山东大学 自动控制原理 8-3离散系统分析

8.6离散系统的时域分析

对于离散系统的z变换理论，如前所述，它仅限于采样值的分析。对于离散系统的性能分析的讨论也只限于在采样点的值。然而，当采样周期T选择较大时，采样间隔中隐藏着振荡，可能反映不出来，这造成实际连续信号和采样值变化规律不一致，会得出一些不准确的分析结果。因此，必须注意采样周期T是否小于系统的最大时间常数这一问题。只有满足这一点，才会使离散理论分析结果贴近连续信号的变化规律。c(t)t01T2T

3T

4T

c(t)t01T2T

3T

16.1.１s平面与z平面的映射关系在z变换定义中已经确定了z和s变量之间关系如下

z=eTs其中s是复变量，可写成s=+j，所以z也是复变量

z=eTs=eTe

jT写成极坐标形式为z=ze

j

=eTe

jTs的实部只影响z的模，s的虚部只影响z的相角。s平面与z平面的映射关系为

s平面映射

z平面０右半平面

z

１单位园外=０虚轴

z=１单位园周０左半平面

z１单位园内20j[s]0ReIm

[z]s/20j[s]0ReIm

[z]138.6.2离散系统的动态性能分析

离散系统的瞬态响应，可以直接由时间响应结果获得，因为采样时刻的值在时间响应中均为已知的，这一点比连续系统直观而且方便。另外，也可以不求时间解，直接在z区域中，通过分析零极点的位置关系而获得,这对系统的设计是方便的。1、离散系统的时间响应及性能指标求法由时域解求性能指标的步骤：（1）由离散系统闭环脉冲传递函数(z)，求出输出量的z变换函数（2）用长除法将上式展成幂级数，通过z反变换求得c*(t)。4

例8-25单位反馈采样系统如图所示，当T=1s，试求单位阶跃响应c*(t)及动态性能指标。r(t)c(t)+-1s(s+1)解：根据已知的G(s)求开环脉冲传递函数（3）由c*(t)给出的各采样时刻的值，直接得出p%、tr、tp

、ts等性能指标。5再求闭环脉冲传递函数C(z)=0.632z1+1.097z2+1.207z3+1.014z4+0.96z5+0.968z6+0.99z7+…c*(t)=0.632(tT)+1.097(t2T)+1.207(t3T)+1.014(t4T)+0.96(t5T)+0.968(t6T)+0.99(t7T)+…60T2T3T4T5T6Tc*(t)t1c*(t)=0.632(tT)+1.097(t2T)+1.207(t3T)+1.014(t4T)+0.96(t5T)+0.968(t6T)+0.99(t7T)+…p%=20.7%tr=2(s)tp=3(s)ts=5(s)

连续二阶系统:p%=16.3%，tr=2.42(s)，tp=3.6(s)，

ts=5.3(s)

7解：求开环脉冲传递函数例8-26在例8-45中，增加零阶保持器，采样系统如图示，T＝1(s)，r(t)=1(t)，试分析系统的性能指标。r(t)c(t)+-1s(s+1)ZOH8再求闭环脉冲传递函数C(z)=0.368z1+z2+1.4z3+1.4z4+1.147z5+0.895z6+0.802z7+0.868z8+…c*(t)=0.368(tT)+(t2T)+1.4(t3T)+1.4(t4T)+1.147(t5T)+0.895(t6T)+0.802(t7T)+0.868(t8T)+0.993(t9T)+…90T2T3T4T5T6T7Tc*(t)1tc*(t)=0.368(tT)+(t2T)+1.4(t3T)+1.4(t4T)+1.147(t5T)+0.895(t6T)+0.802(t7T)+0.868(t8T)+0.993(t9T)+…p%=40%tr=2(s)tp=4(s)ts=12(s)

10系统极点为单极点2.闭环极点与动态响应的关系与连续系统类似，离散系统的结构参数，决定了闭环零极点的分布，而闭环脉冲传递函数的极点在z平面上单位园内的分布，对系统的动态响应具有重要的影响，下面讨论闭环极点与瞬态响应之间的关系。设系统的闭环脉冲传递函数为11（1）正实轴上闭环极点当0<pr<1时，极点位于单位园内的正实轴上，响应cr

