山西省忻州市待阳学校高一数学理联考试卷含解析

山西省忻州市待阳学校高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=x2﹣（）x的零点有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】把函数f（x）=x2﹣（）x的零点转化为求函数y=x2与y=（）x的交点的横坐标，在同一坐标平面内作出两个函数的图象得答案．【解答】解：函数f（x）=x2﹣（）x的零点，即为方程x2﹣（）x=0的根，也就是函数y=x2与y=（）x的交点的横坐标，作出两函数的图象如图，由图可知，函数f（x）=x2﹣（）x的零点有3个．故选：C．2.已知函数在R上单调递减,则实数的取值范围是（）A．

B． C． D．参考答案：C略3.设，，，则有（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C略4.有四个游戏盘面积相等，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（

）参考答案：A试题分析：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A．概率P=，B．概率P=，C概率P=，D．概率P=，则概率最大的为考点：几何概型5.在各项都为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，前三项和为21，则(

)．A．33 B．72 C．84 D．189参考答案：C6.不等式的解集为（

）A.(－∞,2] B.[2,+∞) C.[1,2] D.(1,2]参考答案：D【分析】转化为一元二次不等式.【详解】不等式可化为，即，等价于解得所以不等式的解集为.故选D.【点睛】本题考查分式不等式的解法.7.（5分）已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子表示正确的有（）①1∈A；②{﹣1}∈A；③??A；④{1，﹣1}?A． A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个参考答案：考点： 元素与集合关系的判断．专题： 计算题．分析： 本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在解答时，可以先将集合A的元素进行确定．然后根据元素的具体情况进行逐一判断即可．解答： 因为A={x|x2﹣1=0}，∴A={﹣1，1}对于①1∈A显然正确；对于②{﹣1}∈A，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；对③??A，根据集合与集合之间的关系易知正确；对④{1，﹣1}?A．同上可知正确．故选C．点评： 本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、逐一验证的技巧以及元素的特征等知识．值得同学们体会反思．8.已知||=2||≠0，且关于x的方程x2+||x+?=0有实根，则与的夹角的取值范围是（）A． B．[，π] C．[，] D．[，π]参考答案：B【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据关于x的方程有实根，可知方程的判别式大于等于0，找出，再由cosθ=≤，可得答案．【解答】解：，且关于x的方程有实根，则，设向量的夹角为θ，cosθ=≤，∴θ∈，故选B．9.下列角中终边与330°相同的角是

（

）A．30°

B．-30°

C．630°

D．-630°参考答案：B略10.函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得，当x∈[0，]时，g（x）的值域是f（x）的值域的子集，由此列出不等式组，求得m的范围．【解答】解：当x∈[0，]时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[，1]，f（x）=2sin（2x+）∈[1，2]，同理可得2x﹣∈[﹣，]，cos（2x﹣）∈[，1]，g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3∈[﹣+3，﹣m+3]，对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴，求得1≤m≤，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）若角θ的终边过点P（4a，﹣3a）（a＜0），则cosθ=

．参考答案：考点： 任意角的三角函数的定义．专题： 三角函数的求值．分析： 由题意可得x=4a，y=﹣3a，r=5|a|，当a＜0时，r=﹣5a，代入三角函数的定义进行运算，综合两者可得答案．解答： ∵：∵角θ的终边过点P（4a，﹣3a）（a≠0），∴x=﹣4a，y=3a，r=5|a|．a＜0，r=﹣5a．cosθ==．故答案为：﹣．点评： 本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，本题解题的关键是求出r值，首先用绝对值来表示．12.如果的定义域为[-1,2]，则的定义域为

.

参考答案：[-,]13.如图是函数的部分图象，已知函数图象经过两点，则

．参考答案：由图象可得，∴，∴，∴．根据题意得，解得．

14.（5分）在△ABC中，有命题：①﹣=；②++=；③若（+）?（﹣）=0，则△ABC为等腰三角形；④若△ABC为直角三角形，则?=0．上述命题正确的是

（填序号）．参考答案：②③考点： 平面向量数量积的运算；向量的三角形法则．专题： 平面向量及应用．分析： 在△ABC中，有命题：①﹣=，即可判断出正误；②由向量的加法可知：++=，正确；③由（+）?（﹣）=0，可得，即可判断出正误；④虽然△ABC为直角三角形，但是没有给出哪一个角为直角，因此?=0不一定正确．解答： 在△ABC中，有命题：①﹣=，因此不正确；②++=，正确；③若（+）?（﹣）=0，则，因此△ABC为等腰三角形，正确；④若△ABC为直角三角形，没有给出哪一个角为直角，因此?=0不一定正确．综上可得：只有②③．故答案为：②③．点评： 本题考查了向量的三角形法则及其运算、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=

