导数及其应用 第三章 3.4

§3.4

生活中的优化问题举例第三章导数及其应用1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.知识点二利用导数解决生活中优化问题的基本思路知识点三解决优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值；(4)依据实际问题的意义给出答案.返回

题型探究重点突破解析答案题型一用料最省问题例1

如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？反思与感悟解如题图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，又设总的水管费用为y元，在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30km处取得最小值，此时|AC|＝50－x＝20(km).∴供水站C建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.令y′＝0，解得x＝30.反思与感悟反思与感悟用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.解析答案跟踪训练1

某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8m2，问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001m)即当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省.解析答案题型二面积、容积的最值问题例2

如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？反思与感悟解析答案解设广告的高和宽分别为xcm，ycm，反思与感悟令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140).当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小.反思与感悟反思与感悟(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案.解析答案跟踪训练2

如图，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形的最大面积.解设B(x,0)(0＜x＜2)，则A(x,4x－x2).从而|AB|＝4x－x2，|BC|＝2(2－x).故矩形ABCD的面积为S(x)＝|AB|·|BC|＝2x3－12x2＋16x(0＜x＜2).S′(x)＝6x2－24x＋16，∵x1∉(0,2)，∴x1舍去.解析答案题型三成本最省，利润最大问题例3

甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；解析答案(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解由题意s、a、b、v均为正数.此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数.所以当v＝c时，y最小.综上可知，为使全程运输成本y最小，反思与感悟反思与感悟正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路.另外需注意：①合理选择变量，正确给出函数关系式.②与实际问题相联系.③必要时注意分类讨论思想的应用.解析答案跟踪训练3

某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；解若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件.由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21].解析答案(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解对(1)中函数求导得f′(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)

－0＋0－

f(x)9072↘极小值↗极大值↘

∴x＝12时，f(x)取得极大值.∵f(0)＝9072，f(12)＝11664，∴定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.思想方法分类讨论思想的应用解析答案返回解后反思解析答案解后反思分析首先根据容积(体积)求出r，l的关系，即用r表示l，根据l≥2r，即可求出r的取值范围，根据一个圆柱的侧面积和一个球的表面积公式建立建造费用y关于r的函数关系式，然后利用导数求解这个函数的极值点，通过讨论极值点与r的取值范围之间的关系求得容器建造费用最小时r的值.由于l≥2r，故0＜r≤2.该函数的定义域为(0,2].由于c＞3，所以c－2＞0.当r∈(0，m)时，y′＜0；当r∈(m,2]时，y′＞0.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点.当r＝m时，y′＝0；解析答案解后反思当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点.解后反思返回解后反思当堂检测12345解析答案解析原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.C解析答案12345解析设底面边长为x，C123453.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－

x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(

)A.13万件

B.11万件C.9万件

D.7万件解析因为y′＝－x2＋81，当x∈(0,9)时，y′＞0.解析答案在(0,9)上单调递增.所以当x＞9时，y′＜0；所以x＝9是函数的极大值点.又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值.C解析答案1234512345解析设年产量为x时，总利润为y，由y′＝0，得x＝300.经验证，当x＝300时，总利润最大.答案D解析答案123455.用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5m，则当高为____m时，容器的容积最大.＝－2x3＋2.2x2＋