流体力学-08绕流运动

第八章绕流运动§8-1无旋流动§8-2平面无旋流动§8-3几种简单的平面无旋流动§8-4势流叠加§8-6绕流运动与附面层基本概念§8-10曲面附面层的分离现象与卡门涡街2/5/2023§8-1无旋流动如果流体流动时所有流体微团仅作平移和变形运动，没有旋转运动，即，则称该流动为无旋流动（势流）。2/5/2023因此，无旋运动无旋流动的前提条件是：（8—1）式（8—1）是为某一势函数的全微分的充分必需条件，其中t为参变量，必有又因说明无旋必有势故（8—3）（8—2）2/5/2023圆柱坐标系（8—4）球坐标系（8—5）2/5/2023证

流速势函数的性质：

（8—8）1、对于任意方向的方向导数等于该方向的分速，即2/5/2023流速势函数等于常数的曲面积为等势面。在其面上位于等势面上的线称为等势线。所以式中—速度向量；—等势面上微元弧向量。2、等势线与流线正交定义：说明：速度u与ds正交。等势线既是过流断面线。一族流线与等势线构成相互正交的流网。2/5/20233、流速势函数沿流线s方向增大。

从而得由性质1得沿流线方向的速度为沿流线方向速度，所以，即说明值增大的方向与s方向相同。2/5/20234、流速势函数是调和函数

代入不可压缩流体的连续方程中得从而得或者（8—9）（8—10)上式说明流速势函数满足拉普拉斯方程式，在数学上称满足拉普拉斯方程式的函数为调和函数，所以流速势函数是调和函数。平面势流中2/5/2023§8-2平面无旋流动一、平面无旋流动的势函数在不可压缩流体平面流动中，旋转角速度只可能有ωz的分量，如果ωz为零，即：则为平面无旋流动。平面无旋流动的速度势函数为：在流场中，某一方向(取作z轴方向)流速为零，uz＝0，而另两方向的流速ux、uy与上述轴向坐标z无关的流动，称为平面流动。2/5/2023例如工业液槽的边侧吸气，沿长形液槽两边，设置狭缝吸风口。气流由吸风口a吸出，在液槽上方造成x—y平面上的速度场。沿长度方向，即垂直于纸面方向，流速为零。而且沿此方向取任一x—y平面，它的速度场完全一致，这就是平面流动的具体例子(图8—2)。2/5/2023并满足拉普拉斯方程：不可压缩流体平面流动的速度ux，uy可以用下式表示：一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动或是无旋流动都存在流函数，但是，只有无旋流动才存在势函数。所以。对于平面流动问题，流函数具有更普遍的性质，它是研究平面流动的一个重要工具。下面我们具体讨论下流函数。直角坐标：极坐标：2/5/2023二、平面无旋流动的流函数（8—11）即它是使成为某一函数的全微分的充要条件，则有故（8—12）对于不可压缩流体的平面流动，其连续方程式为2/5/2023就称为不可压缩流体平面流动的流函数。类似地可证，在极坐标中（8—13）因为流函数存在的条件是要求流动满足不可压缩流体的连续方程式，而连续方程式是任何流动都必须满足的，所以说任何平面流动中一定存在着一个流函数。2/5/2023三、流函数的基本性质因为即为流线方程。1、等流函数线为流线2/5/20232、在平面无旋流动中流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。证：平面无旋流动需满足则因为代入上式，平面无旋流动的流函数和流速势函数之间的关系式为：2/5/2023在数学分析中，这个关系式称为柯西—黎曼条件，满足这个条件的两个调和函数称共轭调和函数，已知其中一个函数就可以求出另一个函数。2/5/2023证：考察通过任意一条曲线AB（z方向为单位长度）的流量。（图8—2）对于通过微元矢量的流量则通过AB两点的任意连线AB的流量（8—14）3、两条流线间通过的流量等于两条流线的流函数之差。图8—2流函数与流量的关系2/5/20234、等流函数线（流线）与等势线正交说明流函数的梯度与速度势的梯度（即速度）正交，故分别与它们垂直的等流函数线（即流线）与等势线正交。这是因为5、流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例。由于等流函数值线（即流线）和等势函数值线（简称等势线）相互垂直，我们可以把流线和等势线绘入同一流场中，得出相应的一系列等势线。这两簇曲线构成正交曲线网格，称之为流网。2/5/2023四、流场中流网的绘制流场中的流网．可以利用流线和等势线相互正交，形成曲线正方网格的特性，直接在流场中徒手绘出。具体绘法是用一张绘图纸，先绘出流场。根据流动的大致方向，试绘一系列流线以及垂直于流线的等势线，形成正交网格。初绘之后，检查不符合流网的特性的地方，用橡皮擦去，重新修改，逐渐形成互相垂直的正方形网格。最后绘成基本上符合流网特性的两簇曲线〔图8-5)。绘制时，抓住边界条件是重要的。一般说来，固体边界都是边界流线；过水断面或势能相等的线，都是边界等势线。对于给定流场，绘出边界等势线和边界流线，就确定了流网的范围。2/5/2023§8-3几种简单的平面无旋流动一、均匀直线流

