B节点各梁柱弯矩分配系数为：其余各节点弯矩分配系数如图所示；（4）求各梁端弯矩。由于各层梁上线荷载相等，所以各梁端弯矩相等；（5）进行各单层框架弯矩分配三层分框架弯矩分配构件柱A32梁3ab梁3ba柱B32梁3bc梁3cb柱c32上脚上脚上脚分配系数0.570.430.30.40.30.430.57杆端弯矩-8.48.4-8.48.4分配弯矩4.783.612－3.612－4.78传递弯矩1.5931.806－1.806－1.593分配弯矩00弯矩小计4.781.593－4.7810.200－10.24.78－4.78－1.593图4－4例题1三层分框架弯矩分配计算图二层分框架弯矩分配构件柱A23柱A21梁2ab梁2ba柱B23柱B21梁2bC梁2cb柱c23柱c21近远近远近远近远近远近远分配系数0.340.340.320.240.260.260.240.320.340.34杆端弯矩-8.48.4-8.48.4分配弯矩2.8562.8562.688-2.688-2.856-2.856传递弯矩0.9520.9521.344-1.344-0.952-0.952弯矩小计2.8560.9522.8560.952-5.7129.7440000-9.7445.712-2.856-0.952-2.856-0.952一层分框架弯矩分配构件柱A12柱A10梁1ab梁1ba柱B12柱B10梁1bC梁1cb柱c12柱c10近远近远近远近远近远近远分配系数0.320.380.30.230.250.290.230.30.320.38杆端弯矩-8.48.4-8.48.4分配弯矩2.6883.1922.52－2.52－2.688－3.192传递弯矩0.8961.0641.26-1.26-0.896－1.064弯矩小计2.6880.8963.1921.064－5.889.660000－9.665.88－2.688－0.896－3.192－1.064图4－5例题1一、二层分框架弯矩图（6）将属于同一层柱的分层框架柱端弯矩进行叠加；三层框架弯矩叠加构件柱A32梁3ab分配系数0.570.43叠加弯矩4.78＋0.952＝5.732－4.78分配不平衡弯矩－0.952×057＝－0543－0.952×043＝－0.409弯矩小计5.187－5.189构件柱A23柱A21梁2ab分配系数0.340.340.32叠加弯矩2.856＋1.593＝4.4492.856＋0.896＝3.752－5.712分配不平衡弯矩－（1.593＋0896）×0.34＝－2.489×034＝－0.846－2.489×0.34＝－0.846－2.489×0.32＝－0.796弯矩小计3.6032.906－6.508二层框架弯矩叠加一层框架弯矩叠加构件柱A12柱A10梁1ab分配系数0.320.380.3叠加弯矩2.688＋0.952＝3.643.192－5.88分配不平衡弯矩－0.952×032＝－0.305－0.952×038＝－0.362－0.952×03＝－0.285弯矩小计3.3352.83－6.165（7）绘制总弯矩图

图4－6例题1框架总弯矩图用分层法计算下面框架的M图3水平荷载下内力近似计算—反弯点法框架所受的水平荷载主要是风和地震作用，这些均布都可以化成作用在框架楼层结点上的水平集中力，如图所示。这时框架侧移是主要的变形因素。对于层数不多的框架，柱子轴力较小，截面也较小，当梁的线刚度ib比柱的线刚度ic大的多时，采用反弯点法计算其内力，误差比较小。反弯点法多层多跨框架在水平荷载作用下的弯矩图通常如图所示。它的特点是，各杆件的弯矩图均为直线，每杆均有一零弯矩点，称为反弯点.

