计算材料学概论

计算材料学第一章引言PerformanceCompositionStructureProcessingMicrostructure现代材料研究从某种意义上来说就是对微结构的研究。第一章引言微结构，是指横跨埃到米的空间尺度上所有热力学非平衡态晶格缺陷的集合。空间尺度：几个埃～几米。时间尺度:ps～几年。材料的研究目标之一：确定宏观性能与微观结构之间的关系。关键：确定和描述材料的晶格缺陷，以及晶格缺陷的静态和动态特性。第一章引言微结构的演变方向由热力学判断，而微结构实际的演变路径则由动力学原理决定。热力学非平衡机制会给出各种可能的、复杂的微结构。研究表明，这样的微结构不是平衡态，而是处于远离平衡的状态。正是这些非平衡状态，使得材料显示出各种独特性质。图1.1和图1.2给出了不同晶格缺陷所确立的微结构体系与其特征尺度之间的对应关系。图1.1计算材料学中的典型模拟方法所对应的空间和时间尺度示意图图1.2时间和空间特征尺度示意图(a)考察单元线度与所含原子数目的关系；(b)典型模拟问题对应的特征时间尺度第一章引言量化微结构的演化与微结构性质之间的关系？

微结构的演化微结构的性质实验模型第一章引言模型化和模拟方法的典型步骤：定义变量建立数学模型，并进行公式化处理自变量

因变量状态方程

演化方程第一章引言变量选择建立方程差分方程初始条件

边界条件由模型到数值求解的过程问题的解自变量

因变量状态方程

演化方程状态变量、状态方程、演化方程的合理选择是基于第一性原理的概念或者现象观测。这是模型化的基础，反映了研究者对于该问题所采取物理近似方法。第一章引言微结构模拟应该能针对技术应用中未曾研究过或未经实验检验的情况，给出对材料性质及其微结构演化的预言和理解。从头分子动力学和蒙特卡罗方法---------原子级别微结构的行为（材料物理）有限元方法----------大尺度结构问题（材料科学机械工程）计算材料学的研究对象跨度巨大。平均本构定律第一章引言模型的时间空间跨度大，在集成不同尺度的模型过程中有两种近似的方法。顺序集成法（串联）通过对空间和时间的离散化，采用非平均化方法在相对恰当的较小尺度模拟推知本构定律，应用于下一个尺度。随着模型尺度的增加唯象特征逐渐增加。同步集成法（并联）同一模型中不同区域采用不同的模拟方法，区域之间用过渡区进行连接。同时进行不同尺度的模拟。第一章引言许多模拟方法，是被限定在某一特定的空间和时间尺度范围内。这些方法应用其特定的场合，可以揭示出内禀物理标度参数，例如分子动力学方法和某些蒙特卡罗方法。与之相反，大多数在介观尺度上的模型是连续体近似方法，也就是它们没有内禀性标度，从而显示了跨越不同时间及长度标度之间模拟的较大可能性。从这个意义上说，各种晶体塑性有限元法、元胞自动机、位错动力学、晶界动力学，以及多态波茨模型都是特别重要的方法。第一章引言有限元方法是通过给定合理边界条件和初始值，提供一种近似求解耦合偏微分方程组的途径。传统上讲，这种方法局限于在宏观层次借助平均性质定律和平衡条件及相容性条件，求解弹性和简单塑性的一些问题。然而，通过引入改进的性质(本构)定律(亦即晶体塑性要素)，使有限元法可以用于在介观层次处理有关材料的不均匀性。这种趋势表明，有限元法可以用来模拟处理从宏观尺度到介现尺度的相关问题。波茨模型，是一种根植于随机性Metropolis蒙特卡罗方法。利用广义自旋数来描述由等自旋元胞所构成的各个离散化区域，可以把蒙持卡罗算法推广应用于处理界面问题。这种方法可以用于从微观尺度到介观尺度的处理。第二章材料中的模型化与模拟2.1模型化的基本思想Rosenblueth和wiener在1945年曾指出，科学研究的根本目的在于认识世界、改造世界。科学抽象意味着借助模型来研究现实世界某一方面的规律。设计和建立模型的过程被认为是模型化中的基本步骤和最重要的环节。模型是将真实情况简单化处理，建立一个反映真实情况本质特征的模型，并进行公式化描述。2.1模型化的基本思想如何建立模型？下面将讨论关于模型化概念的一些基本思路，并重点介绍广义态变量的概念。广义态变量方法是Argon和Kocks等人在1975年处理塑性本构模型的过程中引入的。从态变量的意义上讲，建立模型就是建立相应的状态及其演化方程。