第四讲 不定积分、定积分极其应用

第四讲不定积分、定积分及其应用§1定积分的概念与性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积在(a,b)内插入n–1个分点梯形曲边梯形第四讲不定积分、定积分及其应用则由x=a,x=b,y=0与y=f(x)所围成的曲边梯形的面积A可以近似表示为曲边梯形的面积为第四讲不定积分、定积分及其应用2.变速直线运动的路程分析：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．第四讲不定积分、定积分及其应用例1求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积解：将区间[0,1]分成n等份：第四讲不定积分、定积分及其应用上面我们是以区间左端点的函数值作为小曲边梯形的高，如果以区间右端点的函数值作为高也能得到一样的结果：第四讲不定积分、定积分及其应用二、定积分的定义上面两个例子都有下面的四个过程：分割近似代替求和取极限化整为零以直代曲积零为整刨光磨平第四讲不定积分、定积分及其应用定义记为第四讲不定积分、定积分及其应用积分上限积分下限被积函数积分变量被积表达式注：第四讲不定积分、定积分及其应用存在定理定理1定理2三、定积分的几何意义第四讲不定积分、定积分及其应用例1解：例2解：第四讲不定积分、定积分及其应用四、定积分的性质对定积分的补充规定:性质1证（此性质可以推广到有限多个函数作和或差的情况）第四讲不定积分、定积分及其应用性质2证性质3第四讲不定积分、定积分及其应用补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若则注：1.定积分对于积分区间具有可加性2.该性质多用于分段函数求定积分，由于在不同的区间上函数解析式不一样，所以要把定积分分成若干个区间去求第四讲不定积分、定积分及其应用性质4证第四讲不定积分、定积分及其应用性质4的推论：（1）证第四讲不定积分、定积分及其应用（2）证第四讲不定积分、定积分及其应用性质5证注：该性质又称为定积分的估值定理，可以用于估计积分值的大致范围，也可用于证明一些积分不等式第四讲不定积分、定积分及其应用例3证明：第四讲不定积分、定积分及其应用性质6（定积分中值定理）证由闭区间上连续函数的介值定理知使即第四讲不定积分、定积分及其应用积分中值公式的几何解释：第四讲不定积分、定积分及其应用补充：介值定理MBCAmab零点定理可以看成是介值定理的推论！第四讲不定积分、定积分及其应用§2变上限积分的概念与定理一、变上限定积分的定义考察定积分记积分上限函数第四讲不定积分、定积分及其应用二、变上限定积分的导数（性质）证明：在这里我们用导数的定义证明第四讲不定积分、定积分及其应用由积分中值定理得上述定理又称为原函数存在定理，即变上限积分是函数

f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，这也说明了连续函数一定有原函数！一个函数的原函数有无穷多个，任何两个之间相差一个常数上式是型的，我们可以先用一次罗比塔法则第四讲不定积分、定积分及其应用定理推广例1解：第四讲不定积分、定积分及其应用§3牛顿-莱布尼茨公式定理（微积分基本公式）证令令第四讲不定积分、定积分及其应用微积分基本公式表明：因此，求定积分问题转化为求原函数的问题.由此也引出了另一个非常重要的概念----不定积分例2解：第四讲不定积分、定积分及其应用§4不定积分及其计算方法注：定积分是一个具体的实数，而不定积分是一组函数（即函数的全体原函数，也称为原函数族）在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分，记为.II任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量一、不定积分的概念第四讲不定积分、定积分及其应用二、不定积分的性质3.微分运算与求不定积分的运算是互逆运算，但要注意最终结果的不同形式！①先求导再求不定积分②先求不定积分再求导③先求微分再求不定积分④先求不定积分再求微分第四讲不定积分、定积分及其应用三、不定积分基本公式表积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.是常数);第四讲不定积分、定积分及其应用不定积分公式记得越多对我们解题的帮助就越大，可以省去很多繁琐的过程，以后我们还会陆续补充一些公式。待续第四讲不定积分、定积分及其应用例1求解：例2求解：例3解：求第四讲不定积分、定积分及其应用例4求解第四讲不定积分、定积分及其应用例5求解例6求解第四讲不定积分、定积分及其应用四、换元积分法1.第一类换元积分法（凑微分法）定理注：①凑微分法的关键是把化成凑②公式可以就是我们的不定积分基本公示表，也可以是平时常见的一些不定积分结果，都可以当成公式来用，总之，记的公式越多，那么“凑”的机会就越多！③当熟练地掌握了这种换元法后，可以不写出中间变量记号（即不引入新的变量记号）。这样可以省去还原这一步。第四讲不定积分、定积分及其应用例7求解：例8求解：第四讲不定积分、定积分及其应用熟练凑微分法之后，可以直接先“凑”出想要的微分，然后再补上一些“系数”保持是恒等变形，省去一些繁琐的过程。例7例8例9求解：原式＝求例10解：原式=第四讲不定积分、定积分及其应用求例11解：原式=求例12解：原式=注:(14),(15)严格的来说不能算是什么公式，但是在我们解不定积分的题目里发现经常会遇到这类题目，所以不如将它们当成公式来记忆，不仅节省了时间，也保证了正确率，又如：第四讲不定积分、定积分及其应用2.第二类换元积分法（变量代换法）注：上述定理看似很难懂，其实想要说明的问题很简单，就是通过变量代换的方法，把被积函数中的自变量用其它的变量（比如）来代换，使得原被积函数的表达式发生适当的变化，从而变得易于求解不定积分。具体用何种形式的来代换自变量，一般来说先把中的某一部分或者整体用来代换，然后再解出即可，需要注意的是，经过变量代换解出不定积分后，不要忘了回代！第四讲不定积分、定积分及其应用①根式代换法（根号下为一次式）当被积函数中含有形如的式子时，一般是令

