第三章 平稳随机过程

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平稳随机过程23.1平稳随机过程3.2平稳随机过程的各态历经性3.3平稳随机过程的相关函数第三章平稳随机过程3.4高斯平稳随机过程33.1平稳随机过程3.2平稳随机过程的各态历经性3.3平稳随机过程的相关函数第三章平稳随机过程3.4高斯平稳随机过程4随机幅度的正弦信号随机频率的正弦信号幅度、相位和频率都是随机的随机相位的正弦信号3.1平稳随机过程3.1平稳随机过程Exercise3.1此项为常数此项为零3.1平稳随机过程Exercise3.17Exercise3.13.1平稳随机过程8在任何时刻计算严平稳过程的统计结果都是相同的严平稳过程的n维概率密度不随时间平移而变化，或者说与时间起点无关。3.1平稳随机过程Definition3.1(Strict-senseStationaryStochastic

Process)9Definition3.2(JointStrict-senseStationaryStochastic

Process)3.1平稳随机过程10严平稳过程具有以下性质1、严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间无关严平稳过程的数学期望和方差与时间无关3.1平稳随机过程2、严平稳过程X(t)的二维概率密度只与两个时 刻t1和t2的间隔有关，与时间起点无关。严平稳过程X(t)的自相关函数和协方差函数都只是时间间隔的函数。3.1平稳随机过程严平稳过程具有以下性质一维概率密度与时间有关，故不是严平稳过程。3.1平稳随机过程Exercise3.2一个严平稳过程只要它的均方值有限，则它必定是广义平稳的。但是，反之则不一定成立。广义平稳的高斯过程必定也是严平稳的，即对于高斯过程来说，严平稳与宽平稳是等价的。Definition3.3(Wide-senseStationaryStochastic

Process)3.1平稳随机过程随机幅度的正弦信号随机频率的正弦信号幅度、相位和频率都是随机的随机相位的正弦信号3.1平稳随机过程Exercise3.33.1平稳随机过程Exercise3.3随机相位的正弦信号3.1平稳随机过程Exercise3.3随机幅度的正弦信号3.1平稳随机过程Exercise3.3随机频率的正弦信号3.1平稳随机过程Exercise3.3幅度、相位和频率都是随机的3.1平稳随机过程Exercise3.3幅度、相位和频率都是随机的3.1平稳随机过程Exercise3.3幅度、相位和频率都是随机的3.1平稳随机过程Exercise3.43.1平稳随机过程Exercise3.53.1平稳随机过程Exercise3.53.1平稳随机过程Exercise3.5253.1平稳随机过程Exercise3.63.1平稳随机过程Exercise3.7273.1平稳随机过程Exercise3.8283.1平稳随机过程Exercise3.83.1平稳随机过程Exercise3.93.1平稳随机过程Exercise3.93.1平稳随机过程Exercise3.9323.1平稳随机过程-联合平稳Definition3.4(JointWide-senseStationaryStochastic

Process)3.1平稳随机过程Exercise3.103.1平稳随机过程Exercise3.10353.1平稳随机过程3.2平稳随机过程的各态历经性3.3平稳随机过程的相关函数第三章平稳随机过程3.4高斯平稳随机过程36两个平稳过程的典型例子（相同的均值与方差）3.2平稳随机过程的各态历经性各态历经性373.2平稳随机过程的各态历经性各态历经性问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。如何根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数呢？用统计实验方法，均值和自相关函数近似地为：按照数学期望和自相关函数的定义，需要时一个平稳过程重复进行大量观察，获得一族样本函数各态历经性3.2平稳随机过程的各态历经性平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，根据这一特点，能否通过在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线来估计平稳过程的数字特征呢？本节给出的各态历经定理证实，只要满足某些条件，那么均值和自相关函数实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替。各态历经性3.2平稳随机过程的各态历经性各态历经过程非各态历经过程随机过程的各个样本函数都同样地经历了随机过程的各种可能状态，因此从随机过程的任何一个样本函数就能得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都能充分地代表整个随机过程的特性。各态历经性3.2平稳随机过程的各态历经性Definition3.5(Ergodic