作为一个工具，状态方程的概念可用于在不同尺度范围内设计模型的基本结构。第二章材料中的模型化与模拟2.2广义态变量2.2.1大于原子尺度的模型化概念就建立微结构演化模型来说，最好的方法可能就是分别求解我们所研究材料的所有原子的运动方程；这一方法能给出所有原子在任一时刻的位置坐标和速度，也就是说，由此可预测微结构的时间演化。在这种模拟方法中，构造模型所需要的附加经验性条件越少，其对原子之间相互作用力的描述就越详尽。2.2.1大于原子尺度的模型化概念为了获得关于微结构的合理而简单的模型，首先要对所研究的真实系统进行实验观察，由此推导出合乎逻辑的、富有启发性的假说，或者据此推出理论上进行从头计算的依据。根据已获得的物理图像，通过包括主要物理机制在内的唯象本构性质，就可以在大于原子尺度的层次上对系统特性进行描述。唯象构想只有转换成数学模型才有实用价值。采用基于所谓“广义态变量概念”的方法，这一转换过程要求定义或恰当选择相应的自变量(独立变量)、态变量(因变量)。并进而确立运动方程、状态方程、演化方程、物理参数、边界条件和初值条件，以及对应的恰当算法。关于变量和方程的这样一个唯象理论的基本框架，就构成了众多微结构模型的基础。步骤内容1定义自变量，例如空间和时间。2定义因变量，亦即强度和广延因变量或隐含和显含因变量，例如温度、位错密度、位移及浓度等。3建立运动学方程，亦即在不考虑实际作用力时，确定描述质点坐标变化的函数关系。例如，在一定约束条件下，建立根据位移梯度计算应变和转动的方程。4确立状态方程，亦即从因变量的取值出发，确定描述材料实际状态且与路径无关的函数。5演化方程，亦即根据因变量值的变化，给出描述微结构演化的且与路径有关的函数关系。6相关物理参数的确定。7边界条件和初值条件。8确定用于求解由步骤1～7建立的联立方程组的数值算法或解析方法。表2.1材料科学中对数学模型进行公式化的基本步骤2.2.2自变量一般把时间和空间坐标x＝(x1,x2,x3)作为自变量。分子动力学演变轨迹原子离散位错动力学材料的行为和特性位错(2D)位错结(3D)晶体塑性有限元各部分的应力应变状态单元2.2.3态变量和因变量态变量是自变量的函数。因变量的取值决定了系统在任一时刻所处的状态。在经典热力学中，态变量分为广延变量(与质量成正比)和强度变量(与质量无关)。在微结构力学中，还经常作进一步的区分：显含态变量：表示占有空间的微结构性质的一类量，诸如粒子或晶粒大小。隐含态变量：表示了介观平均值或宏观平均值。在用有限元方法计算微结构的性质时，后一类态变量具有特别的实用性。材料模型中的态变量常被看作是依赖于时间和空间的张量变量。2.2.4运动学方程对固体来说，运动学方程常用于计算一些相关参数。例如，应变、应变率、刚体自转，以及在考虑到外部与内部约束条件时晶体重新取向率。运动学约束条件常常是由样品制造过程和研究时的实验过程所施加的。例如，在旋转的时候，材料中任何近表面的部分不容许有垂直于旋转平面的位移。2.2.5状态方程状态方程是与路径无关的函数。把物性与态变量的实际取值联系起来(参见表2.2)，诸如电阻、屈服应力、自由焓等。状态方程提供了如何根据恰当的态变量值来计算材料性质的基本方法。通常，微结构状态方程可以把材料关于态变量取值引起的内部和外部变化的响应定量化。不同的状态方程表示了材料的不同特性。对于液体、弹塑性刚体、粘塑性材料和蠕变固体来讲，其屈服应力对位移的依赖关系是完全不同的。状态方程的典型例子有：分子动力学中互作原子间的势函数，位错动力学中的弹性胡克定律，聚合物力学中的非线性弹性定律，本征塑件定律中的屈服应力与位错密度之间的关系。以及Ginzburg-Landau模型和与其相关的微结构相场模型中的自由能函数。状态参数状态变量状态方程应力屈服应力屈服应力互作用原子势互作用原子势自由能应变或位移均匀位错密度，Taylor因子在元胞壁和元胞内的位错密度互作用原子间距原子间距和角位置原子或波色子浓度胡克定律Kocks-Mecking模型中的Taylor方程高级双参数和叁参数塑性统计模型球对称互作用原子对势函数紧束缚势Ginzburg-Landau模型中的Landau形式自由能表2.2计算材料学中状态方程的例子2.2.6结构演化方程自变量----------态变量值(测量)