当含有若干个形如时，则令根

指数最大的那个式子等于例13解：回代第四讲不定积分、定积分及其应用例14解：第四讲不定积分、定积分及其应用例15解：第四讲不定积分、定积分及其应用解：例16第四讲不定积分、定积分及其应用②三角代换法（根号下为二次式）当被积函数中含有形如、、可以分别做以下代换：注：右边的三角形可以帮助我们在回代的时候很方便的求出其他的三角函数值；并不是所有的含有上述形式的不定积分都必须用三角代换的，有的不定积分用普通的方法就可以求出，要加以注意。第四讲不定积分、定积分及其应用例17解：第四讲不定积分、定积分及其应用例18解：第四讲不定积分、定积分及其应用前面说了并不是所有的形如上面的根式都必须用三角代换，像上面的例18也可以用凑微分的方法来求解，具体如下：第四讲不定积分、定积分及其应用五、不定积分的分部积分法设函数和具有连续导数，两边同时求不定积分，得也可以写成分部积分公式注：分部积分法同样是改变被积函数的形式，已到达方便求解的目的，这里是把被积函数改变为；但是如果选择不当，反而会使得问题变得更加复杂！第四讲不定积分、定积分及其应用一般地，选择的原则是：2，不定积分比原不定积分容易求出。当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，我们可以按照“反、对、幂、指、三”（即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）的顺序，选择排列次序在前的函数作为u，而将排在后的另一个函数选作v′。例19解把lnx看作u，dx看作dv，用公式得第四讲不定积分、定积分及其应用解

求例20注：我们会经常遇到连续两次或两次以上使用分部积分法的题目。例21求解令则于是注：从本题看出，在求解不定积分的时候，每一种方法都不是单独使用的，更多的时候是联用。第四讲不定积分、定积分及其应用六、不定积分公式补充第四讲不定积分、定积分及其应用*下面六个反三角函数的不定积分不要求记忆，但要知道如果求解（分部积分法）第四讲不定积分、定积分及其应用*下面九个公式要求记忆，在解题的时候会大大减少计算量

它们分别是由三个二次式变化而来的，看似繁琐，仔细观察还是有规律的！第四讲不定积分、定积分及其应用第四讲不定积分、定积分及其应用第四讲不定积分、定积分及其应用第四讲不定积分、定积分及其应用第四讲不定积分、定积分及其应用这题的解法有些独特，在求解的过程中循环出现了被求解的不定积分，用此方法还可以求解形如的题目第四讲不定积分、定积分及其应用第四讲不定积分、定积分及其应用第四讲不定积分、定积分及其应用§5定积分的计算方法、广义积分、定积分应用一、定积分的计算方法由牛顿-莱布尼茨公式可知，求定积分的问题关键在于求其对应的不定积分，这点我们已经做了大量的准备工作了，这里以例题为主，在具体求解定积分的过程中我们还需要注意以下几点：1.利用换元法时，积分上下限也要作相应的变化，且要严格按照原来的次序，即上限对上限，下限对下限；由于已经改变了积分上下限，所以最后一步不需要再“回代”了。2.利用分部积分法时计算量大，要细心，尤其是多次分部的情况3.能够利用特殊方法化简定积分计算的要尽量使用，如利用奇偶性、周期性、递推公式等等。第四讲不定积分、定积分及其应用例1解：原式=例2设,求

解：注：当所求定积分的被积函数是一个分段函数或者含有绝对值时，一般都需要分成不同的区间来求解定积分。第四讲不定积分、定积分及其应用例3解：第四讲不定积分、定积分及其应用例4解：原式=例5证明：第四讲不定积分、定积分及其应用定积分与积分符号无关此题结论给了我们一种简化定积分运算的方法第四讲不定积分、定积分及其应用例6解：原式=例7解：原式=递推公式第四讲不定积分、定积分及其应用二、广义积分1.无穷区间的广义积分第四讲不定积分、定积分及其应用第四讲不定积分、定积分及其应用第四讲不定积分、定积分及其应用例1计算广义积分解：第四讲不定积分、定积分及其应用例2计算广义积分解第四讲不定积分、定积分及其应用证第四讲不定积分、定积分及其应用2.无界函数的广义积分第四讲不定积分、定积分及其应用第四讲不定积分、定积分及其应用定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.第四讲不定积分、定积分及其应用例4

计算广义积分

解

例5

计算广义积分

解

第四讲不定积分、定积分及其应用例6计算积分解

例7计算积分

解

1是瑕点0是瑕点极限不存在，所以原广义积分发散注：广义积分是定积分的推广，其本质就是求定积分的极限，如果是计算题一定要有严格的极限形式的求解过程。第四讲不定积分、定积分及其应用三、定积分的应用这部分知识是利用“微元法”的思想求解平面图形的面积、旋转体体积及平面曲线的弧长，所微元法就是我们在介绍定积分的概念时用到的“分割、近似、求和、取极限”的思想。1.平面图形的面积①直角坐标情形a0xybAbocdexyoaA第四讲不定积分、定积分及其应用yxoabx—区域Axyocdy—区域A注：如果平面区域既不是x—型区域，也不是y—型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x—型区域与y—型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总的面积等于各区域面积之和。第四讲不定积分、定积分及其应用②参数方程情形如果曲边梯形的曲边为参数方程由于一般情形下的曲边梯形面积为③极坐标情形oxAoxA第四讲不定积分、定积分及其应用2.旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．第四讲不定积分、定积分及其应用3.平面曲线的弧长①直角坐标情形

设曲线弧由直角坐标方程