自动控制系统课件PPT第5章 频率法

5章频率法2010.11.1415.频率法5.1频域特性的概念5.2典型环节频率特性的绘制5.3系统开环频率特性的绘制5.4奈奎斯特稳定判据5.5控制系统的相对稳定性2010.11.1425.1频域特性的概念5.2典型环节频率特性的绘制5.3系统开环频率特性的绘制5.4奈奎斯特稳定判据5.5控制系统的相对稳定性5.频率法2010.11.1435.1频域特性的概念

频率响应法的特点频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的一种工程方法。系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进方向。频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系统来说，很有用处。5.频率法2010.11.144傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加

5.频率法伟大的傅立叶原理2010.11.1455.频率法输入信号的拉氏变换P273/P389线性定常系统的传递函数为输入信号为2010.11.1465.频率法系统的传递函数通常可以写成

由此得到输出信号的拉氏变换2010.11.1475.频率法

系统的输出为P74

(5-1)对稳定系统,s1,s2,….sn都具有负实部，当时间t趋于无穷大时，上式的暂态分量将衰减至零。因此系统的稳态响应为

(5-2)

其中待定系数b和可按下式计算(5-3)(5-4)2010.11.1485.频率法

G(jω)用模和幅角可表示为(5-5)

(5-6)

2010.11.1495.频率法(5-8)或(5-9)式中为稳态输出信号的幅值。欧拉公式：2010.11.14105.频率法

上式表明，线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应仍然是与正弦输入信号同频率的正弦信号；输出信号的振幅是输入信号振幅的倍；输出信号相对输入信号的相移为；输出信号的振幅及相移都是角频率的函数。(5-10)称为系统的频率特性，它反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。2010.11.14115.频率法其中(5-11)

称为系统的幅频特性，它反映系统在不同频率正弦信号作用下，输出稳态幅值与输入信号幅值的比值，即系统的放大（或衰减）特性。(5-12)称为系统的相频特性，它反映系统在不同频率正弦信号的作用下，输出信号相对输入信号的相移。系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。2010.11.1412根据传递函数求取频率特性:传递函数:频率特性:（s=j）5.频率法A（）—幅频特性；G（j）的模，它等于稳态的输出分量与输入分量幅值之比.P134（）—相频特性；G（j）的幅角，它等于稳态输出分量与输入分量的相位差。2010.11.14135.频率法5.1频域特性的概念

5.2典型环节频率特性的绘制5.3系统开环频率特性的绘制5.4奈奎斯特稳定判据5.5控制系统的相对稳定性2010.11.1414

以角频率ω为参变量，根据系统的幅频特性和相频特性在复平面上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率特性的极坐标图。它是当角频率ω从0到无穷变化时，矢量的矢端在平面上描绘出的曲线。曲线是关于实轴对称的。5.2典型环节的频率特性绘制P1365.频率法5.2.1典型环节的幅相特性曲线2010.11.14155.频率法1.放大环节（比例环节）放大环节的传递函数为其对应的频率特性是

（5-13）（5-14）其幅频特性和相频特性分别为图5-1放大环节的频率响应.0K2010.11.1416积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用；其幅频特性等于，是ω的函数，5.频率法2.积分环节

积分环节的频率特性幅频特性和相频特性分别为

频率特性如图所示。图5-2积分环节的频率响应2010.11.14175.频率法

3.惯性环节惯性环节的频率特性为幅频特性和相频特性分别为.010.5

图5-3惯性环节的频率响应

当ω由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在平面上是正实轴下方的半个圆周。2010.11.14185.频率法4.振荡环节振荡环节的传递函数是

（5-15）其频率特性是

幅频特性和相频特性分别为

2010.11.14195.频率法图5-4振荡环节的频率响应振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ有关，不同阻尼比的频率特性曲线如图所示。2010.11.14205.频率法

5.一阶微分环节典型一阶微分环节的频率特性为其中τ为微分时间常数。幅频特性和相频特性分别为1

图5-5一阶微分环节的频率响应频率特性如图所示。它是一条过点（1，j0）与实轴垂直相交且位于实轴上方的直线。纯微分环节的频率特性与正虚轴重合。2010.11.14215.频率法