自变量----------态变量值（建立模型方程）

“演化方程”或“结构演化方程”。对这些方程，可以不断地更新其态变量作为自变量函数的值，实现对结构演化的模拟。微结构有的基本特征在于其处于热力学非平衡态，也就是说演化控制方程是与路径有关的，不是状态方程。因此，演化方程通常不能写成全微分形式。典型的结构演化方程有：分子动力学和位错动力学中的牛顿运动定律，以及经典速率方程诸如热方程和扩散方程。2.2.7各种参数状态方程的态变量具有以各种参数为基础的加权平均性质．并要求具有一定的物理意义和经得起实验或理论的检验。要确定各种恰当的参数并具体给出它们的正确取值都是非常艰难的事情。尤其是对于介观尺度上的材料模拟。在介观尺度上，各参数的取值还将依赖于其他参量，并且与态变量本身有关。这就意味着，在构成态方程的要素中包含有非线性因素，并与其他态方程组成耦合方程组。此外，许多材料参数对状态方程都具有较强的直接影响，比如在热激活的情况下，其参数与变量之间是指数函数。例如，晶(粒边)界运动的活化能出现于指数项中，并强烈地依赖于近邻晶粒之间的取向偏差、晶界平面的倾角和晶界处杂质原子的浓度。广义态变量方法给出的模型化与模拟过程方框图2.2.8解析模型与数值模型上面讨论模型化概念的时候并没涉及关于求解各类控制方程组的技术细节。在不使用数值方法的情况下，可以采用大量较为简单的统计模型进行处理。然而，对于微结构动力学离散化模型，大多都含有大量的耦合微分方程组，以至于我们在实际应用中必须应用数值方法这一工具。从这个意义上说：初始的几乎全部为解析式的数学模型并不严格地等同于其数值模型。根据构成解析表达式的基础问题可以推知，与之对应的数值解法的精确性依赖于一系列参数，例如：截断误差、级数展开误差、离散化(积分，微分)与统计处理、各态历经假说以及程序设计等引入的误差。2.3数值模型化与模拟前面讨论的一些想法部属于模型构造(或模型设计)的范畴。模型化的第二层意思，就是与模型相联系的有关控制方程的数值解法。这一过程常被定义为“数值模型化”，或称之为“模拟”。其含义都是指“关于一系列数学表达式的求解”；亦即通过一系列路径相关函数和路径无关函数，以及恰当的边界条件和初值条件，可以把构造模型的基础要素定量化。尽管数值模型化和模拟两者从根本上说的是同一件事情，但是在使用中二者常常会以有区别的方式出现。2.3数值模型化与模拟一般而言，我们把“数值模型化”的概念理解为建立模型和构造程序编码的全过程，而“模拟”一词则常用于描述“数值化实验”。根据这样的理解，模型化是由唯象理论及程序设计的所有上作步骤构成；而模拟所描述的则仅仅是在一定条件下的程序应用，这里的“条件”是指包括全部实际过程中所需参数的条件，也可以指不同的边界条件和初始条件。2.3数值模型化与模拟微结构模拟，是通过求解在空间和时间高度离散化条件下反映所考虑的基本晶格缺陷(真实的物理缺陷)或准缺陷(人工微观系统组元)行为特性的代数型、微分型或积分型方程式，给出关于微观或介观尺度上多体问题公式化模型的数值解。