山西省忻州市育才中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析

山西省忻州市育才中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D∵集合有且只有一个元素，∴，∴实数的取值范围为.故选：D2.计算可采用如图所示的算法，则图中①处应填的语句是（

）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：本题关键是的理解，，因此应该选B．考点：程序框图．3.为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（

）A．相离

B．相交

C．相切

D．相切或相离参考答案：【知识点】点到直线的距离H2A解析：点M在圆内，故，圆心到直线的距离为：，即，故直线与圆相离．所以选A．【思路点拨】利用点到直线的距离公式求出，判断与的大小关系即可.4.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（

）

参考答案：B5.函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式xf（x）＞0在[﹣1，3]上的解集为（）A．（1，3） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0）∪（1，3） D．（﹣1，0）∪（0，1）参考答案：C【考点】3Q：函数的周期性．【分析】根据函数的周期性和奇偶性，求出当x∈[﹣1，3]上的解析式，结合图象将不等式转化为或，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，∵当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，∴f（﹣x）=﹣x﹣1，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣x﹣1=f（x），即当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣x﹣1，即在一个周期[﹣2，2]内，f（x）=，若x∈[2，4]，则x﹣4∈[﹣2，0]，即f（x）=f（x﹣4）=﹣（x﹣4）﹣1=﹣x+3，x∈[2，4]，作出函数f（x）在[﹣2，4]上的图象如图：则当x∈[﹣1，3]时，不等式xf（x）＞0等价为或，即1＜x＜3或﹣1＜x＜0，即（﹣1，0）∪（1，3），故选：C6.对一个容量为N的总体抽取容量n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽样时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则

A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.（09年宜昌一中10月月考文）设函数，对任意的实数﹑，有，且当时，，则在区间上

（

）

A．有最大值

B．有最小值

C．有最大值

D．有最小值参考答案：A8.已知双曲线的左、右焦点分别是，正三角形的一边与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率的值是A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.下列命题推断错误的是（）A．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题B．若p且q为假命题，则p，q均为假命题C．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件D．命题p：存在x0∈R，使得，则非p：任意x∈R，都有参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用原命题与逆否命题的真假关系判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；充要条件判断C的正误；命题的否定判断D的正误；【解答】解：对于A，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，它的逆否命题为真命题，所以A正确；对于B，若p且q为假命题，则p，q均为假命题，只要一个命题是假命题，命题就是假命题，所以B不正确；对于C，“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，满足充要条件，正确；对于D，命题p：存在x0∈R，使得，则非p：任意x∈R，都有．满足命题的否定形式，正确；故选：B．10.若是两条异面直线外的任意一点，则（

）

A．过点有且仅有一条直线与都平行

B．过点有且仅有一条直线与都垂直

C．过点有且仅有一条直线与都相交

D．过点有且仅有一条直线与都异面参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线l：y=kx+4（k≠±4）交双曲线C：x2﹣=1于A，B两点，交x轴于Q，交y轴于P，若，且，则k2=

．参考答案：4【考点】双曲线的简单性质．【分析】设及A、B两点的坐标，求得P，Q的坐标，利用，找到λ1和λ2与A、B两点的坐标和直线l的斜率的关系，再利用A、B两点是直线和双曲线的交点以及λ1+λ2=﹣，联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和代入法，化简整理，即可求出直线l的k2．【解答】解：l的方程：y=kx+4（k≠±4，且k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（﹣，0），P（0，4），∵，∴（﹣，﹣4）=λ1（x1+，y1）=λ2（x2+，y2），∴λ1==﹣，同理λ2=﹣，所以λ1+λ2=﹣﹣=﹣．即2k2x1x2+5k（x1+x2）+8=0．（*）又y=kx+4以及x2﹣=1，消去y得（3﹣k2）x2﹣8kx﹣19=0．当3﹣k2=0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3﹣k2≠0．由韦达定理有：x1+x2=，x1x2=﹣，代入（*）式得，2k2（﹣）+5k（）+8=0，解得k2=4，故答案为：4．12.已知圆截直线所得的弦的长度为为，则参考答案：2或6【考点】直线与圆的位置关系圆的标准方程与一般方程【试题解析】由题知：圆心（a，0），半径为2．

圆心到直线的距离为

又因为圆截直线所得的弦的长度为为，

所以或13.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为______．参考答案：略14.关于函数（a为常数，且a>0）对于下列命题：①函数f(x)的最小值为-1；

②函数f(x)在每一点处都连续；③函数f(x)在R上存在反函数； ④函数f(x)在x=0处可导；⑤对任意的实数x1<0,x2<0且x1<x2，恒有.其中正确命题的序号是_____________.参考答案：答案：①②⑤15.设函数（为常数，且）的部分图象如图所示，则的值是________.参考答案：【分析】先由周期求出ω，再由五点法作图求出φ的值．【详解】根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，可得?=+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×（﹣）+φ=0，∴φ=，故答案为：．【点睛】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法求出φ的值，属于基础题．16.已知函数，当时，函数的最大值为_______.参考答案：【分析】对函数进行求导，判断单调性，求出函数的最大值。【详解】因为，所以函数是上的增函数，故当时，函数的最大值为。【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，求函数的最大值问题。17.已知，是虚数单位，，．若是纯虚数，则

，的最小值是

．参考答案：－1,2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，在直角梯形中，是的中点，，，，．梯形（及其内部）绕所在的直线旋转一周，形成一个几何体．（Ⅰ）求该几何体的体积；（Ⅱ）设直角梯形绕底边所在的直线旋转角（）至.①当时，求二面角的正切值大小；②是否存在，使得若存在，求角的值，若不存在，请说明理由．参考答案：（1）；

（2）①取BC，DE的中点分别为F，G，旋转后有

，，

是所求二面角的平面角，求得②连，可证，中，

若，则，从而

解得，矛盾，故不存在.略19.已知椭圆W：（a＞b＞0）的上下顶点分别为A，B，且点B（0，﹣1）．F1，F2分别为椭圆W的左、右焦点，且∠F1BF2=120°．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；（Ⅱ）点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点．直线AE与直线y=﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．参考答案：解：（Ⅰ）依题意，得b=1．又∠F1BF2=120°，在Rt△BF1O中，∠F1BO=60°，则a=2．∴椭圆W的标准方程为．（Ⅱ）设M（x0，y0），x0≠0，则N（0，y0），E（，y0）．由点M在椭圆W上，则．即．又A（0，1），则直线AE的方程为．令y=﹣1，得C．又B（0，﹣1），G为线段BC的中点，则G．∴，．∵=1﹣y0﹣1+y0=0，∴．则∠OEG=90°．20.（本小题满分12分）

已知函数．（1）若函数在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，求实数a的值；（2）是否存在正整数a，使得在（，）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由．参考答案：解（1）∵在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，∴f′（x）＝3x2＋2ax－2，

……………2分f′（1）＝0，∴a＝－．………………6分（2）令f′（x）＝3x2＋2ax－2＝0．15分∵a是正整数，∴a＝2．…………………16分21.已知点点依次满足,.（1）求点的轨迹；（2）过点作直线与以为焦点的椭圆交于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程．参考答案：解：（1）设，，则，，由，得即代入得故点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆.（2）根据题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为①由题意设椭圆方程为②由直线与圆相切得，解得将①代入②得，设点的坐标为，点的坐标为，由根与系数的关系得又线段的中点到轴的距离为，所以即解得则椭圆方程为

略22.已知椭圆的离心率，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆交于A,B两点，在平面上是否