如果在反弯点处将柱子切开，切断点处的内力将只有剪力和轴力。如果知道反弯点的位置和柱子的抗侧移刚度，即可求得各柱的剪力，从而求得框架各杆件的内力，反弯点法即由此而来。由此可见，反弯点法的关键是反弯点的位置确定和柱子侧向刚度的确定。3.1反弯点法的假定及适用范围

1、基本假定

①假定框架横梁刚度为无穷大。如果框架横梁刚度为无穷大，在水平力的作用下，框架节点将只有侧移而没有转角。实际上，框架横梁刚度不会是无穷大，在水平力下，节点既有侧移又有转角。但是，当梁柱的线刚度之比大于3时，柱子端部的转角就很小。此时忽略节点转角的存在，对框架内力计算影响不大。

由此也可以看出，反弯点法是有一定的适用范围的，即框架梁、柱的线刚度之比应不小于3。②假定底层柱子的反弯点位于柱子高度的2/3处，其余各层柱的反弯点位于柱中。

当柱子端部转角为零时，反弯点的位置应该位于柱子高度的中间。而实际结构中，尽管梁、柱的线刚度之比大于3，在水平力的作用下，节点仍然存在转角，那么反弯点的位置就不在柱子中间。尤其是底层柱子，由于柱子下端为嵌固，无转角，当上端有转角时，反弯点必然向上移，故底层柱子的反弯点取在2/3处。上部各层，当节点转角接近时，柱子反弯点基本在柱子中间。③梁端弯矩由节点平衡条件求出，并按节点左右梁的线刚度进行分配。253.2反弯点法计算内力

A.柱的抗侧刚度计算

由结构力学知，框架柱的剪力为：

当uj=1时，得出的需在柱

顶施加的水平力称

为柱的抗侧刚度。

26B.柱的剪力计算

设框架共有n层，每层有m个柱子，将框架沿第j层各柱的反弯点处切开，按水平力平衡有：27

由计算假定，忽略梁的轴向变形，则第j层所有柱子都具有相同的层间侧向位移uj，从而可推出侧向位移uj的公式：则各柱的剪力Vjk为：

28C、柱端弯矩由计算假定（2）可求得各柱的柱端弯矩：对于底层柱：上部各柱：

29D、梁端弯矩

由节点平衡条件，求得梁端弯矩：

30E、梁端剪力VbVbMblMbrl31F、柱轴力

VbmVbkVb1VbmrVbkrVb1rVbmlVbklVb1l边柱中柱边柱：中柱：323.3反弯点法的计算步骤反弯点法的计算步骤可以归纳如下：

1、计算框架梁柱的线刚度，判断是否大于3； 2、计算柱子的侧向刚度； 3、将层间剪力在柱子中进行分配，求得各柱剪力值； 4、按反弯点高度计算到柱子端部弯矩； 5、利用节点平衡计算梁端弯矩，进而求得梁端剪力； 6、计算柱子的轴力。33反弯点法求内力步骤

水平力平衡求层间柱总剪力柱平衡求柱端弯矩节点平衡求梁端弯矩柱轴力梁平衡求梁剪力刚度分配得柱剪力3.4例题作图4－11所示框架弯矩图。图中括号内数字为杆件的相对线刚度。解：（1）确定各层柱侧移刚度d

根据

确定各层各柱侧移刚度。由于B柱在3层的高度不同，按高度对其刚度进行折算；（2）确定剪力分配系数μi计算公式为：

计算结果见内力计算表（3）确定各层反弯点高度比y项目梁端AB梁端BA梁端BC梁端CB三层梁端弯矩（KN-m）0.544［7.5/(7.5+120］×0.65=0.25［12/(7.5+12)］×0.65=0.40.352二层梁端弯矩（KN-m）0.544+2.125=2.669［10/(10+16)］×(0.65+2.75)＝1.308［16/(10+16)］×(0.65+2.75)＝2.090.352＋1.375＝1.7一层梁端弯矩（KN-m）2.125＋3.06＝5.185［16/(16+16)］×（2.75＋3.96）＝3.3550.5×（2.75＋3.96）＝3.3551.375＋1.98＝3.355（4）确定柱端弯矩根据Mi上＝Vi（1-y）h;Mi下=Viyh(5)确定梁端弯矩根据梁端弯矩和等于柱端弯矩和的原理，并按梁的线刚度比，根据下式计算左右梁端弯矩。计算结果如下表。