因此，微结构模拟可以解释为是关于在晶格缺陷或准晶格缺陷层次上对微结构演化进行数值预测的工具。微结构数值(或解析)模型化，是指通过在时间高度离散化而空间离散化程度低的情况下关于整个晶格缺陷系综的代数型、微分型和积分型控制方程式的求解，给出宏观模型的数值(或解析)解。2.3数值模型化与模拟当在同一尺度层次上应用于处理同一物理问题时，数值模型化一般要比模拟速度快，这就是说，数值模型化可以包括更大的空间尺度和时间尺度。数值模型化的这一优势是非常重要的，尤其在工业应用方面这一优势更为突出。然而，由于数值模型化通常在空间上离散化程度较低，所以在定域尺度上其预测能力差。2.4模型的基本范畴2.4.1空间尺度根据不同的近似精度，可以对微结构模型进行分类(见表2.3)。通常，把模型简单地按照其所使用的特征尺度来划分。若按照比较粗的空间分法，可把模型分为四类，即宏观模型、介观模型、微观模型和纳观模型。宏观一词与材料样品的几何形状及尺寸相联系，介观对应于晶粒尺度上的晶格缺陷系综，微观则相当于晶粒尺度以下的晶格缺陷系综，而纳观是指原子层次。当然，这种关于空间的划分及其定义具有相当的随意性。分类的依据模型种类空间尺度空间维度空间离散性预测性特征描述性特征路径相关性宏观，介观，微观，纳观一维，二维，三维连续体，原子论确定性的，随机性/概率性的，统计学的第一性原理，唯象的，经验性的动态的，静态的表2.3模拟的特征性质2.4.2空间维度关于模型分类的第二个可行的方法，就是根据模型的空间维度(即一维、二维和三维)来划分。在计算材料学中，二维和三维模型较为流行。它们之间的差异对其结果的合理解释是至关重要的。例如，对于包含滑移且具有一定几何形状的系统，以及位错相互作用系统，我们不能用二维模拟方法进行处理，而只能采用三维模拟方法。对于有限元模拟方法，分别由二维和三维模型获得的预测结果之间的差别也是不可忽略的。例如，在对轧制过程的二维有限元法模拟中，板材的横向增宽一般可以忽略不计。当把位错动力学从二维推广到三维时，我们能够正确描述位错增殖效应、亦即Frank-Read(位错)源或极的激活机制，而这在二维模拟中是不可能的。2.4.3空间离散化与空间的离散化程度有关系的情况，可以分成两类以示区别，即连续体模型和原子论模型(见表2.3)。连续体模型是在考虑了唯象和经验本构方程及平衡性、相容性和守恒定律所附加的约束条件下，建立起通常宏观情况下描述材料响应特性的微分方程，并由此微分方程求出单个原子的平均性质。连续体模型的典型例子有：经典有限元模型，多晶体模型，自洽方法，确定性元胞自动机。位错动力学方法，拓扑顶点模型，以及相场模型。如果要获得微结构性质更为详细的预测信息，则连续体模型将代之为原子论模型。原子论模型可给出更好的空间分辨率，与连续体模型相比，原子论模型包含有较少的唯象假说。2.4.3空间离散化原子论模型的典型例子有经典分子动力学和蒙特卡罗方法。与经典分子动力学方法相比，现代原子论方法由于更多地采用真实势函数，以及计算机能力的显著提高，其发展势头非常强劲。