第3章试验的方差分析

第3章试验的方差分析

方差分析（analysisofvariance，简称ANOVA）检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性试验指标（experimentalindex）衡量或考核试验效果的参数

因素（experimentalfactor）影响试验指标的条件

可控因素（controllablefactor）水平（leveloffactor）因素的不同状态或内容

3.1单因素试验的方差分析

（one-way

analysis

of

variance）3.1.1单因素试验方差分析基本问题（1）目的：检验一个因素对试验结果的影响是否显著性（2）基本命题：设某单因素A有r种水平：A1，A2，…，Ar，在每种水平下的试验结果服从正态分布在各水平下分别做了ni（i＝1，2，…，r）次试验判断因素A对试验结果是否有显著影响

（3）单因素试验数据表试验次数A1A2…Ai…Ar1x11x21…xi1…xr12x12x22…xi2…xr2…………………jx1jx2j…xij…xrj…………………nix1n1x2n2…xini…xrnr3.1.2单因素试验方差分析基本步骤（1）计算平均值组内平均值：总平均：（2）计算离差平方和①总离差平方和SST（sumofsquaresfortotal）表示了各试验值与总平均值的偏差的平方和反映了试验结果之间存在的总差异②组间离差平方和SSA（sumofsquareforfactorA）反映了各组内平均值之间的差异程度由于因素A不同水平的不同作用造成的③组内离差平方和SSe（sumofsquareforerror）反映了在各水平内，各试验值之间的差异程度由于随机误差的作用产生三种离差平方和之间关系：（3）计算自由度（degreeoffreedom）总自由度：dfT＝n－1组间自由度：dfA＝r－1组内自由度：dfe＝n－r

三者关系：dfT＝dfA＋dfe（4）计算平均平方均方＝离差平方和除以对应的自由度MSA——组间均方MSe——组内均方/误差的均方（5）F检验服从自由度为（dfA,dfe）的F分布（Fdistribution）对于给定的显著性水平，从F分布表查得临界值F(dfA，dfe)

如果FA＞F(dfA，dfe)，则认为因素A对试验结果有显著影响否则认为因素A对试验结果没有显著影响（6）方差分析表若FA＞F0.01(dfA，dfe)

，称因素A对试验结果有非常显著的影响，用“**”号表示；若F0.05(dfA，dfe)

＜

FA＜F0.01(dfA，dfe)

，则因素A对试验结果有显著的影响，用“*”号表示；若FA＜F0.05(dfA，dfe)

，则因素A对试验结果的影响不显著单因素试验的方差分析表差异源SSdfMSF显著性组间（因素A）SSAr－1MSA＝SSA／（r－1）MSA／MSe组内（误差）SSen－rMSe＝SSe／（n－r）总和SSTn－1例3-1

：为考察温度对某种化工产品得率的影响，选取了五种不同的温度，在同一温度下各做3次试验，试验数据如下表所示。试问温度对得率有无显著影响。温度（℃）产品得率（%）6065707580909796848492939683868892938882解：（1）计算平均值依题意，本例为单因素试验的方差分析，单因素为温度，有5种水平，即r=5,在每种水平下做了3次试验，故ni=3(i=1,2,…5)，总试验次数n=15。有关平均值的计算如下表所示。温度（℃）产品得率（%）试验次数组内和Ti组内平均总平均606570758090979684849293968386889293888233333270282285255252909495858489.6（2）计算离差平方和（3）计算自由度（4）计算均方（5）F检验从分布表中查得F0.05(dfA,dfe)=F0.05(4,10)=3.48,F0.01(4,10)=5.99,所以FA>F0.05(4,10),FA>F0.01(4,10),因素A即温度对产品得率有非常显著的影响。差异源SSdfMSF显著性温度（组间）303.6475.915.2**误差（组内）50105.0总和353.614例3-1方差分析表例3-2：用火焰原子吸收光谱测定矿石中的铋，研究酸度对吸光度的影响，试验数据如下表所示。试由表中的数据评价酸度对吸光度的影响。含酸量/%吸光度和00.1400.1410.1440.42510.1520.1500.1560.1540.61220.1600.1580.1630.1610.64230.1750.1730.34840.1800.1840.1820.1860.732T2.Ti.T..差异源SSdfMSF显著性组间0.0036940.000922173.64**组内6.4×10-5125.31×10-6总和353.6143.1.3Excel在单因素试验方差分析中的应用利用Excel“分析工具库”中的“单因素方差分析”工具3.2双因素试验的方差分析讨论两个因素对试验结果影响的显著性，又称“二元方差分析”。3.2.1双因素无重复试验的方差分析（1）基本命题

