山西省忻州市牛尾联合学校2021年高二数学文期末试题含解析

山西省忻州市牛尾联合学校2021年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，四位同学先后离开，则第二位走的是男同学的概率是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略2.设是双曲线的左右焦点。若在双曲线上，且,则的长为（

）

参考答案：C略3.若变量x，y满足约束条件，则的最大值是(

)A． B．1 C． D．2参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率的公式，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知直线OA的斜率最大，由得，即A（2，3），此时k=，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的公式结合数形结合是解决本题的关键．4.直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，以线段为直径的圆截轴所得到的弦长为4，则圆的半径为A．2

B．

C．3

D．参考答案：B略5.如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点， 则等于 A． B． C．

D．参考答案：C略6.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（）A．圆柱 B．圆锥C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体参考答案：C【考点】平行投影及平行投影作图法．【专题】常规题型；空间位置关系与距离．【分析】由各个截面都是圆知是球体．【解答】解：∵各个截面都是圆，∴这个几何体一定是球体，故选C．【点评】本题考查了球的结构特征，属于基础题．7.右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据右表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么表中t的值为

（

）A．3

B．3.15

C．3.5

D．4.5参考答案：A8.若变量x,y满足约束条件，则取得的最大值是（

）A、2

B、

C、

D、参考答案：A9.函数，若方程恰有两个不等的实根，则的取值范围为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：C10.顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是A.

B.

C.或

D.或参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B、A两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2?2a?4a?cos120°，得c2=7a2，则．故答案为：．12.已知f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，f（1）=0，则不等式f（x）＞0的解集为．参考答案：{x|﹣1＜x＜1}【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化为|x|＜1，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，由于f（1）=0，则f（x）＞0?f（x）＞f（1），f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，则f（x）＞f（1）?f（|x|）＞f（1）?|x|＜1，解可得：﹣1＜x＜1，则不等式f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜1}；故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．13.以为中点的抛物线的弦所在直线方程为

．参考答案：略14.椭圆的长轴的顶点坐标是

，短轴的顶点坐标是

参考答案：略15.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为

.参考答案：2016.若直线与曲线相切于点，则

．参考答案：略17.从区间内任取两个数，则这两个数的和小于的概率为________________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知、、分别是的三个内角、、所对的边（1）若，且，试判断的形状；（2）若，,，求、的值．参考答案：解：（1）由余弦定理得：，所以

在中，，所以所以是等腰直角三角形；……4分（2）由题意得，即，当时，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，19.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求C；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案：（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理化简边角关系式可得，根据三角形为锐角三角形可求得；（2）利用三角形面积公式构造方程求得；利用余弦定理构造出关于的方程，解方程求得，从而得到周长.【详解】（1）由正弦定理得：

（2）由余弦定理得：即：又，解得：

的周长为：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用问题，属于常考题型.20.已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：常规题型；压轴题；转化思想．分析：（Ⅰ）对函数求导，令f′（1）=0，即可解出a值．（Ⅱ）f′（x）＞0，对a的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．a≥2时，在区间（0，+∞）上是增函数，（Ⅲ）由（2）的结论根据单调性确定出最小值，当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1，恒成立；当0＜a＜2时，判断知最小值小于1，此时a无解．当0＜a＜2时，（x）的单调减区间为，单调增区间为解答： 解：（Ⅰ），∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0

即a+a﹣2=0，解得

a=1（Ⅱ），∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）＞0．∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得由∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为（Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1当0＜a＜2时，由（II）②知，处取得最小值，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是【题文】设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．【答案】【解析】考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）由函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，知当a=1时，不等式f（x）≥3等价于|x﹣1|+|x+1|≥3，根据绝对值的几何意义能求出不等式f（x）≥3的解集．（2）对?x∈R，f（x）≥2，只需f（x）的最小值大于等于2．当a≥1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=，f（x）min=a﹣1．同理，得当a＜1时，f（x）min=1﹣a，由此能求出a的取值范围．解答： 解：（1）∵函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，∴当a=﹣1时，不等式f（x）≥3等价于|x﹣1|+|x+1|≥3，根据绝对值的几何意义：|x﹣1|+|x+1|≥3可以看做数轴上的点x到点1和点﹣1的距离之和大于或等于3，则点x到点1和点﹣1的中点O的距离大于或等于即可，∴点x在﹣或其左边及或其右边，即x≤﹣或x≥．∴不等式f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪∪点评：本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围，综合性强，难度大，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，合理运用函数恒成立的性质进行等价转化．21.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足．（1）当取何值时，直线与平面所成的角最大？（2）若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置．参考答案：（1）（2）点在的延长线上，且试题分析：（1）以分别为轴,建立关于轴,轴，建立空间直角坐标系,可得向量的坐标关于的表达式，而平面的法向量，可建立

关于的式子，最后结合二次函数的性质可得当时，角达到最大值；（2）根据垂直向量的数量积等于，建立方程组并解之可得平面的一个法向量为，而平面与平面所成的二面角等于向量所成的锐角，由结合已知条件建立的方程并解，即可得到的值，从而确定点的位置。（1）以分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，∵，∴，则，易得平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角满足：（*），于是问题转化为二次函数求最值，而，当最大时，最大，所以当时，，此时直线与平面所成的角得到最大值．（2）已知给出了平面与平面所成的锐二面角为，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，．由，得，解得