实际上，基于第一性原理的从头计算模型，其主要目的在于对有限数目的原子的薛定鄂方程给出近似解。通过分子动力学与紧束缚近似或者局域密度泛函理论相结合，以及通过变分量子蒙特卡罗方法，可以演绎出各种不同的从头计算方法。就微结构演化的计算来讲，大多数基于第一性原理的模型在数值处理方面，仍然是非常慢的。然而，它们在关于材料的基本物性、基本结构及简单晶格缺陷行为特性的预测方面，其重要性在逐渐增加。2.4.4预测性特征关于模型的另一种可行的分类方法就是基于其预测性特征。确定性模型，就是基于把一些代数方程或微分方程作为静态方程和演化方程，以明确严格的模拟方式描述微结构的演化。随机性模型，就是使用概率方法对微结构的演化进行模拟描述。建立随机性模型的最初目的在于采用一系列随机数去完成大量的计算机实验，从而实现对正则系综的模拟。随着把对磁畴计算的伊辛模型扩展为可以采用等自旋磁畴来模拟界面的多态波茨模型。随机性模型在微结构空间离散化模拟方面的推广应用有了很大发展。波获(Potts，1952年)模型，Metropolis(1953年)蒙特卡罗方法和概率性元胞自动机(Grassberger等人，1984；Kinzel，1985)都是常规随机性模型的典型例子。2.4.4预测性特征统计模型最典型的特征之一就是空间非离散化。最有名的塑性统计运动学模型是由Argon、Kocks和Ashby等人在1975年建立的。高级微结构本征模型的典型例子有属于运动学理论范畴的现代方法，它包括了更为复杂的演化机理和带有各相关微结构参数的状态动力学方程。此外，人们还提出了一些关于非线性和随机性结构演化的新理论，赋予原来的模型以更多的物理意义，同时也显示了与塑性不稳定性的实验结果有更好的一致性。2.4.5描述性特征通过区分第一性原理、唯象和经验等几个概念，我们可以给出关于模型分类的另一种方案。第一性原理模型，其目的在于通过最少的假说与唯象定律，获得构成所研究系统的根本特性和机理。其典型例子就是基于局域密度泛函理论的模拟方法。显然，即使是第一性原埋模型，也一定含有一些既无法说清其根源也无法证明其正确性的假说。例如在通常原子尺度上，基于局域密度泛函理论的模拟方法，其中暗含着使用了绝热波恩-奥本海默近似。2.4.5描述性特征计算材料学中的大多数模拟方法部是唯象的，亦即它们使用了必须与某些物理现象相符合的状态方程及其演化方程。在这些方法中，大多数原子的详细信息诸如电子结构，通常是在考虑了晶格缺陷的情况下平均给出的。经验性方法可以在要求的精度范围内，从数学角度给出与实验结果相吻合的结论。因此，它们一般不含有晶格缺陷的行为特性。然而，唯象模型公式化的过程可以看作是一个基本的步骤，在其中必须确定哪些态变量对系统性能有较强的影响，哪些态变量对系统的影响较弱，但在经验性模型中不区分重要的和不重要的贡献。因此，唯象模型具备一定的预测能力，而经验性方法在实际的预测中没有什么实用价值。引入模糊集合理论和人上神经网络方法，使经验性方法的应用情况得到了改善。2.4.6路径相关性模型可以集中于考虑静态方面，也可