．参考答案：15考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列的前n项和公式求出前3项、前6项和列出方程求出首项和公差；利用等差数列的通项公式求出第9项．解答： 解：，解得，∴a9=a1+8d=15．故答案为15点评：本题考查等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式．16.函数为偶函数,定义域为,则的值域为_______________参考答案：略17.若向量与的夹角为30°，且的夹角的余弦值为。参考答案：

解析：设与的夹角为θ，则（1）

又

即：

即：（4）

∴将（2）（3）（4）代入（1）得三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是60cm与80cm，现在将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角，求出矩形面积的最大值。

参考答案：解：设，则，……4分-----------10分

-------------------------12分略19.探究函数的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…8.554.174.054.00544.0054.0024.044.354.87.57…请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．函数在区间（0，2）上递减；函数在区间[2，+∞）上递增．当x=2时，y最小=4（1）用定义法证明：函数在区间（0，2）递减．（2）思考：函数时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）参考答案：【考点】对勾函数．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】运用表格可得f（x）在区间[2，+∞）上递增．当x=2时，y最小=4．（1）运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（2）可由f（x）为R上的奇函数，可得x＜0时，有最大值，且为﹣4，此时x=﹣2．【解答】解：由表格可得函数f（x）=x+（x＞0）在区间（0，2）上递减；函数f（x）=x+（x＞0）在区间[2，+∞）上递增．当x=2时，y最小=4．（1）用定义法证明：设0＜x1＜x2＜2，f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣x2﹣=（x1﹣x2）（1﹣），由0＜x1＜x2＜2，可得x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，1﹣＜0，即有f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＜f（x2），则函数在区间（0，2）递减；（2）函数时，有最大值﹣4；此时x=﹣2．故答案为：[2，+∞），2，4．【点评】本题考查函数的单调性的判断和运用，考查函数的最值的求法，属于基础题．20.（16分）如图，已知扇形周长2+π，面积为，且|+|=1．（1）求∠AOB的大小；（2）如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧上变动．若=x+y，其中x、y∈R，求xy的最大值与最小值的和；（3）若点C、D在以O为圆心的圆上，且=．问与的夹角θ取何值时，?的值最大？并求出这个最大值．参考答案：考点： 平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义；弧度制的应用．专题： 平面向量及应用．分析： （1）设扇形的半径为r，∠AOB=θ．利用扇形面积计算公式与弧长公式可得，解得即可；（2）如图所示，建立直角坐标系．则A（1，0），B．设C（cosα，sinα）.．由于=x+y，可得，可得xy=+，即可得出最值．（3）设C（cosα，sinα），由=，可得D（﹣cosα，﹣sinα），由（2）可得：?=?（﹣cosα﹣1，﹣sinα）=﹣．由α∈[0，2π），可得∈，∈[﹣1，1]．可得?的最大值为，当=，取得最大值．此时=，=．再利用向量夹角公式可得cosθ==，即可得出．解答： （1）设扇形的半径为r，∠AOB=θ．∵扇形周长2+π，面积为，∴，解得．∴∠AOB=．（2）如图所示，建立直角坐标系．则A（1，0），B．设C（cosα，sinα）.．∵=x+y，∴，解得，∴xy=+=+=+，∵，∴∈．∴∈，∴xy∈[0，1]．∴xy的最大值与最小值的和为1．（3）设C（cosα，sinα），∵=，∴D（﹣cosα，﹣sinα），由（2）可得：?=?（﹣cosα﹣1，﹣sinα）=﹣=﹣﹣﹣==﹣．∵α∈[0，2π），∴∈，∴∈[﹣1，1]．∴?的最大值为，当=，即时，取得最大值．此时=，=．∴=，=，==．∴cosθ===，∴．∴与的夹角θ=，?的值最大为．点评： 本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、扇形的弧长与面积计算公式、三角函数化简与计算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k?2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围．参考答案：【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）由题意得方程组解出即可，（Ⅱ）将f（x）进行变形，通过换元求出函数h（t）的最值，从而求出k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=m（x﹣1）2﹣m+1+n∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1∵m＞0依题意得，即，解得∴g（x）=x2﹣2x+1，（Ⅱ）∵∴，∵f（2x）﹣k?2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，即在x∈[﹣3，3]时恒成立∴在x∈[﹣3，3]时恒成立只需令，由x∈[﹣3，3]得设h（t）=t2﹣4t+1∵h（t）=t2﹣4t+1=（t﹣2）2﹣3∴函数h（x）的图象的对称轴方程为t=2当t=8时，取得最大值33．∴k≥h（t）max=h（8）=33∴k的取值范围为[33，+∞）．22.2015年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值S，渠深为h，则水渠壁的倾斜角α（0＜α＜）为多大时，水渠中水的流失量最小？参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=+（0＜α＜），令u=，求出u取最小值时α的大小，可得结论．【