设液体作平行直线等速流动，流场中各点速度的大小和方向均相同，即均为定值。而流函数为由于于是，速度势为又（8—17）（8—17）2/5/2023图8—3平行等速流变为极坐标方程为：速度势与流函数在直角坐标上表示如下图：2/5/2023流体从某一点径向流出称为源，如图8—4（a）所示。流体从某一点径向流入称为汇，如图8—4（b）所示。设半径r方向水层的厚度为1，源（汇）的流量为Q，则由此（a）（b）图8—4源与汇二、源流和汇流定义：2/5/2023由于源汇只有径向流动，所以圆周方向的速度分量。在极坐标中，由式（8—7）积分得（8—18）据流函数得：积分得式中分别是关于的积分常数，根据上面两个应该相等，得2/5/2023式中分别是关于的积分常数，由两个应该相等，得（8—19）故假定流出流量为正，则源流取“”号，汇流取“-”号。源汇流的等势线为一组同心圆。2/5/2023现在我们来研究流体的圆周运动，即只有圆周方向速度，而径向速度。如图8—5所示，并且定义速度在圆周切线上的线积分为速度环量（环流强度），即三、环流所以由式（8—6）（8—20）积分得2/5/2023由此得积分得（8—21）等势线是一族射线。图8—4（a）环流应当注意，环流是圆周流动，但却不是有旋流动。因为，除了原点这个特殊的奇点之外，各流体质点均无旋转角速度。2/5/2023四、直角内的流动假设无旋流动的速度势为：则流函数全微分为2/5/2023§8-4势流的叠加由于势流的速度满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是线性的，故几个势流的速度势叠加后仍满足拉普拉斯方程。设有两个势流，其速度势分别为，则（8—24）此时，两个速度势之和将代表一个新的不可压缩流体平面势流，其速度势（8—25）2/5/2023因为（8—26）即速度势叠加结果，代表一新的复合流动，其速度分量（8—27）同理可证明，新的复合流动的流函数（8—28）2/5/2023叠加两个或多个势流组成一新的复合势流，只需将各原始势流的速度势或流函数简单地相加，其速度将是各原始势流速度的矢量和。势流的叠加原理：2/5/2023一、均匀直线流中的源流将源流和水平匀速直线流相加，坐标原点选在源点，则流函数：由此可以用极坐标画出流速场，如图8-12。这是绕某特殊形状物体前部的流动。在源点0，流速极大。离开源点．流速迅速降低。离源点较远之处，流速几乎不受影响，保持匀速v0。但在离源点前其一距离xs，必然存在着某一点s，匀速流速和源流在该点所造成的速度，大小相等，方向相反，使该点流速为零，这一点称为驻点。它的位置xs可以根据势流叠加原理来确定：2/5/2023二、匀速直线流中的等强源汇流在匀速直线流中，沿x轴叠加一对强度相等的源和汇，这样的叠加势流，可以用以描述下图所示的绕朗金椭圆的流动。匀速直线流中的等强源汇流的流函数为：驻点在物体的前后，它流速为零的条件为：得出：2/5/2023若将位于点，强度为Q的源与位于B点等强度的汇叠加（图8—5）令分别为源与汇的速度势和流函数，则叠加后某点的速度势（8—22）流函数（8—23）三、偶极流绕柱体的流动图8—5源与汇2/5/2023源流和环流相加，使流体既作旋转运动，又作径向流动，称为源环流。这种流动的流函数：四、源环流零流线方程，ψ＝0。得出：表明流线是对数螺旋线簇，如图8-16。这种在半径为r1的内圆周到半径为r2的外圆周的流动，对工程上有重要意义。从内向外流速不断减少，则压强不断增大。径向流速和辐向流速为：2/5/2023本章主要研究平板上的边界层，因为流线体绕流与平板绕流相接近。粘性流体运动时的解析近似解至今在两种情况下才能获得，一种是时，可忽略惯性力，使基本方程线性化，这就是所谓蠕流理论；另一种是时，求解物体绕流阻力的边界层理论，它对流体的粘性仅局限于边界内考虑，而边界层之外的广大主流区，可当作理想流体的势流。§8-6

绕流运动与附面层基本概念

2/5/2023

粘性流体与理想流体的根本区别：粘性流体具有粘滞性。当粘性流体在静止固定边界上流动时，流体在固定边界上的速度为零，随与固体边界距离的增大，固体边界或粘性对流动的影响逐渐减小，流速逐渐增大，最后接近来流流速。

当来流的雷诺数较高时，具有速度变化的范围只限于靠近固体边界的极薄的一层内，此薄层称为边界层。流速由0增加到0.99处流体的厚度称为边界层的厚度。

定义：边界层的基本概念2/5/2023飞机和舰船的摩擦阻力确定；溢流坝面理论流速系数值的确定；陡槽中高速水流掺气点的确定；水流阻力与水头损失的确定。1、边界层的厚度与物体的特征长度相比是非常小的，，即边界层极薄。因为随着平板长度的增加，摩擦损失亦增加，流体内部的能量减少，流速亦减少，为了满足连续条件，边界层的厚度增大。

边界层理论在实际工程中的应用：

边界层的特点：

2、边界层的厚度δ在平板上沿流动方向增加。2/5/2023

3、边界层中也存在着层流区、过渡区和紊流区，过渡区和紊流区下面也存在一个层流底层。如图8—18所示。层流边界层过渡区紊流边界层层流底层图8—18边界层结构2/5/2023随着边界层厚度的增加，粘性对边界层内流体的约束作用减小，而惯性作用增大。当粘性作用控制不住水质点的运动时，就和流体在圆管中流动一样，由层流转变成紊流，此现象称为边界层转捩，并且在过渡区和紊流区下面存在一层流底层。假设主流中流速为，到平板前端的距离为xk

，这时的雷诺数为（8—20）一般取转捩点的雷诺数为（8—21）2/5/2023