信号处理原理-徐明星CHAP06

系统分析与

数字滤波器设计1什么是系统？系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。如计算机系统，医疗系统，雷达导航系统………在信号处理领域，通俗地说，对信号进行处理的各种环境都可以被称为系统，在信号处理领域，一般称为传送信号或对信号进行加工处理而构成的某种组合。这种组合，既可以有对应的物理设备，如电容、放大器….也可以是纯粹的算法，如计算机软件程序等。关键是“特定功能的整体”2为什么要研究系统？我们研究和分析系统，主要关心下面两个问题如何解决：对于给定信号形式的传输和处理要求，如何使系统与其匹配即如何使系统满足信号处理的要求，系统应具有怎样的功能和参数？对于给定参数的系统，它具有何种处理信号的特性？即分析信号在通过系统后，信号的性质会发生什么样的变化？3系统的激励与响应我们关心的问题变为：如何设计一个系统，使其输出特性符合要求？如何分析现有系统，求其在指定输入时的输出？4系统响应的分类1零输入响应系统可能在没有给任何激励信号作用时，产生信号输出。在这种情况下，系统的输出显然是与外界无关的(因为外界并没有给系统输入信号)，输出是由系统自身的内部信息引起的。系统自身的内部信息，可能是先前激励（或挠动）作用的后果，不过，没有必要追究关于它们历史演变的详细过程，只需要知道在当前激励接入系统时，系统的瞬时状态即可。由此看来，系统的零输入响应是一种纯粹由系统的起始状态所产生的响应。5系统响应分类2零状态响应系统在每一时刻都对应一种状态，开始研究系统的时刻系统所处的状态称为起始状态。所谓系统的零状态响应，就是指系统在起始状态时状态值为零(相当于系统没有存储任何能量和信息)。在这种状况下，给系统输入一个激励信号，则系统所产生输出响应就被称为系统的零状态响应。6连续时间系统输入和输出的信号都是连续时间信号，并且在系统内部也没有对信号进行转换的系统。离散时间系统输入和输出的信号都是离散时间信号，并且在系统内部，信号也是离散时间形式。系统的分类这两种不同的系统类别，它们的系统原理和分析方法，除少数内容外，基本上一致的。7系统的特性1线性系统同时满足叠加性与齐次性的系统。系统的叠加性是指：当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。系统的齐次性是指：当输入信号乘以某个常数时，系统的响应也倍乘相同的常数。8系统的特性2时不变系统若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称系统为时不变系统。反之，则称为时变系统。线性时不变系统若系统既是线性的，又是时不变的，则我们称之为线性时不变系统。简记为LTI系统。9系统的特性3、4因果系统若系统在某一时刻的响应只与此时间及其以前的系统输入有关，即激励是产生响应的原因，则此系统为因果系统。稳定系统若系统对任意的有界输入其零状态响应也是有界的，则称此系统为稳定系统。系统的稳定性通常被称为BIBO原则。10系统的表征1系统的频率响应：通常，信号通过一个系统后，其频谱将发生变化。因此，简单地说，所谓系统的频率响应，就是系统对输入信号的频谱的影响（改变）特性。系统按幅频响应特性分类低通带通高通带阻全通11系统的表征2积分单元延时单元12系统的表征2信号相加13信号乘常数系统的表征214系统的表征2信号相乘15系统的表征3微分方程差分方程16线性时不变系统可用它的单位冲激响应来表征。设系统的单位冲激响应为h(n)，若输入序列为x(n)，试求系统的输出序列为y(n)。已知任一序列x(n)与单位冲激序列有如下关系：系统的表征417证明设对任意的有界输入有即输出也是有界的，所以系统稳定。LTI系统是一个稳定系统的充要条件是：18假设系统的单位冲激响应不是绝对可积的，即即输入是有界的。于是若系统激励为显然即输出是无界的。这与系统是稳定的相矛盾。19传递函数离散时间LTI系统输入输出满足下列关系H(z)与系统特性有一一对应关系，也可以说是系统特性的一种反映，所以通常称H(z)为LTI系统的传递函数，也称系统函数。传递函数H(z)实际上是系统单位冲激响应h(n)的Z变换，可以直接由单位冲激函数求出来系统的表征520传递函数H(z)与单位冲激响应h(n)是一对ZT对证明：因为所以于是21传递函数与差分方程的关系系统框图差分方程传递函数22系统的稳定性和因果性判定结论1 离散线性时不变系统是因果系统的充要条件是：传递函数的ROC是某个圆外部的区域，包括无穷远点。