6.二阶微分环节其频率特性是

幅频特性和相频特性分别为二阶微分环节频率特性曲线如图所示

图5-6二阶微分环节频率特性图2010.11.14225.频率法5.2.2开环系统的幅相频率特性

绘制系统开环频率特性的极坐标图，则需把系统所包含的各个环节对应频率的幅值相乘，相角相加。例5.1：求如下传递函数的极坐标图。

解：G(jω)可写为：

2010.11.14235.频率法其幅值与相角分别为：

由于幅值是从1开始单调减小，相角也是单调减小，所以该传递函数的极坐标图是一条螺旋线2010.11.14245.频率法设系统的开环传递函数为

系统的型号:一种依据系统开环传递函数中积分环节的多少来对系统进行分类的方法１．0型系统（N=0）2．I型系统（N=1）3.II型系统（N=2）

……2010.11.14255.频率法极坐标图的形状与系统的型号有关，一般情况如下（注意起始点）：2010.11.14265.频率法注意终止点：2010.11.14275.频率法

增加n个有限负实极点后，ω=0→∞时，GH的奈氏的曲线顺时针转nπ/22010.11.14285.频率法

增加n个有限负实零点后，ω=0→∞时，GH的奈氏的曲线逆时针转nπ/22010.11.14295.频率法结论：1.0型系统（N=0）：极坐标图起始于正实轴上的有限点，终止于原点。2．I型系统（N=1）：由于存在一个积分环节，所以低频时，极坐标图是一条渐近于和虚轴平行的直线。当ω=∞时，幅值为零，曲线收敛于原点并且与某坐标轴相切。3.II型系统（N=2）：低频处，极坐标图是一条渐近于负实轴的直线。在ω=∞处幅值为零，且曲线相切于某坐标轴。2010.11.14305.频率法5.2.3典型环节频率特性的伯德图一、对数坐标图

1.幅频特性图：

纵坐标：幅值的对数20lg（dB），采用线性分度；

横坐标：用频率ω的对数lgω分度。

2.相频特性图

纵坐标：频率特性的相移，以度为单位，采用线性分度；

横坐标：用频率ω的对数lgω分度。2010.11.14315.频率法2010.11.14325.频率法1.放大环节（比例环节）放大环节的频率特性为

对数幅频特性为图5-7放大环节的Bode图相频特性为如图所示，是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。2010.11.14335.频率法2.积分环节积分环节的频率特性是

其幅频特性为

对数幅频特性是

图5-8积分环节的Bode图2010.11.14345.频率法3.惯性环节惯性环节的频率特性是

其对数幅频特性是渐近特性精确特性图5-9惯性环节的Bode图2010.11.14355.频率法

其对数幅频特性是

4.一阶微分环节一阶微分环节频率特性为图5-10一阶微分环节的Bode图2010.11.14365.频率法5.振荡环节频率特性为其对数幅频特性为高频渐近线低频渐近线图5-11(a)振荡环节渐近线对数幅频特性图5-11(b)振荡环节对数幅频率特性图2010.11.14375.频率法其对数幅频特性为相频特性为

