山西省忻州市合索联合学校高二数学文联考试卷含解析

山西省忻州市合索联合学校高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是A.

B.4

C.2

D.2参考答案：B2.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265，②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、④都可能为分层抽样 B．①、③都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样 D．②、③都不能为系统抽样参考答案：A【考点】系统抽样方法．【分析】根据题意，结合三种抽样方法得到数据的特点是：系统抽样方法得到的数据每个数据与前一个的差都为27，分层抽样方法得到的数据在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；依次分析四组数据，判断其可能的情况，即可得答案．【解答】解：①在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；②在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；同时，每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，可能是系统抽样得到的；③一定不是系统抽样和分层抽样；④在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；同时，每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，可能是系统抽样得到的；故选A．【点评】本题考查了抽样方法的判定问题，解题时应熟悉常用的几种抽样方法是什么，各种抽样方法的特点是什么，是基础题．3.在复平面内，复数z满足（3－4i）z=|4+3i|（i为虚数单位），则z的虚部为 A．-4

B． C．4

D．参考答案：D略4..已知为虚数单位，且，则的值为A．4

B．

C．

D．参考答案：D略5.若函数在内有极小值,则A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.已知为等比数列，，则（

）A．7

B．5

C．

D．参考答案：D7.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断．【解答】解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；故选C．8.过点（2,1）的直线中，被圆截得弦长最长的直线方程为（

）A. B. C. D.参考答案：A略9.一个质点在如图所示的平面直角坐标系中移动，每秒移动一步，第一个四步：第一步，从原点出发向右移动一个单位长度，第二步，向上移动一个单位长度，第三步，向左移动一个单位长度，第四步，向上移动一个单位长度，第二个四步：与前四步方向一致，但移动长度都增加一个单位长度．第三个四步：与前四步方向一致，但移动长度都增加一个单位长度，照此规律，该质点第101秒所在的坐标为（）A．（25，625） B．（25，650） C．（26，625） D．（26，650）参考答案：D【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由题意，前四秒质点向上移动了2个单位长度，第五至八秒，质点向上移动了4个单位长度，第三个四步：与前四步方向一致，但移动长度都增加一个单位长度，照此规律，由101=4×25+1，能求出该质点第101秒所在的坐标．【解答】解：由题意，前四秒质点向上移动了2个单位长度，第五至八秒，质点向上移动了4个单位长度，第三个四步：与前四步方向一致，但移动长度都增加一个单位长度，照此规律，由101=4×25+1，该质点第101秒所在的坐标为：（26，），即（26，650）．∴该质点第101秒所在的坐标为（26，650）．故选：D．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，关键是分类讨论“移动4次又回到原点”的可能情况，考查学生分析解决问题的能力，考查函数的性质及应用，是中档题．10.已知a=(3,2),b=(-1,y),且a⊥b,则y=(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线f（x）=2x2﹣3x在点（1，f（1））处的切线方程为

．参考答案：x﹣y﹣2=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先由解析式求出f（1）和f′（x），再求出f′（1）的值，代入直线的点斜式再化为一般式方程．【解答】解：由题意得，f（1）=2﹣3=﹣1，且f′（x）=4x﹣3，则f′（1）=4﹣3=1，∴在点（1，﹣1）处的切线方程为：y+1=1（x﹣1），即x﹣y﹣2=0，故答案为：x﹣y﹣2=012.用数学归纳法证明

（）时，第一步应验证的不等式是

．参考答案：48013.若等比数列满足，则前项=_____；参考答案：；略14.已知圆交于A、B两点，则AB所在的直线方程是________________________.

参考答案：2x+y=0略15.在中，已知，则

．参考答案：略16.（5分）对于函数f（x），在使f（x）≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数f（x）的“下确界”，则函数的下确界为

．

参考答案：设函数y=，则（y﹣1）x2+2yx+y﹣1=0．当y﹣1≠0时，△=4y2﹣4（y﹣1）（y﹣1）≥0，解得且y≠1．当y﹣1=0时，x=0成立，∴．∴函数的下确界为0.5．故答案为：0.5．利用判别式法求函数的下确界．17.已知p：对，

恒成立；q：关于的方程有实数根；如果为真，为假，则实数的取值范围是______________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点，求直线PQ的斜率.参考答案：（1）（2）或【分析】（1）由题得到关于a,b,c的方程，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，线段的中点为，根据，得，解方程即得直线PQ的斜率.【详解】(1)因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值.所以，所以，故椭圆C的方程为:.（2）设直线的方程为，当时，代入，得:.设，线段的中点为，，即因为，则，所以，化简得，解得或，即直线的斜率为或.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，|BC|=2|AC|．（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使，请给出证明．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆的方程为：=4，由已知易得△AOC是等腰直角三角形，进而求出C点坐标，代入求出b2的值后，可得椭圆的方程．（2）设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为﹣k，联立PC与椭圆方程，结合C在椭圆上，求出求xP=，同理xQ=，代入斜率公式可得kPQ=，由对称性求出B点坐标，可得kAB=，即kPQ=kAB，即与共线，再由向量共线的充要条件得到答案．【解答】解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则A（2，0），设所求椭圆的方程为：=4（0＜b＜1），由椭圆的对称性知|OC|=|OB|，由?=0得AC⊥BC，∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐标为（1，1），∵C点在椭圆上∴=4，∴b2=，所求的椭圆方程为x2+3y2=4．（Ⅱ）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为﹣k，直线PC的方程为：y=k（x﹣1）+1，直线QC的方程为y=﹣k（x﹣1）+1，由得：（1+3k2）x2﹣6k（k﹣1）x+3k2﹣6k﹣1=0（*）∵点C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为，设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），xP=，同理xQ=，kPQ==而由对称性知B（﹣1，﹣1），又A（2，0），∴kAB=，∴kPQ=kAB，∴与共线，且≠0，即存在实数λ，使=λ．20.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？参考答案：解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1﹣）万元，，第n年投入为800×（1﹣）n﹣1万元．所以，n年内的总投入为an=800+800×（1﹣）++800×（1﹣）n﹣1==4000×[1﹣（）n]；（3分）第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+）万元，第n年旅游业收入为400×（1+）n﹣1万元．所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400×（1+）+…+400×（1+）n﹣1==1600×[（）n﹣1]．（6分）（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn﹣an＞0，即1600×[（）n﹣1]﹣4000×[1﹣（）n]＞0．化简得5×（）n+2×（）n﹣7＞0，（9分）设x=（）n，代入上式得5x2﹣7x+2＞0，解此不等式，得，x＞1（舍去）．即（）n＜，由此得n≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入略21.我市“金牛”公园欲在长、宽分别为34m、30m的矩形地块内开凿一“挞圆”形水池（如图），池边由两个半椭圆和（）组成，其中，“挞圆”内切于矩形且其左右顶点A，B和上顶点C构成一个直角三角形ABC．（1）试求“挞圆”方程；（2）若在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，则该网箱水面面积最大为多少？参考答案：解：（1）由题意知解得所以“挞圆”方程为：和.（2）设为矩形在第一象限内的顶点，为矩形在第二象限内顶点，则解得 ，所以内接矩形的面积，当且仅当时取最大值510.答：网箱水面面积最大510.

22.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=．（Ⅰ）证明：a、c、b成等差数列；（Ⅱ）求cosC的最小值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及三角函数恒等变