山西省忻州市长征街联合学校2023年高三数学文联考试题含解析

山西省忻州市长征街联合学校2023年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，则其体积为A．4 B．8 C．12 D．24参考答案：A由三视图可知：该几何体为四棱锥,由体积公式易得故选A．

2.如图所示的函数的部分图象，其中A、B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．2参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，求出函数的半周期，计算ω的值，再求出φ的值，写出f（x）的解析式，计算出f（﹣1）的值．【解答】解：根据题意，A，B两点之间的距离为5，A，B两点的纵坐标的差为4，所以函数的半周期为T==3，解得T=6；则ω==，函数解析式为f（x）=2sin（x+φ）；由f（0）=1，得2sinφ=1，∴sinφ=；又≤φ≤π，∴φ=；则f（x）=2sin（x+）．∴f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin=2．故选：D．3.已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为△的内心，若成立，则双曲线的离心率是

A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若对任意的均有成立,则m的最小值为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】直接应用正弦函数的平移变换和伸缩变换的规律性质，求出函数的解析式，对任意的均有，说明函数在时，取得最大值，得出的表达式，结合已知选出正确答案.【详解】因为函数的图象向左平移个单位长度,所以得到函数，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,所以，对任意的均有成立，所以在时，取得最大值，所以有而，所以的最小值为.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象变换规律、函数图象的性质，考查了函数最大值的概念，正确求出变换后的函数解析式是解题的关键.5.函数f（x）=sinωx+cosωx+1的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有12个零点，则n﹣m的最小值为（）A．12π B． C．6π D．参考答案：D【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由两角和的正弦函数化简f（x），由周期公式求出ω的值，由正弦函数的性质求出f（x）的根，由条件和正弦函数的周期性求出n﹣m的最小值．【解答】解：由题意得，f（x）=sinωx+cosωx+1=，因为函数f（x）的最小正周期为π，所以，解得ω=2，则，由得，，则或（k∈Z），解得x=kπ﹣，或x=kπ﹣，所以一个周期内相邻的零点之间的间隔为，因为当x∈[m，n]时，f（x）至少有12个零点，所以n﹣m的最小值为=，故选D．6.函数（）的图象与轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数的图象，只要将的图象（

）个单位A．向右平移

B．向左平移C．向右平移

D．向左平移参考答案：A7.已知映射,其中，对应法则若对实数，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是

(

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B8.已知集合M＝，N＝，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D9.函数在的图像大致为(

)参考答案：A10.把函数的图象向左平移m个单位,所得图象关于y轴对称,则m的最小值为

A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量满足，且与的夹角为120°，，则的取值范围是

▲

．参考答案：12.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是

（

）A．46，45，56

B．46，45，53C．47，45，56

D．45，47，531.参考答案：A.

根据茎叶图可知样本中共有30个数据，中位数为46，出现次数最多的是45，最大数与最小数的差为68-12=56.故选A.13.在等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则公比=_____________.参考答案：略14.已知正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为________.参考答案：略15.已知正数a、b均不大于4，则a2－4b为非负数的概率为

。参考答案：由题意知：，我们把a、b看做直角坐标系的横坐标和纵坐标，画出其可行域为边长为4的正方形，表示的可行域与正方形重合的面积为：，所以a2－4b为非负数的概率为。16.设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|＝________.参考答案：17.已知的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为，则

.参考答案：答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，，都有，求的取值范围。参考答案：解：(1)，令得…………….3分当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增…8分(2)当时，；所以不可能对，都有；当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有即，故对，都有时，的取值范围为。…………………….14分19.如图，是的直径，,为上的点，是的角平分线，过点作交的延长线于,垂足为点.（Ⅰ）求证：是的切线;（Ⅱ）求证：.参考答案：20.（本小题满分16分）设,函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若有零点,求实数a的取值范围；（3）若有两个相异零点,求证:.参考答案：在区间上,.

（1）当时，，

则切线方程为，即…………………4分（2）①若,有唯一零点.

…………………6分

②若,则,是区间上的增函数,

,,,函数在区间有唯一零点.……8分

③若,令得:.在区间上,,函数是增函数;在区间上,,函数是减函数;

故在区间上,的极大值为.由即,解得:.故所求实数a的取值范围是.

………………10分

(3)设, 原不等式

令,则,于是.

设函数,求导得:故函数是上的增函数,

，即不等式成立,故所证不等式成立.

…………16分21.已知定义域为R的函数是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．参考答案：考点：指数函数单调性的应用；奇函数．专题：压轴题．分析：（Ⅰ）利用奇函数定义，在f（﹣x）=﹣f（x）中的运用特殊值求a，b的值；（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即又由f（1）=﹣f（﹣1）知．所以a=2，b=1．经检验a=2，b=1时，是奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式．所以k的取值范围是k＜﹣．点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．22.已知函数（I）求函数的最大值；（II）若，求的取值范围.（III）证明：……+（n）

参考答案：解证：（Ⅰ），

……1分当时，；当时，；当时，；所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；…3分故．……………………4分（Ⅱ）解法一：，

…5分当时，因为时，所以时，；……………6分当时，令，．当时，，单调递减，且，故在内存在唯一的零点，使得对于有，也即．所以，当时；……………8分当时，时，所以，当时．

…………………9分综上，知的取值范围是．

…………………10分解法二：，