2020年高考数学北京卷

2020年普通高等学校生全国统一考试（北京卷）数学答案解析一、选择题1.【答案】D【解析】AB{故选D.【考点】集合交集概念【考查能力】分析求解2.【答案】【解析】由题意得z2i，∴i.故选：.【考点】复数几何意义，复数乘法法则【考查能力】基本分析求解3.【答案】【解析】

x展式的通项公式为：Tr

r

r

，令

52

可得：r，x

的系数为：

故选：.【考点】二项式定理的核心是通项公式4.【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为的边三角形，侧面为三个边长为2的方，则其表面积为：S260故选：.5.【答案】A

.【解析】设圆心C

，化简得

所以圆心C的轨迹是以M1为径的圆，1/

所以|OC|OM3

，以|OC|≥，当且仅当C线段OM上时取得等号，故选：.【考点】圆的标准方程6.【答案】D【解析】因为f

，以f

＞，在同一直角坐标系中作出

和的图象如图：两函数图象的交点坐标为不等式2x解为0或.所以不等式故选：.【考点】图象法解不等式7.【答案】【解析】如图所示：．2/

k因为线段FQ的直平分线上的点到，的距离等又点在物线上根据定义可知，PQ，所以线段FQ的直平分线经过点P.k故选：.【考点】抛物线的定义的应用8.【答案】【解析】由题意可知，等差数列的公差d

a，5则其通项公式为：注意到a＜＜0＜12467且由T＜可知＜5i

，由ii

1N项，in由于，a，，aa1故数列有有限项：63，63.24故数列项，且最大项为.故选：.【考点】等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想9.【答案】【解析）当存在Z使

πk

时，若为数，则sin

；若为数，则

sin

sin

π

sin

；（）当sinsin时，或π，Z，即ππ亦即存在使

．所以，“存在kΖ使得

k

”是“的充要条件故选：.3/

则πnsin【考点】充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用10.【案A则πnsin【解析】单位圆内接正n边的每条边所对应的圆周角为

36030，条边长2sin，n所以，单位圆的内接正n边的周长为12nsin

30

，单位圆的外切正边的每条边长为

，其周长为，2

30nsintan，n3030n故选：.

.【考点】圆周率

的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正n边形和外切正6n边的周长【考查能力】计算二、填空题.【答案】(0,【解析】由题意得，xx故答案为：【考点】函数定义域【考查能力】基本分析求解12.【案】3【解析】在双曲线中a6

，

，则a则双曲线C右焦点坐标为双曲线C的近线方程为y

22

，，.所以，双曲线C的点到其渐近线的距离为故答案为：

12

3

.【考点】根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离4/

【考查能力】计算13.【案】5【解析】以点A坐标原点，、AD所直线分别为、轴立如下图所示的平面直角坐标系，则点AP

1AB2,02,22,1，2则点

，PB

，因此，PD

5，PB

故答案为：5

；【考点】平面向量的模，数量积的计算，平面直角坐标系【考查能力】计算ππ14.【案】（kkZ均可）【解析】因为f

2

所以2

，解得，可取

.ππ故答案为：（kZ均）2【考点】两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，平方关系的应用【考查能力】数学运算15.【案】①②③【解析】

f((a)

表示区间端点连线斜率的负数，在

内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能比5/

乙企业强；①正确；甲企业在2

间中，甲企业在

内，甲的斜率最小，相反数最大，即在

理能力最强．④错误；在时刻甲线的斜率比乙的小所以甲线的斜率的相反数比乙的大甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③确；3故答案为：①②③【考点】斜率应用，切线斜率应用，函数图象应用【考查能力】基本分析识别能力三、解答题16.【案）证明见解析（Ⅱ）

23

.【解析）下图所示：在正方体中AB∥B且B，ACD且AB，111111111111∴∥C且D，以，四边形为行四边形，则BCAD，11111111∵BC平ADE，AD平面ADE，∴平E111（Ⅱ以为标原点，AD、、AA所直线分别为x、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系1xyz，6/

11设正方体的长为则1111

，AE设平面AD的向量为1

,

，由

n，n

22

，令z，则cos1

1AA1

.因此，直线AA与平面ADE所角的正弦值为11

.【考点】线面平行的证明，利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值【考查能力】计算17.【案】选择条件①（Ⅰ（Ⅱ）