6.二阶微分环节频率特性二阶微分环节与振荡节的Bode图关于ω轴对称，渐近线的转折频率为，相角变化范围是00至+1800。图5-12二阶微分环节的Bode图2010.11.14385.频率法5.1频域特性的概念5.2典型环节频率特性的绘制5.3系统开环频率特性的绘制5.4奈奎斯特稳定判据5.5控制系统的相对稳定性2010.11.14395.频率法将系统开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式(1)典型环节幅频特性相乘得到系统开环幅频特性典型环节相频特性相加得到系统开环相频特性如幅频特性有渐近线，则根据开环频率特性表达式的实部和虚部，求出渐近线最后在G(jω)H(jω)平面上绘制出系统开环频率特性的极坐标图5.3.1绘制系统开环频率特性极坐标图的步骤(2)(3)(4)(5)2010.11.14405.频率法将系统的开环传递函数写成典型环节乘积的形式(1)若存在转折频率，在ω轴上标出转折频率的坐标位置修正误差，画出比较精确的对数幅频特性由各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅频特性的渐近线画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性(2)(3)(4)(5)5.3.2绘制系统开环频率特性伯德图的步骤2010.11.14415.频率法例5-1已知系统的开环传递函数为它由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是幅频特性和相频特性分别为2010.11.14425.频率法1.极坐标图当时，当时，当时，。2010.11.14435.频率法图5-13开环系统极坐标图[G]当ω由零增至无穷大时，幅值由K衰减至零，相角0度变至-180度，且均为负相角。频率特性与负虚轴的交点频率为，交点坐标是。其极坐标图如图5-13所示。2010.11.14445.频率法由开环传递函数知，对数幅频特性的渐近线有两个转折频率和，且，将它们在ω轴上标出（图5-14）；在纵坐标上找到20lgK的点A，过A点作平行于横轴的直线AB，这条平行线对应放大环节的幅频特性；在转折频率处作ω轴的垂线（虚线）交平行线AB于B点，以B为起点作斜率为-20dB/dec的斜线BC，C点对应转折频率，折线ABC对应放大环节K和惯性环节的叠加；2伯德图2010.11.14455.频率法图5－14开环系统Bode图L2010.11.14465.频率法5.1频域特性的概念5.2典型环节频率特性的绘制5.3系统开环频率特性的绘制5.4奈奎斯特稳定判据5.5控制系统的相对稳定性2010.11.14475.频率法由第3章知，线性系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也就是所有的闭环特征根分布在S复平面虚轴的左侧（P75）判断闭环系统稳定的方法：（1）解闭环特征方程难（2）劳斯判据可行，但不够形象且与频率无关

（3）有无其他方法？？2010.11.14481）一阶系统（P154）特征方程式为，特征方程式的根为。5.频率法假设系统的根为负实根，令特征方程中的，则矢量的矢端将沿着虚轴滑动。当ω=0，夹角φ=0,当ω从0增加到∞时,这个矢量逆时针旋转π/2角度。逆时针：△Arg[D(jω)]=π/2顺时针：△Arg[D(jω)]=-π/25.4.1控制系统的稳定判据2010.11.1449注意：（1）当一阶系统中的ω从-∞增加到∞时，若角度逆时针旋转角度为π，该系统稳定；若角度顺时针旋转角度为π，该系统不稳定。（2）令s=jω，仅为记忆方便而作的假设，没有任何物理意义。

5.频率法逆时针：△Arg[D(jω)]=π/21

一阶微分环节的频率响应2010.11.14502）二阶系统特征方程式为，特征方程式的根为，即5.频率法逆时针：△Arg[D(jω)]=π/2+φ0+π/2-φ0=2×π/2顺时针：△Arg[D(jω)]=2×π/22010.11.14513）n阶系统特征方程式为，特征方程式的根为5.频率法系统稳定的充要条件：特征方程式的所有根必须在左半S平面可以等价转化为当ω从0变到∞时，如果矢量D(jω)的相角逆时针变化为△Arg[D(jω)]=n×π/2，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。当ω从-∞变到∞时，如果矢量D(jω)的相角逆时针变化为△Arg[D(jω)]=nπ，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。2010.11.1452由此得到闭环特征方程多项式为5.频率法5.4.2用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性为找到开环传递函数和闭环特征多项式的关系，特构造辅助函数F(s)如下辅助函数F(s)的特征：（1）其零点为闭环函数的极点；（2）其极点为开环传递函数的极点；（3）其零点和极点的个数是相同的；（4）F(s)和开环传递函数仅相差1。2010.11.1453如果系统闭环也是稳定的，那么它的闭环特征方程式的全部根应该在左半S平面，而ω由-∞变到∞时，矢量的相角变化为△Arg[DB(jω)]=nπ。如果开环系统是稳定的，那么它的特征方程式的n个根应该在左半S平面，而ω由-∞变到∞时，矢量的相角变化为△Arg[D(jω)]=nπ。5.频率法5.4.2.1开环是稳定的系统由辅助函数与开环系统之间的关系知，辅助函数的矢量的相角变化为，△Arg[DB(jω)]-△Arg[D(jω)]=0。即F(jω)的极坐标轨迹不包围原点，则系统闭环是稳定的；如果F(jω)的极坐标轨迹包围原点，则系统闭环不稳定。2010.11.14545.频率法F(jω)相角变化（a）系统稳定（b）系统不稳定曲线2010.11.1455若系统闭环特征方程式的n个根中，有Z个在右半S平面，（n-Z）个在左半S平面，则当ω由-∞变到∞时，矢量的相角变化为如果开环系统特征方程式的n个根不全在左半S平面，其中有P个根在右半S平面，（n-P）个根在左半S平面，则开环系统是不稳定的。而ω由-∞变到∞时，矢量的相角变化为5.频率法5.4.2.2开环是不稳定的系统这种情况下，辅助函数的相角变化为N为辅助函数的相角逆时针变化的圈数。2010.11.1456如果开环系统特征方程式的n个根不全在左半S平面，其中有P个根在右半S平面，（n-P）个根在左半S平面，则闭环系统稳定的充要条件是：当ω由-∞变到∞时，开环频率特性的轨迹在复平面上应逆时针围绕（-1,j0）点旋转N=P圈，否则闭环系统不稳定。闭环系统稳定的充要条件是：闭环特征方程式的n个根全在左半S平面，即Z=0。则另一种等价的稳定判据的描述方法如下：5.频率法综合以上两种情况，我们得到以开环系统的极坐标根轨迹（奈式曲线）判断相应的闭环系统稳定性的判据——奈奎斯特判据。2010.11.14575.频率法

闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏轨迹映射在GH平面上的封闭曲线逆时针包围点P周，其中P为开环传递函数在S平面右半部的极点数。当在S平面右半部没有极点时，即P=0，闭环系统稳定的充分必要条件是在GH平面上不包围点。基于开环传递函数的奈氏判据如下：2010.11.14585.频率法

与之间的关系前面曾经指出，频率特性是特定情况下的传递函数。下面分两种情况来研究与之间的关系。当在S平面虚轴上（包括原点）无极点时，奈氏轨迹可分成三个部分如图所示，（1），s沿负虚轴变化；（2），s沿正虚轴变化；（3），s沿以原点为圆心，半径为无穷大的右半圆弧变化，对应由顺时针绕。2010.11.14595.频率法s（1）当s在S平面负虚轴上变化时，，（5-16）在[GH]平面上的映射如右图中曲线（1）。2010.11.14605.频率法图5-15s在GH平面上的映射（2）当s在S平面正虚轴上变化时，如图5-15中的曲线（2），这正是系统的开环频率特性。由于正负虚轴在S平面上以实轴为对称，它们在GH平面上的映射曲线（1）、（2）两部分也对称于实轴。2010.11.1461开环系统存在一个积分项，令s=jω,当ω=0时，轨迹不连续，无法判断其是否包围（-1，j0）点，故修改为以为圆心，为半径，在右半平面作很小的半圆，小半圆的表达式为，令，ω由0-变到0+时，角的变化为5.频率法5.4.2.3开环有串联积分环节的系统P160设系统的开环传递函数为（1）当时，开环传函的幅相特性为（2）当时，开环传函的幅相特性为（3）当时，开环传函的幅相特性为2010.11.1462结论：（1）当开环传递函数中存在积分串联环节时，可以用一个在右半平面，且半径趋向于0的小半圆代替，当ω由0-变到0+时，角的变化为（2）具有一个积分环节的开环传递函数，在ω=0附近的幅相特性为：以∞为半径，相角由0度旋转到-π/2。（3）具有N个积分环节的开环传递函数，在ω=0附近的幅相特性为：以∞为半径，相角由0度旋转到-N×π/2。5.频率法2010.11.14635.频率法一个零极点两个零极点2010.11.14645.频率法三个零极点当ω由-∞变到∞时，开环频率特性的轨迹在复平面上没有围绕（-1,j0）旋转。一个简单的判断方法：铅笔和绳子。2010.11.1465闭环系统稳定的充分必要条件是：GH平面上的开环频率特性当时，按逆时针方向包围点P周。当位于S平面右半部的开环极点数P=0时，即当开环传递函数的全部极点均位于S平面左半部（包括原点和虚轴）时，闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线不包围GH平面的点。5.频率法奈奎斯特稳定判据2010.11.14665.频率法