prk为单调收敛，且pr越靠近原点，其值越小，收敛越快。12当pr>1时，极点位于单位园外正实轴上，响应cr

prk为单调发散，且pr值越大，发散越快。当pr=1时，极点位于单位园上的正实轴上，响应cr

prk=cr为一常数，是一串等幅脉冲序列；（2）负实轴上闭环极点当1<pr<0时，极点位于单位园上的负实轴上，响应cr

prk为正、负交替的收敛脉冲序列；当pr<1时，极点位于单位园外的负实轴上，响应cr

prk为正、负交替的振荡发散脉冲序列；当pr=1时，极点位于单位园上的负实轴上，响应cr

prk=(1)kcr为正、负交替的等幅脉冲序列；130ReIm

114（3）z平面上的闭环共轭复数极点复数极点总是共轭出现，一般表达式为15当pr>1时，闭环复数极点位于单位园外；对应的瞬态分量振荡发散；当pr<1时，闭环复数极点位于单位园内，振荡衰减，且pr越小，即复极点越靠近原点，振荡收敛得越快。当pr=1时，闭环复极点位于单位园周上，对应的瞬态分量是等幅振荡的脉冲序列。以余弦规律振荡的瞬态分量，其振荡角频率与共轭复极点的幅角r有关，r越大，振荡频率越高。所以位于左半单位园内的复极点，瞬态分量的振荡频率要高于右半单位园内的情况，振荡周期包含采样周期T的个数k为16

例8-27设离散系统闭环脉冲传递函数的共轭复极点以及负实轴上的极点分布如图所示，其中p1,

p2所具有的相角1,2=/4，p3,

p4所具有的相角3,4=/2，p5,

p6所具有的相角5,6=2/3，p7所具有的相角7=，试确定相应的各瞬态分量的振荡周期和振荡角频率。并画出瞬态分量变化图形。0ReIm

1p1p2p7p3p4p6p5解：对p1,

p2所对应分量的振荡周期为过渡过程每经过８个采样周期形成一个循环。17对p3,

p4所对应分量的振荡周期为对p5,

p6所对应分量的振荡周期为c(k)k18c(k)kc(k)kc(k)kc(k)k19综上分析，闭环脉冲传递函数极点在单位园内，对应的瞬态分量均为收敛的，故系统是稳定的。当闭环极点位于单位园上或单位园外，对应的瞬态分量均不收敛，产生持续等幅脉冲或发散脉冲，故系统不稳定。为了使离散系统具有较满意的动态过程，极点应尽量避免在左半园内，尤其不要靠近负实轴，以免产生较强烈的振荡。闭环极点最好分布在单位园的右半部，尤为理想的是分布在靠近原点的地方。这样系统反应迅速，过程进行较快。208.6.3离散系统稳定性分析

离散系统的稳定性，与系统参数及采样参数T等均有关。根据第三章所述，线性系统稳定的主要条件是系统的极点均在s平面左半部，s平面的虚轴就是稳定区域的边界。对于线性离散系统，其拉氏变换式中含有ekTs项，因此分析采样系统在s平面上的极点分布，就不像连续系统那么简单。

1、z域稳定的充分必要条件根据s平面与z平面的映射关系及闭环极点与动态响应的关系，容易算出离散系统稳定的充分必要条件系统的闭环特征方程的全部根的模都小于１。或者说，全部特征根都位于z平面以原点为园心的单位园内。21例8-28设离散系统如图所示，其中T＝0.07(秒)，试分析该系统的稳定性。r(t)c(t)+-100s(s+10)

解：由已知的G(s)可求出开环脉冲传递函数闭环特征方程为z2+3.5z+0.5=0z1=0.15z2=3.73因为z2

1，所以该系统是不稳定的。22３、代数判据连续系统中的代数判据(劳斯判据)，是根据特征方程的系数关系判断其根是否在s左半平面，从而确定系统的稳定性。

劳斯判据：特征方程是代数方程稳定的边界是虚轴，稳定的区域是复平面的左半平面在离散系统中，在z平面或在s半平面都不能直接引用劳斯判据。根据复变函数双线性变换公式，引用下列变换：或23

或或令z=x+jyw=u+jv24当u＝０时，对应w平面虚轴，则有x2+y2=1即z平面单位圆。当u<０时，w平面左半平面，对应z平面单位圆内；当u>０时，w平面右半平面，对应z平面单位圆外。0ImRew+1w+1w1125

例8-29若已求得采样系统的特征方程式为3z3+3z2+2z+1=0试用w平面的劳斯判据判别稳定性。解：应用w变换，令由于第一列元素全为正，所以系统稳定。w3+7w2+7w+9=0劳斯表为26例8-30利用代数判据分析如图所示二阶离散系统放大系数k和采样周期T对系统稳定性的影响。解：根据已知的G(s)求开环脉冲传递函数r(t)c(t)+-ks(s+1)闭环特征方程为27得系统稳定的条件是：