第2节 复化求积公式

§2.复化求积公式

考虑到数值计算的稳定性，用增大n的方法来提高数值积分的代数精度的方法是不可取的。类似于分段插值，为了减少数值积分的误差，把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶数值积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似，这就是复化数值积分。在区间[a,b]上，取等距节点又由定积分的区间可加性，有由此，可以得到相应的复化梯形公式和复化抛物线公式即一、复化梯形公式已知在每一个小区间上利用梯形公式得到令得到我们称上式为复化梯形公式.下面分析复化梯形公式的误差。已知根据梯形公式的误差可得这时如果f(x)∈C2[a,b],则一定存在实数m、M使得下面进一步分析误差于是，根据连续函数的介值定理可知，存在η使得这时即则得到复化梯形公式及其误差如果记上式说明复化梯形公式是收敛的。利用误差估计式,可以对积分计算进行精度控制，从而确定出需要将积分区间多少等分。例如，如果我们需要将积分值的误差控制在ε>0

范围内，只需要从则有解出中出即可。例4.3用四点复化梯形公式计算解：四点复化梯形公式就是将区间[0，1]三等分，如图，于是01而梯形公式的结果为例4.4用复化梯形公式计算积分，应将区间[0,1]多少等分，才可以使其截断误差不超过解：复化梯形公式的误差为而从而令于是，只要将区间至少68等分,就可以达到需要的精度要求。二、复化抛物线（Simpson）公式已知定积分的抛物线公式及其误差为如果对于积分在每个小区间上都采用Simpson公式，则得到复化Simpson公式。这时由得到令进一步由介值定理，若f(x)∈C4[a,b],则有设有估计式于是，我们得到复化抛物线公式及其误差为：这时，做近似计算用：四点公式(n=3)的节点如：bax1x2做误差限估计用：最后，总结出抛物线公式和复化抛物线公式1.抛物线公式及其误差2.复化抛物线公式及其误差

例4-5试利用函数的数据表（表4-1）分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算下列积分的近似值。

表4-1数据表015/80.93615561/80.99739783/40.90885171/40.98961587/80.87719263/80.976726710.84147101/20.958811也就是

解:两种复化公式分别计算如下：

根据已知点的数据，需要用到九点复化梯形公式：

以上两种算法对区间采用不同等分，计算量大体一致，定积分精确到小数点后七位的值是0.9460831，Simpson公式精度要高一些。对于复化抛物型公式：

在这里n=4,步长例4-6利用复化梯形公式和复化Simpson公式分别求下列定积分，若要使精度达到ε=10-6，问各需将区间[0,1]多少等分？解由于

从而于是有由复化梯形公式和复化Simpson公式的误差表示式得到根据上面的估计分别取则只要可分别解出可见满足同样的精度要求复化梯形公式需将区间167等分复化抛物线公式只需将区间3等分本节(§3)小结2.复化抛物线公式及其误差1.复化梯形公式及其误差3.程序设计(1).编写复化梯形公式程序并上机实现。(2).编写复化Simpson公式程序并上机实现。(3).分别用两种公式利用如下积分计算π值，计算到3.1416需要将区间[0，1]多少等分：4.练习(1).由梯形公式及误差推导出复化梯