第4章：连续体的振动

Prof.LanheWuShijiazhuangTiedaoUniv.DynamicsofStructures第四章连续系统的振动具有连续分布的质量和弹簧系统称作连续系统或分布质量系统。连续系统具有无限多个自由度，其动力学方程为偏微分方程，只对一些简单情形才能求得精确解。对于复杂的连续系统则必须利用各种近似方法简化为离散系统求解。本章先讨论以杆的纵向振动为代表的一类振动以及梁的横向振动，以掌握连续系统振动的一般规律，然后介绍工程中常用的几种近似方法，包括集中质量法、假设模态法、模态综合法和有限元法。本章材料均为理想线弹性体，即材料为均匀的和各向同性的，且在弹性范围内服从胡克定律§4.1一维波动方程基本假设:考虑图示均质直杆1.所有连续体均为线性弹性体2.材料均匀连续且各向同性3.体系的振动变形都是微小变形一.动力学方程1.杆的纵向振动设弹性模量为横截面积为材料密度为杆件长度为假定振动过程中各截面保持平面，并忽略因纵向振动引起的横向变形考虑微段的平衡一维波动方程而将上式代入动力平衡方程整理得波速2.弦的横向振动讨论两端固定，以张力拉紧的细弦的横向振动设弦单位长度的质量为单位长度弦上横向的干扰力以变形前弦的方向为轴振动过程中弦的张力不变设横向挠度对图示微元体，列出将代入整理得自由振动时上式化为一维波动方程波速3.轴的扭转振动设截面的二次极矩为材料的密度为剪切模量建立图示的坐标系扭转角该截面处的扭矩为对右图示的微元体，列出自由振动时化为一维波动方程一维波动方程波速4.杆的剪切振动材料的密度为剪切模量建立图示的坐标系对右图示的微元体，列出

杆的剪切振动当杆的长度接近截面尺寸时，杆的横向振动主要引起剪切变形假设振动过程中杆的横截面始终保持平行，称作杆的剪切振动截面形状系数一维波动方程波速整理得二.固有频率和模态函数以上四种物理背景不同的振动都归结为同一数学模型，即一维波动方程。以杆的纵向振动为代表，讨论此数学模型，所得结果也完全适用于其它振动问题。现来求解一维波动方程利用分离变量法，令这个假设的实质是:假设杆上各点作同步运动代入波动方程得

杆上距原点x处的截面纵向振动的振幅各截面振动随时间的变化规律等式两边是互相无关的函数，因些只能等于常数记

上式可化为如下两个常微分方程

思考:为什么这个常数为非正数?

通解:

