山西省忻州市河边中学2022-2023学年高三数学文月考试题含解析

山西省忻州市河边中学2022-2023学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据(x,y)分别为(2,1.5)，(3,4.5)，(4,5.5)，(5,6.5)，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（

）A.8年 B.9年 C.10年 D.11年参考答案：D【分析】根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案.【详解】依题意在回归直线上，，由，估计第年维修费用超过15万元.故选:D.【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.2.已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝－，则a与b的夹角为A．

B．

C．

D．参考答案：B3.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2参考答案：B【考点】3T：函数的值．【分析】利用分段函数的性质和对数的运算法则求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log24=﹣2．故选：B．4.是虚数单位，复数等于

A．

B．

C．

D．参考答案：D5.将函数的图像按向量平移后，所得图像解析式是A、

B、C、

D、参考答案：答案：A解析：∵按向量平移，即是左移个单位，下移个单位，∴

平移后为

故：选A；

6.执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（

）A．

B．－1或1

C．1

D．－1参考答案：D7.已知复数z满足（i是虚数单位），则=（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由，得，．故选：A．8.若点满足不等式，则的最大值是（）A. B. C.2 D.﹣2参考答案：C【分析】由不等式组画出可行域，再利用目标函数的几何意义为可行域内任意一点与定点连线的斜率，进而求解。【详解】由约束条件画出可行域如图，的几何意义为可行域内动点与定点连线的斜率，由图可知在与交点处，斜率最大，点，所以其最大值为．故选：C．【点睛】本题考查线性规划问题，还考查了利用目标函数的几何意义求最值，重点考查学生数形结合的思想，属于中档题。9.设a、b、c为非零实数，且，则（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.【详解】，故，，故正确；取，计算知错误；故选：C.【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.10.函数y＝sin(2x＋)的图象可由函数y＝sin2x的图象

A．向左平移个单位长度而得到

B．向右平移个单位长度而得到C．向左平移个单位长度而得到

D．向右平移个单位长度而得到参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某篮球运动员在5场比赛中得分的茎叶图如图所示，则这位球员得分的平均数等于________．参考答案：1512.函数图像上一个最高点为,相邻的一个最低点为,则

参考答案：13.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则的最大值为

。参考答案：614.在△ABC中，已知AB=8，AC=6，点O为三角形的外心，则=

．参考答案：14【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可分别取AB，AC的中点D，E，并连接OD，OE，据条件即可得出OD⊥AB，OE⊥AC，而，代入进行数量积的计算即可求出该数量积的值．【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：OD⊥AB，OE⊥AC；∴=====32﹣18=14．故答案为：14．15.已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，则A∩Z中元素的个数为

▲

．参考答案：416.不等式的解集为___________．参考答案：；易得不等式的解集为.17.如右图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题14分）如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，为中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若，求三棱锥的体积.参考答案：见解析【考点】空间几何体的表面积与体积垂直平行【试题解析】解（Ⅰ）设，连结，∵为中点，为中点，∴∥．

又∵平面，平面，

∴∥平面．

（Ⅱ）连结，∵,为中点，∴．

又∵底面为菱形，∴.

∵,

∴平面.

又∵平面,

∴平面平面.（Ⅲ）

．19.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）先证明AB⊥AC，然后以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则能写出各点坐标，由与共线可得D（λ，0，1），所以?=0，即DF⊥AE；

（2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos＜，＞|=，解出λ的值即可．解答： （1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC?面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），则

D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），∵=（0，1，），∴?==0，所以DF⊥AE；

（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．理由如下：设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，∵=（，，），=（，﹣1），∴，即，令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜，＞|==，即=，解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．点评：本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．20.（本题满分12分）如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱的中点，为的中点．（1）求证：；（2）求直线到平面的距离；（3）求二面角的正切值．参考答案：【知识点】点到面的距离

二面角

G11（1）略；（2）；（3）.(1)证明:连结,则，又∵,∴平面,∴,而,∴.

(2)取中点为,连结则,∴.

过作直线于点,则平面,∴就是直线到平面的距离.在矩形中,∴在中,直线到平面的距离.

(3)过作于点,则平面,

过作于点,连结,则∴即为所求二面角的平面角,

在中,为中点,∴,在中,.所以二面角的正切值为.【思路点拨】(1)连结,证明平面,∴,而,∴；（2）取中点为,连结则,∴.过作直线于点,则平面,∴就是直线到平面的距离；（3）过作于点,则平面,过作于点,连结,则则即为所求二面角的平面角,即可求得.21.已知f（x）=cos2（﹣x）﹣（cosx﹣sinx）2﹣．（1）求f（x）的单调区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，且a=1，求△ABC周长的最大值．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin2x﹣，利用正弦函数的单调性即可得解．（2）由题意知，可求，利用正弦定理可求，，从而利用三角函数恒等变换的应用化简可求a+b+c=2sin（B+）+1，由范围，可求，利用正弦函数的性质可求其最大值．【解答】解：（1）=，∴由，得其增区间为：；由，得其减区间为：．（2）∵由题意知，∴．又由正弦定理，知：，，则△ABC的周长为=．由，知：，则有，，∴△ABC的周长的最大值为3．22.设不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数的值域．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）依题意，通过解绝对值不等式|x﹣2|＞1可求其解集，从而可知x2﹣ax+b=0的解，由韦达定理可求得a，b的值；（Ⅱ）通过导数法可求得f（x）=4+3的最大值，以及取得最大值时x的值．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣2|＞1，∴x＞3或x＜1．∴不等式|x﹣2|＞1的解集为{x|x＞3或x＜1}；∵不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax+b＞0的解集相同，∴1和3是方程x