随机过程 第三章

3泊松过程内容提要泊松过程的定义和例子泊松过程的基本性质非齐次泊松过程复合泊松过程引言[(0-1)分布]

随机变量

X只可能有两个值:0和1，其概率分布为：[二项分布]随机变量

X为n重贝努利试验中事件A发生的次数，则X~B

(n,p)[泊松定理]在二项分布中，设

np=

是常数，则有泊松分布[泊松分布]随机变量X

的所有可能取值为0,1,2,…

，而取各个值的概率为则随机变量X

服从参数为的泊松分布，简记为()。泊松简介

泊松（Poisson)，法国数学家。1781年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国索镇。

1798年入巴黎综合工科学校深造。在毕业时，因优秀的研究论文而被指定为讲师。1806年接替J.-B.-J.傅里叶任该校教授。1809年任巴黎理学院力学教授。1812年当选为巴黎科学院院士。1816年应聘为索邦大学教授.1826年被选为彼得堡科学院名誉院士.1837年被封为男爵.

“我建立了描述随机现象的一种概率分布.”──泊松泊松简介泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用。他工作的特色是应用数学方法研究各类力学和物理问题，并由此得到数学上的发现。他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。泊松是19世纪概率统计领域里的卓越人物.他改进了概率论的运用方法，特别是用于统计方面的方法，建立了描述随机现象的一种概率分布──泊松分布.他推广了“大数定律”，并导出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分.他是从法庭审判问题出发研究概率论的，1837年出版了他的专著《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》.

泊松过程简介泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程。泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用，是一类非常重要的随机过称。许多偶然的现象都可以用Poisson分布来描述。大量自然界的物理过程可以用Poisson过程来刻画。它是随机建模的重要基石，也是学习随机过程理论的重要直观背景。泊松过程简介最著名的例子：盖格计数器上的粒子流、二次大战时伦敦空袭的弹着点、电话总机所接到的传呼次数、交通流中的事故数、地震记录、细胞中染色体的交换等。上述过程有如下两个性质：一是在时间或空间上的均匀性二是未来的变化与过去的变化没有关系3.1泊松过程的定义和例子[定义1]称{N(t),t0}为计数过程，若N(t)表示到时间t

为止已发生的“事件A”的总数，且N(t)满足下列条件：

(1)N(t)0，且N(0)=0;

(2)N(t)取非负整数值;

(3)若s<t，N(s)N(t);

(4)当s<t时，N(t)N(s)等于区间(s,t]中“事件A”发生的次数。泊松过程[定义2]称计数过程{X(t),t0}为具有参数

的泊松过程，若它满足下列条件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是独立增量过程;

(3)（平稳性）在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数

>0的泊松分布，即对任意s,t0，有定义分析要判断一个计数过程是泊松过程，必须证明它满足条件(1)(2)(3)。条件(1)说明事件A的计数是从t=0时开始的。条件(2)通常可以从我们对过程的了解中去检验。条件(3)的检验是非常困难的。为此，我们给出了泊松过程的另一个定义。泊松过程的另一个定义[定义2]称计数过程{X(t),t0}为具有参数

>0的泊松过程，若它满足下列条件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是独立、平稳增量过程;

(3)X(t)满足下列两式：泊松过程的另一个定义注解：定义中的条件(3)说明在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上的事件同时发生。这种现象假设对许多物理现象教容易得到满足。泊松过程的几个例子考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示电话交换台在[0,t]时间内收到的呼叫次数，则{X(t),t0}是一个泊松过程。泊松过程的几个例子考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t)为时间[0,t]内到达售票窗口的旅客数，则{X(t),t0}是一个泊松过程。泊松过程的几个例子考虑机器在(t,t+h]内发生故障这一事件。若机器发生故障，立即修理后继续工作，则在(t,t+h]内机器发生故障而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描述。定理定理：Poisson过程两个定义等价。证明略[见课本]。本节注解：泊松过程的样本函数是一条阶梯曲线。若用时刻ti表示第i个事件发生的时刻，那么在时刻ti阶梯曲线上跳一个单位；而在任何一个有限区间在[0,t)内这种跳跃的次数是有限的。3.2泊松过程的基本性质泊松分布:(1)泊松过程的数字特征均值函数方差函数相关函数(1)泊松过程的数字特征协方差函数(2)时间间隔与等待时间设

{X(t),t0}是泊松过程，令X(t)表示t时刻事件A发生的次数，T1T2T3Tn0W1W2W3Wn-1WntWn

——第n次事件A发生的时刻，或称等待时间，或者到达时间Tn

——从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔，或称第n个时间间隔时间间隔TnTn的分布函数：[定理]设