32

,

S

；选择条件②（Ⅰ（Ⅱ）sin

7,S.44【解析】选择条件①（Ⅰ∵c，cosA，∵22，∴∴a（Ⅱ），)

，sinA

A

437由正弦定理得：

csinAsinC

，

843C

，sinC

32711S113222选择条件②（ⅠcosA，cos16

，A，7/

32sin32

2

A

3757，B1B816由正弦定理得：

ab11，∴AsinB7816

，（Ⅱ）sinCcosBsincosA17SbaC1124【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式【考查能力】基本分析求解

379781618.【案）该校男生支持案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为

（Ⅱ）

（Ⅲ）p＜1

01【解析）校男生支持方案一的概率为，3该校女生支持方案一的概率为

3；（Ⅱ3人恰有2人持方案分两种情况仅两个男生支持方案一仅有一个男生持方案一，一个女生支持方案一，所以3人恰有2人持方案一概率为：（Ⅲ）＜p10

2

1；44【考点】利用频率估计概率，独立事件概率乘法公式【考查能力】基本分析求解19.【案）2（Ⅱ）【解析）为以f设切点为

x,12，，以切点为000由点斜式可得切线方程为：y（Ⅱ）显然t因为yf：y

，8/

t1212t1212，令，得，，得x所以S2t|

t

2

t

，不妨设t0（t＜时，结果一样）时，则S

t

t1t3tt4

t

，所以S

t4

144t

3t2

3t2

3t2

，由S，所以所以时S

取得极小值，也是最小值为S

8

32.【考点】利用导数的几何意义求切线方程，利用导数求函数的最值20.【案）（Ⅱ）

2【解析）设椭圆方程为：

2ya＞＞0，由题意可得：b2

b2

，解得：，b22故椭圆方程为：.2（）My1

，直线的方程为：与椭圆方程

联可得：x2k2即：则：12

k2k，xx4k29/

y11PQ122132*直线MA的程为：yy11PQ122132*xyk令x可得：xxx1111

，同理可得：yQ

2x2

.PBy，注意到：很明显yy且：PPQyxyk2x1212而：2212

，

6424k

k2

2

4k2

2

2

，故，y.PQQPB从而PPQy

.【考点】解决直线与椭圆的综合问题a921.【案）∵Z，不有性质①；a2（Ⅱ）j，i＞

a，ia

2j

a，ijN*，∴ia

2j

2i

，①∵N

*

，

a2，l，al

(2k)

，②n（Ⅲ法】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然*中存在负项，设Na第一种情况：若，＜＜a＜a＜＜0013

，10/

mm210Nka2mm210Nk由①可知：存在，满足a2＜，在m，满足a3aa

0，a22由N可知2aa1

，从而a，与数列的单调性矛盾，假设不成.2第二种情况：若≥2，①知存在实数m，足a0

aa1

0

，由N的义可知：m≥N，00另一方面，

aNa

＞

aa

NN

，数列的单调性可知：＞N，N这与N的定义矛盾，假设不成立0同理可证得数列中的项数恒为负.综上可得，数列中的项数同号a2：其次，证明a2aa2利用性质②：取，时aal由数列的单调性可知＞，l

，而a

l

＞，故k3a2此时必有，l，即2a

，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列

k列不妨设aqs

s

其中a，＜0，＜q的况类似）1由①可得：存在整数m，足am

akak

q

k

＞a，且qkm

k

≥k

（）a2a由②得：存在＞t，足：asatt

＞，数列的单调性可知：t＜≤k

，由qs

s

k

a2at

q

sq（）k11/13

mk由（）和（）式可得：aqmk

k

≥q

saqk结合数列的单调性有：2k，注意到，t

，k均整数，故k，代入（），从而k

q

k

.总上可得，数列

的通项公式为：

n.即数列

为等比数列【解法二】假设数列中的项数均为正数：a2首先利用性质②：取，此时akal由数列的单调性可知a＞0，l

，而a

kl

＞ak

，故k3，a2此时必有，l，即a2a

，即a，a，成等比数列，不妨设aq，21213aaq4然后利用性质①：取i，j，a3aq1

q

，即数列中必然存在一项的值为a

，下面我们来证明aq1

，否则，由数列的单调性可知aq3

，aa在性质②中，取n则aall

＞a，而＜，k与前面类似的可知则存在

a2，满足k，ala2若l，：al

q

，与假设矛盾；a2若l，：a