第一章-3 条件概率

§5条件概率条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，将此概率记作P(B|A).

一般地P(B|A)≠P(B)

P(B)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，B={掷出2点}，

A={掷出偶数点}，P(B|A)=？掷骰子

已知事件A发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是A，

P(B|A)=1/3.A中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.容易看到P(B|A)于是事实上，对于古典概型，设样本空间S包含n个样本点，事件A包含m个样本点，事件AB包含k个样本点，则S同理，对于几何概型S设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称

(1)2.条件概率的定义为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.条件概率P(B|A)与P(B)的区别

每一个随机试验都是在一定条件下进行的,设B是随机试验的一个事件，则P(B)是在该试验条件下事件B发生的可能性大小.P(B)与P(B|A)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.

而条件概率P(B|A)是在原条件下又添加“A发生”这个条件时B发生的可能性大小,即P(B|A)仍是概率.3.条件概率的性质

非负性

规范性

可列可加性

2)从加入条件后改变了的情况去算4.条件概率的计算1)用定义计算:P(A)>0

掷骰子例：B={掷出2

点}，

A={掷出偶数点}P(B|A）=A发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B所含样本点个数

例1

掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解设B={掷出点数之和不小于10}A={第一颗掷出6点}应用定义在A发生后的缩减样本空间中计算由条件概率的定义：即若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(A),P(B|A)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(3)若

P(B)>0,则P(BA)=P(B)P(A|B)

(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率注意P(AB)与P(A|B)的区别！请看下面的例子

例2

甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产设B={零件是乙厂生产},A={是标准件}所求为P(AB).设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(A|B).B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产300个乙厂生产乘法公式应用举例

一个罐子中包含r个红球和t个白球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进a个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种抽取进行四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.

例3（波里亚罐子模型）r个红球,t个白球r个红球,t个白球

随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进a个与所抽出的球具有相同颜色的球.={第i次取出是白球}，i=1,2,3,4

解设={第i次取出是红球},i=1,2,3,4

表示事件“连续取四个球，第一、第二个是红球，第三、四个是白球.”

用乘法公式容易求出

当a>0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.例5

设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透镜落下三次而未打破”.

有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解记

Bi={球取自i号箱},

i=1,2,3;

A={取得红球}A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，123其中B1、B2、B3两两互斥看一个例子:三、全概率公式

将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)代入数据计算得：P(A)=8/15运用加法公式得到即A=AB1+AB2+AB3，

且AB1、AB2、AB3

两两互斥一个事件发生.B1BnAB1AB2ABnAB2全概率公式的应用：在计算某一较复杂的事件的概率时，有时根据事件在不同情况或不同原因或不同途径下发生而将它分解成两个或若干互不相容的部分的并，分别计算概率，然后求和.全概率公式使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简，得以解决.

某一事件A的发生有各种可能的原因

，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，则A发生的概率是

每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我们还可以从下面这个角度去理解

由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.B1B2B3B4B5B6B7B8A诸Bi是原因A是结果每一原因Bi发生的概率P(Bi)已知，其对结果A的影响程度P(A|Bi)已知例6

人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化.现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率.解:记为事件“利率下调”，那么即为“利率不变”，记为事件“股票价格上涨”.

据题设知=60%80%+40%40%=64%例7

某产品成箱包装，10件一箱，其中含次品有0,1,2三种等可能情况。现从中任取一件产品检验，若检验合格，则认为这箱产品合格。在检验过程中，由于技术原因，将正品误判为次品的概率为2%，而将次品误判为正品的概率为5%，求一箱产品被判为合格的概率。解：设Ai={箱中有i件次品}，i=0,1,2

A={产品被判为合格}

B={取出的一件产品为正品}

则P(A)=P(B)P(A|B)+测为正品正品次品BAP(B)=?P(Ai)=1/3，i=0,1,2P(B|A0)=10/10=1,P(B|A1)=9/10

P(B|A2)=8/10A0012A1A2正品B被调查者只需回答其中一个问题至于回答哪一个问题由被调查者事先从一个罐中随机抽取一只球，看过颜色后再放回，若抽出白球则回答问题1；若抽出红球则回答问题2，罐中只有白球与红球，且红球的比率是已知的，即例8

(敏感性问题的调查)

学生考试作弊会严重影响学风和大学生身心健康发展，但这些都是避着教师进行的，属于不光彩行为，要调查考试作弊同学在全体学生中所占比率P是一件难事，这里关键是要设计一个调查方案，使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密，经过多年研究与实践，一些心理学家与统计学家设计了一种调查方案，这个方案的核心是如下两个问题。问题1：你的生日是否在7月1日之前？问题2：你是否在考试时作过弊？

P(红球)=π

，P(白球)=1-π被调查者无论回答问题1还是问题2，只需在下面答卷上认可的方框内打勾，然后将答卷放入一只密封的投票箱内.是否

答案

上述抽球与答卷都是在一间无人的房间内进行的，任何外人都不知道调查者抽到什么颜色的球和在什么地方打勾，P(是)=k/n，这里答“是”有两种情况：一种是摸到白球后回答问题1答“是”，这是一个条件概率，它是“生日是否在7月1日之前”的概率，一般认为是0.5，即

如果向被调查者讲清楚这个方案的做法，并严格执行，那么就容易被调查者确信他（她）参加这次调查不会泄露个人秘密，从而愿意参加调查.

当有较多的人参加调查后，就可以打开投票箱进行统计.设有n张答卷，其中k张答“是”，于是回答“是”的概率是，可用频率去估计，记为

P(是|白球）=0.5

另一种是摸到红球后回答问题2答“是”，这也是一个条件概率，即是考试作弊同学在全体学生中所占比率p

，即

P(是|红球)=p最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联系起来

P(是)=P(是|白球)×P(白球)+P(是|红球)×P(红球)由此可获得感兴趣的比率p

=该球取自哪号箱的可能性最大?

这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.

某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:四、贝叶斯公式看一个例子:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记Bi={球取自i号箱},i=1,2,3;

A={取得红球}求P(B1|A)运用全概率公式计算P(A)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?乘法定理条件概率

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率.Bayes公式的使用我们把事件A看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，

如果已知事件A已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用Bayes公式贝叶斯公式在实际中有很多应用.

它可以帮助人们确定某结果（事件A）发生的最可能原因.

例9

某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:设C={抽查的人患有癌症}，

A={试验结果是阳性}，求P(C|A).现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得代入数据计算得P(C｜A)=0.10662.检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？

如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(C｜A)=0.1066

P(C)=0.005

试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为

P(C｜A)=0.10662.即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.

P(Bi)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi|A)有了新的估计.贝叶斯公式从概率上刻划了这种变化

在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi|A)分别称为原因的前验概率和后验概率.

例10

某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂次品率

提供晶体管的份额

10.02

0.1520.01

0.8030.03

0.05SB1B2B3A

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。

解：设A

表示“取到的是一只次品”，Bi

(

i=1,2,3)表示“取到的产品是由第i家工厂提供的”,例10（续）元件制造厂次品率

提供晶体管的份额

10.02×0.1520.01×0.8030.03×0.05全概率公式贝叶斯公式元件制造厂

1