第二章+流体静力学

材料制备传输原理（第二章）北京航空航天大学材料学院Schoolofmaterialsscienceandengineering,BUAA主讲：李树号楼321lishs@

助教：尚s881013@126.com

BEIHANGUNIVERSITY第一篇动量传输第二章流体静力学主要内容流体静力学研究流体平衡时的力学规律，以及这些规律在工程技术中的实际应用。

静止流体不体现粘性，所以流体静力学不涉及粘性。本章的主要内容：2.1作用在流体上的力2.2流体静压强及其特性2.3静止流体的平衡微分方程2.4流体静力学基本方程2.5流体压强的测量2.6静止液体对壁面的作用力计算2.7流体的相对平衡#平衡流体的概念平衡也称之为静止——流体各部分之间没有相对运动。相对静止：流体各部分之间没有相对运动，但流体整体相对于地球有相对运动。如等匀速直线运动的流体、等加速直线运动、做等角速旋转。绝对静止：流体各部分之间没有相对运动，而且流体整体相对于地球也没有相对运动。2.1作用在流体上的力作用在流体上的力有两大类：质量力表面力2.1作用在流体上的力2.1.1质量力质量力F：作用在流体每一质点上，由加速度产生，并与质量成正比。质量力包括重力和惯性力。在流体力学中，常用单位质量力来衡量质量力的大小，并用X、Y、Z分别代表单位质量力在直角坐标轴x、y、z方向的分量，则

质量力压力切向力单位质量力——指单位质量流体所具有的质量力。设有一流体质点，其体积为dV，密度为ρ

所受质量力为F，F在三个坐标轴上的分量分别为Fx，Fy，Fz则单位质量流体所受质量力在三个坐标方向的分量分别为比较可见，单位质量力与加速度有同样的量纲。质点dV2.1作用在流体上的力2.1作用在流体上的力表面力：作用在流体的表面上并与表面积成正比。表面力有两种：表面切向力（粘性摩擦力）。表面法向力（压力）。静止流体中没有粘性，不存在切向力。质量力压力切向力静止流体中的压应力就是压强。2.1.2表面力2.2.1

流体静压强的概念

在静止流体中取一分离体，用平面AB分开，作用在微小面积△A上的压力为△P，则△A上的平均压强为

流体静压强p——指静止流体作用在单位面积上的力，其单位为N/m2，也称为帕（Pa）。当△A无限缩小，趋于m点时，则有点m点的压强为△P△Am2.2流体静压强（HydrostaticPressure）及其特性2.2.2流体静压强有两个重要特性：特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。特性二：静止流体中，任一点的流体静压强只与坐标位置有关，与压强的作用方向无关。即，任一点的流体静压强在各方向上大小相等（各向同性）。2.2流体静压强（HydrostaticPressure）及其特性特性一证明：若压强不沿法向，则必可分解为法应和切应力，有了切应力则流体必变形流动，此不为静止流体。所以压强只沿法向方向。2、若为外法线方向，则流体受到拉伸，必变形流动，此亦不为静止流体，所以静压强只沿内法线方向。静止流体2.2流体静压强（HydrostaticPressure）及其特性特性二证明：如图，为静止流体中的一个微元四面体质点。分析X方向受力平衡：2.2流体静压强（HydrostaticPressure）及其特性结论：单位面积上的流体静压力称为流体静压强。静止流体中，同一点处不同方向上的流体静压强大小相等，且始终沿着作用面的内法线方向。压强的单位是Pa，即帕斯卡。1Pa＝1N/m2。压强值很大时可用kPa，气象中常用100Pa作为气压单位。由于大小和方向无关，所以静压强不是矢量，而是标量。根据连续介质的概念，流体中的静压强可以表示为

其全微分式为2.2流体静压强（HydrostaticPressure）及其特性2.3静止流体的平衡微分方程(differentialequation)静止流体的平衡微分方程——用微分的形式表达流体质点上的力学关系。2.3静止流体的平衡微分方程(differentialequation)2.3.1

流体平衡微分方程的推导假想从平衡流体中取出一微元平衡六面体，其边长如图。中心点为c(x,y,z)，其压强为p。X方向的受力平衡式为简化后得同理可得该式可以用以下三者之一进行描述：作用于平衡流体上的质量力和表面力相互平衡流体静压强沿某方向的梯度直接等于流体密度与该方向单位质量力的乘积流体静压强在某方向上若存在梯度，则该方向上必有质量力存在此式由瑞士学者欧拉1755年提出，亦称为欧拉平衡微分方程。2.3静止流体的平衡微分方程(differentialequation)2.3.2流体平衡微分方程的积分将欧拉平衡微分方程各式依次乘以dx、dy、dz，整理相加得由