(i)当系统开环传递函数的全部极点都位于S平面左半部时（P=0），如果系统的奈氏曲线不包围GH平面的点（N=0），则闭环系统是稳定的（z=P-N=0），否则是不稳定的；（ii)当系统开环传递函数有P个位于S平面右半部的极点时，如果系统的奈氏曲线逆时针包围 点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数（N=P），则闭环系统是稳定的（Z=P-N=0），否则是不稳定的；2010.11.14675.频率法（iii）如果系统的奈氏曲线顺时针包围点（N>0），则闭环系统不稳定（Z=P-N>0）。

综上，奈氏曲线是否包围GH平面的点是判别系统是否稳定的重要依据（当然还须考虑是否存在S平面右半部的开环极点和曲线包围点的方向）。当曲线恰好通过GH平面的点（注意不是包围），此时如果系统无位于S平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。2010.11.14685.频率法例5.2试用奈氏判据分析系统的稳定性。P163解该系统的开环传递函数为其对应的频率特性是其幅频特性为：其相频特性为：当时：当时：2010.11.14695.频率法令，则有，即极坐标与虚轴有交点，把其代人虚部有：开环传递函数频率特性的复数形式为：令，则有，即极坐标与实轴有交点2010.11.14705.频率法综合上述分析，开环传递函数的极坐标图为：P163例5.2奈氏曲线2010.11.14715.频率法解该系统的开环传递函数为其对应的频率特性是例5.3

试用奈氏判据分析系统的稳定性。其幅频特性为：其相频特性为：当时：当时：2010.11.14725.频率法令，则有，即极坐标与虚轴有交点，把其代人虚部有：开环传递函数频率特性的复数形式为：令，则有，即探讨极坐标与实轴是否有交点2010.11.14735.频率法综合上述分析，开环传递函数的奈式曲线为图5-20例5-7奈氏曲线2010.11.14745.频率法

开环传递函数无右半S平面的极点，即P=0，系统是否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值的大小，当时，不包围点，即N=0图5-20（a），系统是稳定的；当时奈氏曲线顺时针包围点两周，即N=-2,图5-20（b），系统不稳定。2010.11.1475三个转折周期：5.频率法解写出如下伯德图的传递函数例5.4

P1845-7(1)。则相应的典型环节为：开环增益为：需要注意的是，第3个典型环节为-40db，所以应该是平方项：2010.11.14765.频率法解传递函数为相频特性为：所以传递函数为：2010.11.14775.频率法5.1频域特性的概念5.2典型环节频率特性的绘制5.3系统开环频率特性的绘制5.4奈奎斯特稳定判据5.5控制系统的相对稳定性2010.11.14785.频率法

在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题。

5.5.1相对稳定性的概念P1652010.11.14795.频率法已知两个最小相位系统（P146）的奈氏曲线如图5-21(a)和(b)红线所示。当系统参数变化，使开环放大倍数增加50%后，两系统的奈氏曲线分别如图5-21中虚线所示。图5-21系统的相对稳定性···2010.11.14805.频率法5.5.2稳定裕度

通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。1.相位裕量（相角裕度）如图5-22所示，GH平面上的单位圆与系统开环频率特性曲线的交点频率称为幅值穿越频率或剪切频率，它满足图5-222010.11.14815.频率法相位裕量的含义：使系统达到临界稳定状态时开环频率特性的相角减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。图5-23(a)相位裕量()幅值穿越频率所对应的相移与－1800角的差值2010.11.14825.频率法

2.

增益裕量（幅值裕度）如图5-23(b)所示，把系统的开环频率特性曲线与GH平面负实轴的交点频率称为相位穿越频率（截止频率），它应满足

增益裕量(Kg，GM)相位穿越频率所对应的开环幅频特性的倒数值，即图5-23(b)2010.11.14835.频率法

对于最小相位系统,当增益裕量()，系统稳定(图5-24)，且Kg值愈大,系统的相对稳定性愈好。如果幅值裕度(),系统则不稳定(图5-24)。