Stochastic

Process)3.2平稳随机过程的各态历经性Definition3.5(Ergodic

Stochastic

Process)3.2平稳随机过程的各态历经性43Exercise3.113.2平稳随机过程的各态历经性Exercise3.113.2平稳随机过程的各态历经性45Exercise3.113.2平稳随机过程的各态历经性Exercise3.123.2平稳随机过程的各态历经性Exercise3.133.2平稳随机过程的各态历经性48Exercise3.133.2平稳随机过程的各态历经性49Exercise3.143.2平稳随机过程的各态历经性Exercise3.143.2平稳随机过程的各态历经性51Exercise3.143.2平稳随机过程的各态历经性52Exercise3.153.2平稳随机过程的各态历经性续Theorem3.1(均值遍历)3.2平稳随机过程的各态历经性Theorem3.1(均值遍历)3.2平稳随机过程的各态历经性证毕！Theorem3.1(均值遍历)3.2平稳随机过程的各态历经性56Corollary3.1(均值遍历)3.2平稳随机过程的各态历经性Theorem3.2(自相关遍历)3.2平稳随机过程的各态历经性各态历经性3.2平稳随机过程的各态历经性各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证：一个平稳过程X(t)，若0<t<+∞，只要它满足各态历经性条件，便可以根据“以概率1成立”的含义，从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定该过程的均值和自相关函数。各态历经性3.2平稳随机过程的各态历经性603.1平稳随机过程3.2平稳随机过程的各态历经性3.3平稳随机过程的相关函数第三章平稳随机过程3.4高斯平稳随机过程61

见下页3.3平稳随机过程的相关函数Proposition3.1

(Autocorrelation

FunctionofSSP)自相关函数的非负定性是平稳过程最本质的特性，因为任一连续函数，只要具有非负定型，那么该函数必是某平稳过程的自相关函数3.3平稳随机过程的相关函数Proposition3.1

(Autocorrelation

FunctionofSSP)633.3平稳随机过程的相关函数Definition3.6(PeroidicStationaryStochastic

Process)Theorem3.3(周期平稳)643.3平稳随机过程的相关函数653.3平稳随机过程的相关函数66

应用：3.3平稳随机过程的相关函数673.3平稳随机过程的相关函数Exercise3.16683.1平稳随机过程3.2平稳随机过程的各态历经性3.3平稳随机过程的相关函数第三章平稳随机过程3.4高斯平稳随机过程69一维高斯（正态）分布：

3.4高斯平稳随机过程70高斯分布的统计特性均值：

方差：

高斯分布的特点：全部统计特性由其均值和方差确定。（注意上图中均值和方差的涵义）

3.4高斯平稳随机过程71

高斯随机过程：随机过程的任意n维概率密度具有如下的正态分布特性的随机过程称之。

3.4高斯平稳随机过程72

高斯随机过程（续）：参数的涵义：

3.4高斯平稳随机过程73

高斯随机过程（续）：高斯随机过程的特点：其统计特性完全由其一维、二维统计值：完全确定。

3.4高斯平稳随机过程74

高斯随机过程的性质：（1）宽平稳与严平稳等价。对于宽平稳过程，其一阶、二阶的统计值满足：

对高斯过程，其统计特性完全由其一阶、二阶统计值确定，所以宽平稳的高斯随机过程与严平稳的高斯过程等价。3.4高斯平稳随机过程75

高斯随机过程的性质：（2）不相关与独立等价。若随机变量两两不相关

注：只涉及其二维统计特性。则有：3.4高斯平稳随机过程76

高斯随机过程的性质：（2）不相关与独立等价（续）。则有：3.4高斯平稳随机过程77

通信系统分析中常用的几个特殊函数（1）概率积分函数3.4高斯平稳随机过程78

通信系统分析中常用的几个特殊函数（续）（2）误差函数（3）互补误差函数（4）Q函数

Q函数是一单调降函数3.4高斯平稳随机过程79

特殊函数函数之间的关系（1）（2）（3）3.4高斯平稳随机过程80

高斯白噪声n(t)：幅度取值服从均值为0的高斯分布、功率谱密度满足：

的一种（理想）的随机过程。高斯白噪声的相关函数：高斯白噪声表达形式简单、与通信系统中的信号、热噪声等许多干扰有相似的性质，故常用作典型信号和噪声模型。

3.4高斯平稳随机过程81

高斯白噪声的重要性质（1）若为确定函数，则是