得dp＝对不可压缩流体(ρ=常量)，上式的左边是压强的全微分，其右边括号中亦应是该压力所对应的某一函数的全微分即其中若此函数以W表示，则它表明：压强值在空间上的变化是由质量力引起并决定的。2.3静止流体的平衡微分方程(differentialequation)由此可以看出

这里，W函数是一个决定流体质量力的函数（力的势函数，即有势的质量力）。当质量力用这样的函数来表示时，简称为有势力。例如，重力、惯性力等都是有势力。

对式积分得

积分常数，代入上式得若已知势函数，则可求任意点的p。且当P0变化时，p也变化。（如帕斯卡原理、水压机、液压传动）W=f（x，y，z）。

上式为平衡（静止）流体中压力的分布规律。边界条件，如液面。2.3静止流体的平衡微分方程(differentialequation)有势力：在保守力（只跟物体的位置有关，比如：静摩擦力）的基础上，如果力还取决于速度（或速度变化），这样的力叫有势力（重力，电场力，磁场力）。2.3.3等压面——压强相等的点组成的面。

等压面特征：（1）等压面为等势面（其上，势函数的增量为零）。

（2）质量力必垂直于等压面。重力流体中，X＝0，Y＝0，Z＝－g所以有重力流体的等压面微分方程积分得得等压面微分方程为

由式dp=重要特性重力流体的等压面方程2.3静止流体的平衡微分方程(differentialequation)2.4流体静力学基本方程本节研究重力流体中的压强分布规律及其计算等问题。重力流体指所受质量力只有重力的流体。

代入全微分表达式，得：

如图所示的重力流体中，单位质量力在各轴上的投影为

即积分得即——（1）设液面上的压强为p0，坐标为z0，则有即——（2）

流体静力学基本方程。1.流体静力学基本方程的推导重力流体中，流体静压强只是坐标z的函数，点的淹没深度越深，压强越大。流体静压强等于液面上的压强加上流体重度与该点淹没深度的乘积。液面压强由外力施加而产生：固体作用的结果气体作用的结果液体作用的结果2.静压强的分布流体静力学基本方程工程中经常忽略大气压强。2.静压强的分布静压强分布示意图静力学基本方程（静压强基本方程）：2.静压强的分布Sampleproblem

Waterandoilinanopenstoragetankareincontactwiththeendwallasshowninfollowfigure.Findthepressureatthebottom(lowestpoint)ofthetankcausedbytheliquid.3.流体静力学基本方程的意义1m12m2h1h2P0z1z2003.流体静力学基本方程的意义静止流体中，不同点上单位重量流体的位能和压能可以互相转换，但任一点上两者之和始终为一常数，或者：静止流体中，不同点上比位能和比压能可以互相转换，任意一点上两者之和始终为一常数。能量（物理）意义1m12m2h1h2P0z1z200几何意义3.流体静力学基本方程的意义1m12m2h1h2P0z1z2测压管水头静力水头位置水头压力水头

静止流体中任一点上：静力水头＝位置水头＋压力水头静力水头线测压管水头线

静止流体中各点的静力水头相等、各点的测压管水头也相等。静力水头线和测压管水头线之间相差10米水头。3.流体静力学基本方程的意义小结：能量意义：静止流体中不同点的位能和压能可以相互转换，但各点总能量永远相等。几何意义：静止流体中各点的静力水头处处相等，且等于位置水头和压力水头之和。测压管水头和静力水头之间相差10米水柱。水头：单位重量流体所具有的能量水头和能量的关系位置水头——比位能压力水头——比压能静压强的表示方法度量压强有不同的基准，以不同的基准计量压强就有了不同的压强表示法。三种表示：绝对压强absolutepressure表压强gagepressure真空度vacuum

两个基准：绝对零压大气压强4.静压强的表示方法和压强单位标准大气压patm当地大气压pa工程大气压pat21绝对零压压强绝对压强绝对压强表压强表压强4.静压强的表示方法和压强单位绝对压强(absolutepressure)——从绝对真空算起的压强值，用patm（或pabs）表示。表压强（相对压强）(gagepressure)——以大气压强为零起点计量的压强值绝对压强的值永远为正值，相对压强可能出现负值。真空度（vacuum)——如果流体某点的绝对压强小于大气压，则该点存在着真空，该点的相对压强必为负值，称该点存在负压。该点压强低于大气压的部分成为真空度。如果一点具有真空，则该点p表＝－p真空4.静压强的表示方法和压强单位压强单位工程上所用压强单位有三类：应力单位：单位面积上的力。国际单位：N/m2（帕斯卡，帕，Pa）工程上：kgf/cm2