结论2 离散线性时不变系统是稳定系统的充要条件是：传递函数的ROC包括单位圆。若系统是稳定的因果系统，则其传递函数ROC如下所示系统表征方法的应用123两个系统并联后新系统的单位冲激响应是并联子系统单位冲激响应的和，传递函数是并联子系统传递函数的和系统表征方法的应用2系统的并联组合24两个系统串联后新系统的单位冲激响应是串联子系统单位冲激响应的卷积，传递函数是串联子系统传递函数的乘积系统的串联组合系统表征方法的应用225如果离散系统的系统函数为H(z)，则称为离散系统的频率响应，简称频响，它反映了系统对激励中各频率分量的幅度和相位影响。通常是复值函数幅频响应相频响应系统表征方法的应用326系统的频率响应是周期为s(序列的重复频率，当T=1时，s=2)的周期函数，并且关于=0和=s/2是共轭对称的。系统的频率响应是其单位冲激响应的离散时间傅里叶变换系统表征方法的应用327传递函数频响零点向量差极点向量差频率响应的几何作图法系统表征方法的应用328频率响应的几何作图法在z平面原点处加入或去掉零极点,不会影响系统的幅频特性,只影响系统的相频特性。如果单位圆上某个点沿逆时针方向不断转动，转动一周就可以根据下式得到系统的频响。29系统表征方法的总结系统的结构框图（信号流程图、逻辑关系图）数学方程（差分方程、微分方程）单位冲激响应系统传递函数系统频率响应特性30为什么H(z)可以表征系统？系统传递函数H(z)h(n)系统对任意输入的输出，可以用h(n)求出来31为什么h(n)可以表征系统?系统单位冲激响应h(n)系统对任意输入的输出，可以用h(n)求出来滤波器对输入信号的频率分量进行处理32为什么差分方程可以表征系统?系统输出只与当前及过去的输入有关显然，输出也可与系统过去的输出有关因果系统非递归的差分方程递归差分方程33为什么结构框图可以表征系统?图示方法表示差分方程滤波器系统输入x(n)输入y(n)信号在系统内部被运算处理的实际过程34为什么可以用H(z)的ROC的情况来确定系统的因果性？反过来想这个问题：一个因果系统的h(n)有何特点？因果系统的单位冲激响应h(n)是因果序列n=0,1,2,…h(n)是右边序列的一种（下标无负值）！一般的右边序列ZT的ROC是圆外部分，若下标无负值，则ROC还包含无穷远点所以，根据ROC的情况，就可以知道系统是不是因果的35为什么因果系统的h(n)是因果序列？因果系统的单位冲激响应h(n)是因果序列n=0,1,2,…假设h(n)有下标为负值的点，如h(-1)，则系统输出与未来的输入有关！这样的系统不是因果的！36为什么可以用H(z)的极点位置来判定系统的稳定性？其实，一个系统是不是稳定的，只取决于它的H(z)的ROC是否包含单位圆。根据ZT的ROC与其极点的关系（ROC不含极点），可以有下面的结论：若系统是因果系统，其ROC是某圆外部分，所以全部极点须在单位圆内，这样ROC才能包含单位圆，系统才稳定。若系统是非因果系统，其ROC是某圆内部分，所以全部极点须在单位圆外，这样ROC才能包含单位圆，系统才稳定。37为什么H(z)的ROC只有包含单位圆，系统才稳定？H(z)的ROC须包含单位圆稳定系统为什么呢？BIBO原则！38为什么由H(z)的零极点分布可以求系统的频率响应特性？39相频响应特性幅频响应特性40为什么经常用频率响应特性来表征系统（数字滤波器）？描述了信号通过系统后会发生哪些变化幅度如何变化，相位如何变化针对实际应用，设计实现特定的滤波器滤除某些成分，保留某些成分数字滤波器的分析41数字滤波器的实现数字滤波器实现程序设计实现、DSP算法实现差分方程卷积实现当单位冲激响应有限长时，卷积式与差分方程是完全一致的。此时，滤波器被称为有限脉冲响应滤波器（也称FIR滤波器）。42数字滤波器程序设计实现差分方程---非递归的差分方程要求：减少存储，减少运算（乘法、加法），减少有效字长效应（滤波器系统必须量化，处理器有效比特数有限而产生的影响）a0Z-1a1Z-1aM+x(n)y(n)高阶滤波器多个二阶滤波器节的级联（滤波器系数大，对量化误差敏感程序低）FIR滤波器43非递归差分方程－－二阶非递归滤波器节级联a01Z-1Z-1a21+x(n)y(n)a11a02Z-1Z-1a22+a12分级后，各滤波器节系数较大，对量化误差敏感度降低44写出如图所示级联流图的差分方程Z-1Z-1+x1(n)y3(n)-0.10.2Z-1Z-1+0.30.1Z-1-0.4+y1(n)=x2(n)y2(n)=x3(n)45ZT的用途之一46数字滤波器程序设计实现2.