振动形态(模态)常数

由杆的边界条件确定

与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，即模态函数。由于是表示各坐标振幅的相对比值，模态函数内可以包含一个任意常数由频率方程确定的固有频率有无穷多个一一对应第i阶主振动系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加其中积分常数和由系统的初始条件确定以下讨论几种常见边界条件下的固有频率和模态函数1.两端固定边界条件为因将代入可得和因为故须有频率方程无穷多个固有频率模态函数由于模态表示的是各振幅比值,故可令这个常数等于12.两端自由边界条件为因将代入可得和因为故须有频率方程无穷多个固有频率模态函数亦可令这个常数为1,有3.一端固定另一端自由边界条件为因将代入可得和因为故须有频率方程无穷多个固有频率模态函数亦可令这个常数为1,有例:解:设杆的一端固定，另一端自由且有附加质量如图所示,试求杆纵向振动的固有频率和模态边界条件写作将边界条件代入得到及频率方程化作其中梁的总质量利用数值方法或作图法可解出此方程，得到频率相应的模态函数为因为数学模型相同，以上在各种边界条件下导出的固有频率和模态函数也完全适用于弦的横向振动、杆的扭转振动和梁的剪切振动。关于这类系统的受迫振动本节不作讨论，因为与下节梁的弯曲受迫振动的分析和计算方法基本相同§4.2Euler-Bernoulli梁的弯曲自由振动一.动力学方程考虑细直梁的弯曲振动忽略梁的剪切变形和截面绕中性轴转动对弯曲的影响Euler-Bernoulli梁设梁的长度为密度为截面积为弹性模量为截面二次矩单位长度梁上的横向外力单位长度梁上的外力矩取一微段,其受力图如右图利用达朗伯原理列出微元体沿方向的动力学平衡方程即再列出微元体力矩方向的平衡方程略去高阶微量得到将该式代入前面的式子得到由材料力学知代入整理得动力学方程若为等截面梁,则可化为若梁上无分布力矩,则化为此方程含有对坐标的四阶导数和对时间的二阶导数,故求解时必须考虑四个边界条件和两个初始条件二.固有频率和模态函数考虑梁的自由振动,此时梁上无荷载,动力学方程为仍采用分离变量法，令代入动力学方程,整理得到该式两边分别为时间和坐标的孤立函数,两者互相无关,故只能等于常数,记为导出两个常微分方程第一个方程的解为第二个方程为变系数微分方程,一般情况下得不到解析解考虑特殊情况,高梁为等截面梁,则第二个方程化为令该方程的解可以确定梁的模态函数和固有频率设解的一般形式为代入控制方程，导出本征方程本征根为对应于4个线性独立的特解因为亦可将作为基本解于是原方程的通解为积分常数及参数应满足的频率方程由梁的边界条件确定可解出无穷多个固有频率及模态函数构成系统的主振动系统的自由振动是无穷多个主振动的线性叠加其中,积分常数由初始条件确定常见的约束状况与边界条件有以下几种：固定端即简支端即自由端即以下若无特殊说明,均假设梁为等截面梁例:解:求两端简支梁的固有频率和模态已知梁的边界条件为代入得由前二式可解得代入后二式有因为故由式可解得于是得频率方程及而解得得固有频率将及代入得相应的模态函数由于模态表示各点振幅之间的比值,故可取得模态函数其前几阶模态的形状如下第一阶模态第二阶模态第三阶模态第四阶模态没有节点一个节点二个节点三个节点例:解:求悬臂梁的固有频率和模态已知梁的边界条件为代入得以及因为不能全为零,故有展开化简后，得到频率方程该方程为超越方程,不能求得精确解,可用作图法或者数值法求得其近似解对应的各阶频率为相应的各阶模态函数为其中其前三阶模态图如下第一阶模态第二阶模态第三阶模态例:解:求两端自由梁的固有频率和模态函数已知梁的边界条件为利用前面相同的步骤可以导出频率方程解得相应的各阶模态函数为其中例:解:图示悬臂梁的自由端有弹性支承,试列出其频率方程固定端的边界条件化为梁右端的边界条件为:梁端的剪力和弯矩分别等于直线弹簧的反力和卷簧的反力矩,即:化为由固定端条件解得由弹性支承端条件并考虑上式得因不全为零和导出频率方程或若全为零和则退化为悬臂梁的频率方程例:解:固定端的边界条件为悬臂梁的自由端有附加质量,试列出其频率方程自由端应有化为利用与上例相同的方法可提频率方程其中说明:上述分析没有考虑梁的剪切变形和梁截面的转动惯性,因而只适用于细长梁若不满足此条件,宜用Timoshenko梁模型,剪切变形和梁截面的转动惯性都会使梁的固有频率减小三.模态函数的正交性讨论细长梁，不限于等截面情形,设它们必满足对第(1)式,两边乘以并沿杆长积分左边利用分部积分有对于梁的简单边界条件,其挠度和剪力中必有一个为零,转角和弯矩中也必有一个为零,因而上式中的前两项必定等于零,故有代入(3)式得同理,对第(2)式,两边乘以并沿杆长积分得(4)式减去(5)式得如果则再代回(4)式得主振型关于质量的正交性主振型关于刚度的正交性四.主质量和主刚度以上主振型的正交性条件要求当时定义第i阶主质量第i阶主刚度由式知与多自由度系统类似，也可以实现模态函数的简正化记若采用简正模态函数,则必有简正模态函数模态的正交条件可写为为克罗内克符号当梁的端部为简支、固定或自由以外的其它复杂情形时，则以上对正交性条件的推导和结论应作相应的改变。对于一维波动方程描述的杆的纵向振动或轴的扭转振动等情形，也可以导出类似的正交性条件。注:§4.3Euler-Bernoulli梁的受迫振动根据模态函数的正交性，可将多自由度系统的模态叠加法思想应用于连续系统。即将弹性体的振动表示为各阶模态的线性组合，用于计算系统在激励作用下的响应问题梁的动力学方程为设代入动力方程得简写为方程两边同时乘以,并沿杆长积分利用模态的正交性,得到无穷多个完全解耦的方程其中第i个正则坐标方程第i个广义力设梁的初始条件为将此初始位移亦看作是各阶模态的叠加两式分别乘以并沿杆长积分得此二式即为广义坐标的初始条件系统广义坐标的响应为初始条件确定的自由振动和激励力产生的响应的叠加。由杜哈梅积分公式及单自由度结构自由振动的解得到原来系统物理坐标的的响应为如果作用的梁上的不是分布力和分布力矩，而是集中力和集中力矩，如图所示作用力可表示为广义作用力为例:解:设等截面简支梁受到初始位移的激励，求梁的响应我们已知该梁的模态函数为计算其主质量其简正模态为其中为梁的质量梁的固有频率为由于梁没有初速度，也没有干扰力，而只有初位移广义坐标的初位移为广义坐标的响应为系统物理坐标的响应为例:解:设等截面简支梁上通过一辆以速度匀速驶过的车，若忽略车辆的惯性，可以看作集中力匀速沿桥梁移动设梁上桥瞬时梁的初位移和初速度皆为零求梁的响应集中力荷载用脉冲函数表示为简支梁的固有频率和简正模态函数为求出与广义坐标相对应的广义力将广义力和零初始条件代入杜哈梅积分梁的响应为其中括号内第一项为车辆载荷激起的受迫振动，第二项为伴生自由振动

当固有频率与激励频率相等的时候将产生第阶共振，对应的车速为

这时梁的振幅将随时间增长，直到车辆离开桥梁当后梁作自由振动其广义坐标的初位移和初速度为和其振动的响应可参考上例求得,此处略去例:图示等截面简支梁中点处受集中力偶求梁的响应解:简支梁的固有频率和简正模态函数为力偶荷载用脉冲函数表示为广义坐标的动力学方程为其稳态响应为因此有广义力§4.4Timoshenko梁的弯曲自由振动一.动力学方程考虑细直梁的弯曲振动考虑梁的剪切变形和截面绕中性轴转动对弯曲的影响设梁的长度为密度为截面积为弹性模量为截面二次矩单位长度梁上的横向外力单位长度梁上的外力矩梁上某一微段变形情况截面法线梁轴线的切线其中梁轴线与水平轴的夹角剪切角梁截面与竖直轴的夹角很明显有