（公斤力/平方厘米），

1kgf/cm2＝1×9.81/10-4

（N/m2)＝98100N/m2大气压：用大气压的倍数作为压强的单位。液柱高度：米水柱mH2O毫米水柱mmH2O毫米汞柱mmHg标准大气压、当地大气压、工程大气压标准大气压（patm)的变迁：在0℃、纬度45°海平面上大气压强的绝对值为标准大气压。大约等于76cm汞柱。（受风力和温度的影响）一标准大气压等于76cm汞柱。（汞的密度受温度的影响，g也随纬度而变）1954年第十届国际计量大会决定：一标准大气压＝101325Pa当地大气压（pa）：当地大气压与当地的海拔高度和当时的温度有关。当地大气压一般低于标准大气压。工程大气压（pat）：工程上为计算方便，规定1kgf/cm2为一个工程大气压。工程大气压低于标准大气压。工程上常用液柱高度表示压强的大小。常用的液柱有：米水柱mH2o毫米水柱mmH2o毫米汞柱mmHg其原理来自于静压强基本方程：4.静压强的表示方法和压强单位压强单位1帕斯卡1标准大气压1工程大气压1毫米水柱1毫米汞柱换算1Pa101325Pa98100Pa9.81Pa133.32Pa单位换算【例题】烟囱高h＝20m，烟气平均温度T＝300℃，平均密度ρ＝0.44kg/m3，外界空气平均密度ρ＝1.29kg/m3，试求烟囱的抽力△p？解：抽力指烟囱炉门内外的压强差。答：烟囱的抽力为166.8Pa。2.5压强的测量用于测量流体压强的测压计一般分三种类型：金属测压计电测式测压计液柱式测压计：将被测压强转换成液柱高度进行测量。用于测量低压，负压或压力差。常用的液柱式压力计有单管式测压计，U型管测压计和斜管测压计等。1.测压管通常由一根内径大于5mm的垂直玻璃用橡皮管将一端直接连在盛有液体的压力容器上，另一端与大气相通。如图所示。若液体在玻璃管内上升的高度为h,液体的重度为γ，则容器中A点的压强

测压管测压计优点：简单、准确。缺点：只能用来测量液体的压强，而不能用来测量气体的压强。容器内压强必须大于大气压强，否则空气被抽吸进容器。不能用来测量很高的压强，否则测压管很长，用起来很不方便。2.U型管测压计

U型管测压计的一端与大气相通，另一端连接到所要测量压强的容器上。

U型管测压计克服了上述单管测压计的缺点。它的优点是既可以测量液体的压强，也可以测量气体的压强。若被测流体的压强较小，U型管中装较轻的液体，如水或酒精。当被压强较大时，U型管中装较重的液体，如水银。paU形管测压计2.U型管测压计

若被测流体是气体，则由于气体重度γ1比液体重度小得多，可以略去γ1h1

项。pa因为B－C为等压面，由此可以建立A点压强与大气压强之间的关系：故有U形管测压计3.复式U型管测压计

当所测点的压强较大时（比如超过300kPa），可串联使用多个U型管，此时压强计算较为复杂，但只要注意在连通的同一种静止液体中找准等压面就可以方便地计算。如图，根据等压面关系有整理得

4.U型管压差计U型管测压计还可以用来测量两点间的压强差，即构成U型管压差计。U型管两端分别连接在容器A和B上。由图可知C-D是等压面，因此可得A、B两点的压强差为：则有γ1γ2γ35.微压计对于微小压强的测量，可以将测压管倾斜放置，即利用斜管测压计将读数放大。图为斜管测压计测压管倾斜角为α，容器内的压强为可见l比h放大了倍，α愈小，l愈长，从而提高了读数和测量精度。斜管测压计常用来测量气体的压强，根据图中几何关系，得即微压计6.真空计若测点的压强小于大气压，则可使用真空计。如图。此时关系式为可见，测点压强小于大气压。讨论：式中的p0为绝对压强？表压强？或是真空度？即真空计7.解题关键可见在进行液体压强测量计算的过程中，两个关键问题是：找准等压面正确使用静压强基本方程注意:在高精度测量过程中，要考虑温度对液体密度的影响。等压面分析不考虑气柱造成的压强，请分析等压面？作业1.证明静止流体中任意点的静压强值只能由该点的坐标位置决定,而与该压强的作用方向无关.2.推导静止流体的平衡微分方程(欧拉静平衡方程).2.6静止液体对壁面作用力的计算工程上常需要计算液体与固体壁面的作用力大小。铁水对砂箱的作用力深孔闸门受到静水的压力2.6静止液体对壁面作用力的计算水坝上游受到静水的作用力平板闸门受到上、下游静水的作用力1.静止液体作用在平面壁上的总压力一任意形状的平板倾斜放置在液体中。平板垂直于纸面，与水平面之夹角为α，自由液面的压强等于大气压强pa