差分方程---递归差分方程a0Z-1a1Z-1aM+x(n)y(n)Z-1Z-1b1b2Z-1bN直接I型实现IIR滤波器47直接II型实现a0Z-1a1Z-1aM+x(n)y(n)Z-1Z-1b1b2Z-1bN+N(z)1/D(z)48直接II型实现a0Z-1a1Z-1aM+x(n)y(n)Z-1Z-1b1b2Z-1bN+N(z)1/D(z)49直接II型实现a0a1aM+x(n)y(n)Z-1Z-1b1b2Z-1bN+与直接I型相比，直接II型减少了过去输入和输出状态的存储。由于需要两个加法，故在用DSP硬件实现时，可能引起算术溢出。尽管如此，因存储效率高，在滤波器实现广泛应用。标准型50FIR数字滤波器的设计滤波器的单位冲激响应h(n)可以表征系统理想低通滤波器的h(n)无限长，且有负值下标FIR滤波器的单位冲激响应是有限长的因果序列将满足要求的理想低通滤波器的h(n)截断因为时域平移只影响相位，故将截断后的h(n)平移成因果序列用所得h(n)实现的滤波器即为所需的FIR时域截断，频域H(w)与截取窗函数作卷积，滤波器的滤波性能(滤波器形状)发生改变。51需求分析滤波器的滤波特性参数（低通滤波器）通带过渡带阻带1滤波器带宽指增益为0.707(-3dB)间频率范围0.500.707滤波器通带边缘频率滤波器截止频率虚线表示的是理想低通滤波器；实线表示的是实际的低通滤波器。不同的窗函数旁瓣情况不同阻带衰减52理想低通滤波器的h(n)被不同的窗函数截断时性能窗类型窗函数窗内项数阻带衰减dB通带边缘增益dB矩形汉宁哈明布莱克曼凯塞21-0.94455758164100-0.06-0.02-0.0014-0.0057-0.00087-0.000013T.W.是过渡带宽度53设计中所用的通带边缘频率=所要求的通带边缘频率+(过渡带宽度)/2设计中所用的通带边缘频率阻带边缘频率过渡带宽度增益频率所要求的通带边缘频率滤波器截止频率，因为单位冲激响应被截成有限项，需要调整。根据经验，不用通带边缘频率，而应使用过渡带的中点54低通FIR滤波器的设计步骤在过渡带宽度中间，选择通带边缘频率(Hz)计算截止频率的数字频率，并代入从表中选择满足阻带衰减及其他要求的窗函数，计算所需窗的非零项数目，选择奇数项（脉冲响应完全对称，相位没有失真），计算窗函数用窗函数与h1(n)相乘，计算有限长脉冲响应将脉冲响应右移(N-1)/2，确保第一个非零值在n=0处55根据下列指标设计低通FIR滤波器通带边缘频率10kHz阻带边缘频率22kHz阻带衰减75dB采样频率50kHz过渡带宽度=22-10=12kHz设计用的通带边缘频率f1=10k+12K/2=16kHz截止数字频率w1=2Pi*f1/fs=0.64Pi理想滤波器的脉冲响应为布莱克曼窗和凯塞窗都可以达到阻带衰减75dB的要求。尽管凯塞窗的长度短，但布莱克曼窗计算简单。窗长取25：56窗函数为：滤波器脉冲响应为：所设计滤波器的实际性能为：通带边缘增益为-0.0014dB，位于10.11kHz处增益为-75dB的点出现在21.685kHz处。所设计的滤波器性能非常接近设计要求。其他类型的滤波器（高通、带通、带阻等）如何设计呢？57数字滤波器的实现数字滤波器实现程序设计实现、DSP算法实现double*FIR(doubleh[N],doublex[M]){double*y=newdouble[M+N-1];for(intn=0;n<M+N-1;n++){y[n]=0;for(intk=0;k<N;k++){if(n>=k)y[n]+=h[k]*x[n-k];elsebreak;}}returny;}//由调用者负责删除y58根据下列指标设计低通FIR滤波器通带边缘频率2kHz阻带边缘频率3kHz阻带衰减40dB采样频率10kHz过渡带宽度=3-2=1kHz设计用的通带边缘频率fc=2k+1K/2=2.5kHz截止数字频率wc=2Pi*2.5/10=0.5Pi理想滤波器的脉冲响应为59窗函数为：滤波器脉冲响应为：所设计滤波器的实际性能为：通带边缘增益为-0.06dB，位于2013Hz处。40dB阻带衰减在2976Hz处。非常接近设计要求。阻带衰减40dB，可以选择汉宁窗。窗长为：通带边缘频率2kHz阻带边缘频率3kHz下页60>>fir1(32,0.5,hann(33))ans=0-0.00020.00000.0021-0.0000-0.00640.00000.0142-0.0000-0.02720.00000.0495-0.0000-0.09710.00000.31520.49990.31520.0000-0.0971-0.00000.04950.0000-0.0272-0.00000.01420.0000-0.0064-0.00000.00210.0000-0.00020幅频响应为其他类型的FIR滤波器，如高通、带通、带阻，又该如何设计呢？