随机过程第二章

应用随机过程

2/5/20231第二章随机过程的概念随机过程的定义随机过程的分布与数字特征随机过程的分类2.1随机过程的定义

随机过程的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。给定一随机试验E，其样本空间S={e}，将样本空间中的每一元作如下对应，便得到一系列结果：

一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。定义2.1.1设随机试验E，其样本空间S={e}，若对每个参数都有定义在S上的随机变量，则称一簇随机变量为随机过程。简记为由定义可看出，随机过程是两个变量e和t的函数。理解：对于固定的样本点eo，就是定义在T上的一个函数，称之为的一条样本路径或一个样本函数；对于固定的时刻to，是样本空间S上的一个随机变量；对于固定的t=t0，e=e0时X(e0,t0)=x0，则称该过程在t0时刻处于状态x0，简记X(t0)=x0。X(t,e)的全体取值的集合称为该随机过程的状态集或状态空间。

例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}，现定义：其中P{H}=P{T}=1/2。则是一随机过程。图形如下：1234例２考虑是正常数，这是一个随机过程。称之为随机相位正弦波。例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：2.2随机过程的分布与数字特征若，满足条件则称为随机过程的一维概率分布（分布律），且易知例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：若存在非负可积函数，使得满足则称为随机过程的一维概率密度。若存在非负可积函数，使得满足则称为随机过程的n维概率密度。书本例2.2.1—2.2.3Kolmogorov研究了随机过程X(t)与其有限维分布分布族的关系，证明了关于有限维分布函数族的重要性的定理：定理2.2.1(存在定理)为满足下述性质的有限维分布族：（１）对称性：对于的任一排列有设（２）相容性：对于任意自然数m<n，随机过程的m维分布函数与n维分布函数之间有关系：则F必为某个随机过程的有限维分布族。例3设随机过程X(t)=A+Bt，其中A和B是相互独立的标准正态分布的随机变量。试求X(t)的n维分布函数。解：利用正态分布的可加性，知X(t)服从一维正态分布。故服从n维正态分布。则的概率密度为其中协方差矩阵下面介绍一种利用特征函数求概率密度的方法。例4若正弦波随机过程X(t)取如下形式：其中A，B是常数，随机变量，即求在t时刻随机过程X(t)的概率密度。解：根据特征函数的定义，有（1）此外，又有（2）比较(1)和(2)，得(二)随机过程的数字特征例5设A,B是随机变量，求X(t)=At+B的均值函数和自相关函数；进一步，若A,B独立，且A~N(0,1)，B~N(1,2)问X(t)的均值函数和自相关函数。当A~N(0,1)，B~N(0,2)时解：例6设g(t)是以t为周期的矩形波函数,X为服从两点分布的随机变量,其分布律为P{X=-1}=P{X=1}=1/2,令随机过程Y(t)=g(t)X,求0LLtg(t)矩形波解：所以随机过程的特征函数当X(t)为连续形随机过程，其密度为当X(t)为离散形随机过程，其分布律为n维随机过程的特征函数若随机过程的n维概率密度为则1-1(三)二维随机过程的分布函数和数字特征(四)复随机过程的分布函数和数字特征X(t),Y(t)是两个实随机过程—复随机过程对于任意给定的即的联合分布函数为Z(t)的分布函数。Z(t)的数字特征如下：—Z(t)的均方值函数—方差函数—自相关函数—自协方差函数Z(t)的数字特征可由X(t)、Y(t)的数字特征表示：见书本例2.2.102.3随机过程的分类一、按参数集与状态集分类1.离散参数集，离散状态集随机过程２.离散参数集，连续状态集随机过程３.连续参数集，离散状态集随机过程４.连续参数集，连续状态集随机过程注：称状态空间离散的随机过程为链，参数空间离散的随机过程为随机（时间）序列。二、按概率结构分类例:随机过程在下列两种情况下是否是二阶矩过程。（1）是常数（2）具有概率密度解：所以是二阶矩过程。（1）（2）所以不是二阶矩过程。正态过程的判别方法：是正态过程见书本例2.3.6定义：设为一随机过程。n个随机变量相互独立，则称为独立过程。性质：定义：设为一随机过程。称为在处的增量。若增量相互独立，则称为独立增量过程（可加过程）。直观地说：在互不重叠的区间上，独立增量过程状态的增量相互独立。特别地例：设为一独立过程，则相互独立，，则易知则相互独立即为独立增量过程。令独立增量过程则为独立增量过程。证明：为独立增量过程。所以有以下性质：设增量的分布函数为，则对于有证明：而相互独立由X(t)独立增量过程保证则独立r.v.和的分布函数为其各自分布的卷积定义：设为一随机过程，若对于存在，且对于任意的满足：则称为不相关增量过程若则称为正