设在某试验中，有两个因素A和B在变化，A有r种水平A1,A2,…,Ar,B有s种水平B1,B2,…,Bs,在每一种组合水平(Ai,Bj)上做一次试验，试验结果为xij

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s)，所有xij相互独立，且服从正态分布。因素B1B2…BsA1x11x12…x1sT1.A2x21x22…x2sT2.……………Arxr1xr2…xrsTr.T.1T.2T.sT..双因素无重复试验数据表表中，xij

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s)，其中，i表示A因素对应的水平，j表示B因素对应的水平，总试验次数n=rs。（2）双因素无重复试验方差分析的基本步骤①计算平均值总平均：

Ai水平时：

Bj水平时：②计算离差平方和总离差平方和：因素A引起离差的平方和：因素B引起离差的平方和：误差平方和：③计算自由度SSA的自由度：dfA＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSe的自由度：dfe＝（r－1）（s－1）SST的自由度：dfT＝n－1＝rs－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfe④计算均方

⑤F检验FA服从自由度为（dfA,dfe)的F分布；FB服从自由度为（dfB,dfe)的F分布；对于给定的显著性水平，查F分布表：F（dfA,dfe)，F（dfB,dfe)若FA＞F

（dfA,dfe)，则因素A对试验结果有显著影响，否则无显著影响；若FB＞F

（dfB,dfe)，则因素B对试验结果有显著影响，否则无显著影响；差异源SSdfMSF显著性因素ASSAr－1因素BSSBs－1误差SSe总和SSTrs－1⑥无重复试验双因素方差分析表无重复试验双因素方差分析表例3-3：为了考察PH值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中白蛋白与球蛋白的影响，对蒸馏水中的PH值（A）取了4个不同的水平，对硫酸铜溶液浓度（B）取了3个不同的水平，在不同水平组合下各测来了一次白蛋白与球蛋白之比，结果如下表所示，试检验两个因素对试验结果有无显著影响。PH值硫酸铜溶液浓度B1B2B3A13.52.32.0A22.62.01.9A32.01.51.2A41.40.80.3差异源SSdfMSF临界值显著性因素A5.28931.76340.954.757**因素B2.22221.11125.805.143**误差0.25860.043总和7.76911

方差分析表根据上表，FA＞F0.01

(3,6)，FB＞F0.01(2,6)，P-value<0.01,因素A和B对试验结果都有非常显著的影响3.2.2双因素重复试验的方差分析（1）基本命题双因素试验中，有时存在两因素对试验结果的联合影响，即交互作用（A×B）。如果要检验交互作用对试验指标的影响是否显著，则要求在两个因素的每一个组合(Ai,Bj)上至少做2次试验。设在某试验中，有A，B两个因素在变化，A有r种水平A1,A2,…,Ar,B有s种水平B1,B2,…,Bs,为研究交互作用A×B的影响，在每一种组合水平(Ai,Bj)上重复做c(c≥2)次试验(等重复性试验)，每个试验值记为xijk

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s;k=1,2,…,c)。因素B1B2…BsA1…A2………………Ar…双因素重复试验方差分析试验表（2）双因素重复试验方差分析的基本步骤①计算平均值总平均：任一组合水平（Ai，Bj）上：Ai水平时：Bj水平时：②计算离差平方和总离差平方和：因素A引起离差的平方和：因素B引起离差的平方和：交互作用A×B引起离差的平方和：误差平方和：③计算自由度SSA的自由度：dfA＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSA×B的自由度：dfA×B＝(r－1)(s－1)SSe的自由度：dfe＝rs(c－1)SST的自由度：dfT＝n－1＝rsc－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfA×B＋

dfe④计算均方⑤F检验若FA＞F

（dfA,dfe)，则认为因素A对试验结果有显著影响，否则无显著影响；若FB＞F

（dfB,dfe)，则认为因素B对试验结果有显著影响，否则无显著影响；若FA×B＞F

（dfA×B,dfe)，则认为交互作用A×B对试验结果有显著影响，否则无显著影响。⑥重复试验双因素方差分析表3.2.3Excel在双因素方差分析中的应用（1）双因素无重复试验方差分析利用“分析工具库”中的“无重复双因素方差分析”工具（2）双因素重复试验方差分析利用“分析工具库”中的“重复双因素方