MATLAB0.5：截止数字频率61低通带通高通信号频率分布范围频率响应函数在频域移动到新位置频移的办法:脉冲响应与余弦函数相乘低通滤波器62根据下列指标设计带通FIR滤波器通带边缘频率3.5kHz,4.5kHZ边渡带宽度500Hz阻带衰减50dB采样频率22kHz低通通带边缘=4-3.5=0.5kHz低通过渡带宽=带通过渡带宽=500Hz设计用的通带边缘频率f1=500+500/2=750Hz截止数字频率wc=2Pi*750/22000=0.06818Pi理想滤波器的脉冲响应为0fLfHw0带通中心频率4kHZ63窗函数为：滤波器脉冲响应为：阻带衰减50dB，要求使用哈明窗。窗长为：带通中心频率为4kHZ，余弦函数为：64>>fir1(150,0.06818,hamming(151))ans=-0.0001-0.00000.00000.00010.00020.00030.00030.00040.00050.00050.00060.00060.00060.00050.00040.00030.0001-0.0001-0.0004-0.0007-0.0009-0.0012-0.0015-0.0017-0.0018-0.0019-0.0019-0.0017-0.0015-0.0011-0.00060.00000.00070.00140.00220.00300.00370.00430.00470.00500.00500.00480.00430.00350.00240.0010-0.0005-0.0023-0.0041-0.0060-0.0078-0.0095-0.0108-0.0118-0.0123-0.0122-0.0115-0.0101-0.0080-0.0050-0.00140.00300.00800.01350.01940.02570.03200.03830.04440.05010.05520.05960.06320.06590.06750.06800.06750.06590.06320.05960.05520.05010.04440.03830.03200.02570.01940.01350.00800.0030-0.0014-0.0050-0.0080-0.0101-0.0115-0.0122-0.0123-0.0118-0.0108-0.0095-0.0078-0.0060-0.0041-0.0023-0.00050.00100.00240.00350.00430.00480.00500.00500.00470.00430.00370.00300.00220.00140.00070.0000-0.0006-0.0011-0.0015-0.0017-0.0019-0.0019-0.0018-0.0017-0.0015-0.0012-0.0009-0.0007-0.0004-0.00010.00010.00030.00040.00050.00060.00060.00060.00050.00050.00040.00030.00030.00020.00010.0000-0.0000-0.0001MATLAB0.06818：截止数字频率65根据下列指标设计高通FIR滤波器通带边缘频率8kHz阻带边缘频率6kHz阻带增益至少比通带增益低40dB采样频率22kHz高通的中心频率=22k/2=11k低通滤波器通带边缘频率=11k-8k=3k，阻带边缘频率=5k截止数字频率wc=2Pi*4k/22k=0.3636Pi理想滤波器的脉冲响应为011K高通的过渡带宽度=8k-6k=2k设计用通带边缘频率=3k+2k/2=4k66窗函数为：滤波器脉冲响应为：查表可知汉宁窗可以提供所要求的阻带衰减。窗长为：高通中心频率为11kHZ，余弦函数为：67带阻FIR滤波器设计011K带阻＝低通＋高通低通高通＋低通高通带通FIR滤波器68IIR数字滤波器的设计递归差分方程IIR滤波器与FIR滤波器的比较FIR滤波器仅在零处有极点，所以必然稳定。而IIR滤波器则不能保证是稳定的。FIR滤波器很容易有实现线性相位（脉冲响应关于中心点对称），而IIR滤波器则很难做到。在实现类似性能时，IIR滤波器比FIR滤波器的系数要少得多。6