梁端弯矩计算表（6）绘制弯矩图4多层多跨框架在水平荷载作用下的内力计算

改进反弯点法（D值法）反弯点法改进的原因与内容反弯点法在考虑柱侧移刚度d时，假定结点转角为0，亦即横梁的线刚度假设为无穷大。对于层数较多的框架，由于柱轴力大，柱截面也随着增大，梁柱相对线刚度比较接近，甚至有时柱的线刚度反而比梁大，这样，上述假设将产生较大误差。另外，反弯点法计算反弯点高度比y时，假设柱上下结点转角相等，固定了反弯点的位置，这样误差也较大，特别在最上和最下数层。日本武藤清在分析多层框架的受力特点和变形特点的基础上，对框架在水平荷载作用下的计算，提出了修正柱的侧移刚度和调整反弯点高度的方法。修正后的柱侧移刚度用D表示，故称为D值法。D值法的计算步骤与反弯点法相同，因而计算简单、实用、精度比反弯点法高，在高层建筑结构设计中得到广泛应用。

D值法也要解决两个主要问题：确定侧移刚度和反弯点高度。柱侧移刚度D值的计算当梁柱刚度比为有限值时，在水平荷载作用下，框架不仅有侧移，且各结点还有转角，见图。下面推导标准框架（即各层等高、各跨相等、各层梁和柱线刚度都不改变的多层框架）柱的侧移刚度。为此，在有侧移和转角的标准框架中取出一部分，如图所示。柱12有杆端相对线位移δ2，且两端有转角θ1和θ2，由转角位移方程、杆端弯矩为可求得杆的剪力为令

D值也称为柱的侧移刚度，定义与d值相同，但D值与位移δ和转角θ均有关。(a)(b)因为是标准框架，假定各层层间位移相等，即δ1＝δ2＝δ3＝δ。取中间结点2为隔离体，利用转角位移方程，由平衡条件，可得经整理可得

上式反映了转角与层间位移δ的关系，将此式代入(a)和式（b），得到令

则在上面的推导中，K=(i1+i2)/ic，为标准框架梁柱的刚度比,

值表示梁柱刚度比对柱侧移刚度的影响。当K值无限大时，α＝1，所以D值与d值相等；当K值较小时，α<1，D值小于d值。因此，α称为柱侧移刚度修正系数。在更为普遍（即非标准框架）的情况中，中间柱上下左右四根梁的线刚度都不相等，这时取线刚度平均值计算K值，即

对于边柱，令i1=i3=0(或i2=i4=0)可得对于框架的底层柱，由于底端为固结支座，无转角，亦可采用类似方法推导，所得底层柱的K值及α值不同于上层柱。楼

层简

图Kα一般柱底层柱各种《高层建筑结构》教材中都给出了K值和柱侧移刚度修正系数α的计算表（如表4－1）柱侧移刚度修正系数α表4－1

注：边柱情况下，式中i1，i3取0值。有了D值以后，与反弯点类似，假定同一楼层各柱的侧移刚度相等，可得各柱的剪力为

式中：Vij为第j层第i柱的剪力；Dij为第j层第i柱的侧移刚度D值；∑Dij为第j层所有柱D值的总和；Vpj为第j层由外荷载引起的总剪力。确定反弯点高度比

1、影响反弯点高比的因素影响柱反弯点高度比的主要因素是柱上下端的约束条件。由图4－15可见，当两端固定或两端转角完全相等时，因而两端约束刚度不相等时，两端转角也

反弯点在中点。不相等，；反弯点移向转角大的一端，也就是移向约束刚度较小的一端。当一端为铰接时，支承转动刚度为0，弯矩为0，反弯点与该铰重合。影响柱两端约束刚度的主要因素如下：（1）结构总层数及该层所在位置；（2）梁柱线刚度比；（3）荷载形式；（4）上层与下层梁刚度比；（5）上、下层层高变化。在D值法中，通过力学分析求得标准情况下的标准反弯点高度比y0（即反弯点到柱下端距离与柱全高的比值），再根据上、下梁线刚度比值及上、下层层高变化，对y0进行调整。2、柱标准反弯点高度比y0标准反弯点高度比是在各层等高、各跨度相等、各层梁和柱线刚度都不改变的多层框架在水平荷载作用下求得的反弯点高度比。为使用方便，已把标准高度比的值制成表格，在均布水平荷载作用下的y0、在倒三角形分布荷载作用下的y0。在顶点集中荷载作用下的y0均有不同的表格供设计查取，设计时根据框架总层数n及该层所在j以及梁柱线刚度比K值，可以从表格中查得标准反弯点高度比y0。3、上下柱刚度变化时反弯点高度比修正值y1当某柱的上梁与下梁的刚度比不等，柱上、下结点转角不同时，反弯点位置有变化，应将标准反弯点高度比y0，加以修正，修正值为y1，见图4－16。当i1+i2<i3+i4时，令α1＝（i1+i2）/（i3+i4），根据α1和K值从表4－3查出y1，,这时的反弯点应向上移动，y1取正值。当i3+i4<i1+i2时，令α1＝（i3+i4）/（i1+i2），仍由α1和K值从表4－3查出y1，,这时的反弯点应向下移动，y1取负值。对于底层，不考虑y1的修正值。K