，试求作用于平板上的合力及其作用点。为研究方便起见，假设将平板绕oy轴旋转90°如图：1.静止液体作用在平面壁上的总压力作用力的大小积分上式可得整个淹没平面上的合力：在平面上任取一微面积dA，液体作用于其上的作用力为dP=pdA作用在整个淹没面积上的压力为

若只考虑静止液体对平面的作用力，则该力为：P1.静止液体作用在平面壁上的总压力式表明：静止液体对平壁的作用力等于浸水面积与其形心压强的乘积。作用力的方向指向受压面积的内法线方向。1.静止液体作用在平面壁上的总压力压力中心（总作用力P的作用点）设作用点的y

坐标为yD，因：合力对某轴的力矩等于其分力对该轴的力矩之和则：由惯性矩平行移轴定理得：由此可知，压力中心的位置总是位于平壁形心之下。1.静止液体作用在平面壁上的总压力注意：y坐标是从液面算起的，压力中心中的yD

也是是从液面算起的；平面壁的放置方向可能不同。若垂直放置则yD＝hD；若壁面是对称的几何形状，则压力中心的求解只需要一个y方向的坐标即可；由于大气压强在平壁两面平衡，所以此类工程问题一般不计算大气压作用；常用几何图形的静力矩和惯性矩可查找附表2。平板闸门受到上、下游静水的作用力深孔闸门受到静水的压力AB压力中心到A点的距离为T注意：对于在重力作用下平衡的气体，也就是所谓的静止气体，在所处的空间不是十分大的情况下，可以不考虑气体的压缩性，而认为密度是常数，此时上式仍然是适用的；对于大气来说，其密度、压强等状态参数随高度变化是很大的，因此大气的密度ρ就不再作为常数看待了。2.静止流体对曲面的作用力在柱面AB上取一微元面积dA，其淹没深度为h。dA上所受静水压力为将dP分解为x和y方向上的分力，有

两个相互垂直的力系分别相加得：dAXdAZAXdA结论：1)作用在二维曲面上的静止液体作用力可以分解为两个垂直方向上的力，其中，水平方向的力等于该曲面在x方向投影面积上的静水作用力；垂直方向的力等于压力体内的液体重量。2.静止流体对曲面的作用力即2)作用在曲面上的总作用力为3)总作用力的方向可以通过求解角度的方式确定：4)总作用力的作用点通过Px和Pz的交点，并作用在曲面上。2.静止流体对曲面的作用力5)若为三维曲面，则y方向的力等于曲面在y方向上的投影面积上的静水作用力：A2.静止流体对曲面的作用力

压力体的体积V

是指由自由液面、曲面、以及曲面垂直方向投影线所包围的体积。它可以是充满了流体的体积，也可以是空体积。当压力体内充满液体时，曲面所受的垂直作用力向下时，压力体称为正压力体或实压力体。当压力体内没有液体时，曲面所受垂直方向的力向上，这种情况下的压力体称为负压力体或虚压力体。abcd浮力原理（阿基米德原理）物体所受到的液体的浮力等于它所排开的液体重量。2.静止流体对曲面的作用力【例题】一容器壁面上有两个半球形盖子。已知d＝0.5m，h1＝1.5m，h2＝2m。求作用在每个半球盖子上的液体压力。解（1）求侧盖上的液体压力P1 x方向:z方向：合力：2.静止流体对曲面的作用力P1通过球体的形心并与X方向所成的夹角为（2）底盖上液体压力P2P2X=0，P2y＝0所以，P2＝P2z。其方向垂直向下，并通过球体的形心。合力：2.7液体的相对平衡相对平衡是指液体与盛装它的容器作为整体而言对地球有相对运动,但液体相对容器则是静止的,液体宏观上没有相对运动。根据达朗贝尔原理，如果把坐标系取在盛装液体的容器上，加上一个假想的由牵连运动而形成的惯性力，液体相对于坐标系则呈现平衡状态。现分三种情况进行讨论。1匀速直线运动容器中液体的相对平衡当容器做匀速直线运动的时候，容器中液体受到的质量力只有重力，所以X＝0，Y＝0，Z＝－g此时为重力场。等压面为水平面。压力分布规律为p=p0+γh2匀加速直线运动的容器中液体的相对平衡当容器以恒定的加速度a运动时，容器内液体受到的质量力除重力外，还有一个假想的与运动方向相反的惯性力（依据达朗贝尔原理）。惯性力是指:当物体有加速度时（可以是加速阶段，也可以是减速阶段）时，物体具有的惯性会使物体有保持原有运