{X(t),t0}是具有参数的泊松过程，{Tn,n1}是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn(n=1,2,…)是独立同分布的均值为1/的指数分布。Tn的概率密度函数：Tn的数字特征：Tn的特征函数：时间间隔Tn证明：首先注意到事件{T1>t}发生当且仅当泊松过程在区间[0,t]内没有事件发生，因而即所以T1服从均值为1/的指数分布。利用泊松过程的独立、平稳增量性质，有时间间隔Tn故T2服从均值为1/的指数分布。时间间隔Tn所以对任一Tn（n1），其分布是均值为1/的指数分布。对于任意n1和t,s1,s2,…sn-1≥0,有等待时间（到达时间）Wn[定理]设

{X(t),t0}是具有参数的泊松过程，{Wn,n1}是对应的等待时间序列，则随机变量Wn服从参数为n与的分布（又称为爱尔兰分布），其概率密度为等待时间（到达时间）Wn[证明]：第n个事件在时刻t或者之前发生当且仅当时间t已发生的事件数目至少是n，即对上式求导，得Wn的概率密度[例1]已知仪器在[0,t]内发生振动的次数X(t)是具有参数的泊松过程。若仪器振动k(k1)次就会出现故障，求仪器在时刻t0正常工作的概率。[解]故仪器在时刻t0正常工作的概率为:仪器发生第k振动的时刻Wk就是故障时刻T

，则T的概率分布为分布:(3)到达时间的条件分布假设在[0,t]内事件A已经发生一次，确定这一事件到达时间W1的分布分布函数：分布密度：——均匀分布到达时间的条件分布[定理]设

{X(t),t0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间W1<W2<…<Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布，参数为n和s/t的二项分布[例2]

设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对于0<k<n，求在[0,s]内事件A发生k次的概率。[例3]设在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k次(k<n)事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数。Beta分布[例4]

设{X1(t),t0}和{X2(t),t0}是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为1和2。记Wk(1)为过程X1(t)的第k次事件到达时间，W1(2)为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求P{Wk(1)<W1(2)}，即第一个泊松过程的第k次事件发生早于第二个泊松过程的第1次事件发生

的概率。3.3非齐次泊松过程[引言]当Poisson过程的强度不再是常数，而与时间t有关时，Poisson过程就被推广为非齐次泊松过程。一般来说，非齐次泊松过程不具有平稳独立增量。在实际中，非齐次泊松过程应用非常广泛。例如：(1)研究设备的故障率时，由于设备使用年限的变化，出故障的可能性会随之变化;放射性物质的衰变速度，会随各种外部条件的变化而随之变化;昆虫产卵的平均数量随年龄和季节而变化；非齐次泊松过程[定义]称计数过程{X(t),t0}为具有跳跃强度函数

(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是独立增量过程;

(3)非齐次泊松过程的均值和方差函数为:非齐次泊松过程的分布[定理]设{X(t),t0}为具有均值函数

的非齐次泊松过程，则有或例6设{X(t),t0}是具有跳跃强度

的非齐次泊松过程。求E[X(t)]和D[X(t)]。[例7]

设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。乘客流量如下：5时平均乘客为200人/时；5时至8时乘客线性增加，8时达到1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时至21时到达率线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求出这两小时内乘客人数的数学期望。3.4复合泊松过程[定义]设{N(t),t0}是强度为的泊松过程，{Yk

,k=1,2,…}是一列独立同分布随机变量，且与{N(t),t0}独立，令

则称{X(t),t0}为复合泊松过程。3.4复合泊松过程[注解]（1）复合泊松过程不一定是计数过程，但当Yi=C,i=1,2,…C为常数时，可化为泊松过程。（2）泊松过程、非齐次泊松过程、复合泊松过程的关系。泊松过程非齐次泊松过程复合泊松过程复合泊松过程的例子（1）

超市营业额问题复合泊松过程的例子(1)设N(t)是时间段(0,t]内来到的顾客人数。{N(t),t≥0}是泊松过程。若Yk是第k个顾客在商店所花的钱数。则{Yk,k=1,2,…}是独立同分布随机变量序列，且与{N(t),t≥0}独立。记X(t)为该商店(0,t]时间内的营业额，则是一个复合随机过程。复合泊松过程的例子(2)保险索赔问题复合泊松过程的例子(2)保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程{N(t),t≥0}，每次要求赔付的金额Yi都是相互独立，且有共同分布

。每次的索赔额与它发生的时刻无关，则(0,t]时间内保险公司需要赔付的总金额{X(t)}就是