α10.10.20.30.40.50.60.70.80.91.02.03.04.05.00.40.550.40.300.250.200.200.200.150.150.150.050.050.050.050.50.450.30.200.200.150.150.150.100.100.100.050.050.050.050.60.3.00.20.150.150.100.100.100.100.100.100.050.050.000.000.70.20.150.100.100.100.100.100.050.050.050.050.000.000.000.80.150.100.050.050.050.050.050.050.050.050.000.000.000.000.90.050.050.050.050.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00上下梁相对刚度变化时修正值y1

表4－34、上下层高度比变化反弯点高度比修正值y1和y2层高有变化时，反弯点也有移动，见图4－17。令上层层高和本层层高之比h上/h＝α2，由表4－4可查得修正值y2。当α2>1时，y2为正值，反弯点向上移。当α2<1时，y2为负值，反弯点向下移。同理，令下层层高和本层层高之比h下/h＝α3，由表4－4可查得修正值y3。综上所述，各层柱的反弯点高度比由下式计算：（4－9）α2Kα30.10.20.30.40.50.60.70.80.91.02.03.04.05.02.00.250.150.150.100.100.100.100.100.050.050.050.050.00.01.80.20.150.100.100.100.050.050.050.050.050.050.00.00.01.60.40.150.100.100.050.050.050.050.050.050.050.00.00.00.01.40.60.100.050.050.050.050.050.050.050.050.00.00.00.00.01.20.80.050.050.050.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.01.01.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0C0.00.00.81.2-0.05-0.05-0.050.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.61.4-0.10-0.05-0.05-0.05-0.05-0.05-0.05-0.05-0.05-0.050.00.00.00.00.41.6-0.15-0.10-0.10-0.05-0.05-0.05-0.05-0.05-0.05-0.050.00.00.00.01.8-0.20-0.15-0.10-0.10-0.10-0.05-0.05-0.05-0.05-0.05-0.050.00.00.02.0-0.25-0.15-0.15-0.10-0.10-0.10-0.10-0.05-0.05-0.05-0.05-0.050.00.0

上下柱高度变化时的修正值y2和y3

表4－4注：y2按α2

查表求得，上层较高时为正值，但对于最上层，不考虑y2的修正值；

y32按α3

查表求得，对于最下层，不考虑y3修正值。例题；求图4－18所示框架弯矩图。

剖面图中给出了水平力及各杆件的线刚度相对值。解：（1）计算框架侧移刚度D值，如表4－5所示；（2）根据侧移刚度确定剪力分配系数，并求出各柱反弯点处剪力（如表4－5）。

层数层间剪力

KN边柱D值(10根)中柱D值（5根）层间总刚度

∑D剪力分配系数边柱剪力KN中柱剪力KNKαKα边柱中柱357521框架内力计算表

表4－5（3）确定反弯点高度比按倒三角形荷载，根据层数、楼层所在位置、梁柱刚度比查标准反弯点高比，确定标准反弯点y0，然后根据侧移刚度修正系数，确定标准反弯点高比调整系数y1，之后再根据柱层高变化，求标准反弯点高比调整系数y2，最后进行y值叠加。层数边柱中柱3n=3j=3n=3j=3k=1.11y0=0.4055k=2.22y0=0.45α1=0.8/1.2=0.67y1=0.05α1=（2×0.8）/(2×1.2)＝0.67y1=0.05α2=3.5/3.5=1y2=0α2=3.5/3.5=1y2=0y=0.4055+0.05=0.455y=0.45+