山西省忻州市杨芳学校2023年高三数学文联考试题含解析

山西省忻州市杨芳学校2023年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由2x<1得x<0，由“x3<1”得x＜1，x<0是x＜1的充分不必要条件则“2x<1”是“x3<1”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．2.如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有(

) A．11种 B．20种 C．21种 D．12种参考答案：C考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解答： 解：根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4﹣1=3种情况，对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的8﹣1=7种情况，则电路接通的情况有3×7=21种；故选C．点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的条件．3.已知，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为：（A）①③

（B）①④

（C）②④

（D）②③参考答案：4.

设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为

(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：A5.已知函数是上的奇函数.当时，，则

的值是（

）。A.3

B.-3

C.-1

D.1参考答案：B6.设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t）成立，则函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个不可能是（）A．f（﹣1） B．f（1） C．f（2） D．f（5）参考答案：C【考点】二次函数的性质．【分析】由题设知，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2．a＞0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（2）．a＜0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（﹣1）和f（5）．【解答】解：∵对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t）成立，∴函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，当a＞0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（2）．当a＜0时，函数值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一个是f（﹣1）和f（5）．故选B．7.下图是一个算法的程序框图，当输入值为10时，则其输出的结果是（

）A．

B．2

C．

D．4参考答案：D8.从8名女生4名男生中，选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为

参考答案：C略9.设是两个命题：，则是的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：A解析：p：，q：，结合数轴知是的充分而不必要条件，选A10.由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()．A.

B．4

C.

D．6参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，点P为⊙O的弦AB上一点，且AP=16，BP=4，连接OP，作PC⊥OP交圆于C，则PC的长为

．参考答案：8考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：由已知得PC2=AP?PB=16×4=64，由此能求出PC的长．解答： 解：∵点P为⊙O的弦AB上一点，且AP=16，BP=4，连接OP，作PC⊥OP交圆于C，∴PC2=AP?PB=16×4=64，∴PC=8．故答案为：8．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相交弦定理的合理运用．12.一投资者在甲、乙两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x（万元）分别服从正态分布甲：N（8，32）和乙：N（6，22），投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择的方案是

参考答案：答案：甲13.已知集合A={4}，B={1，2}，C={1，3，5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为▲

.（

）

▲

参考答案：33

14.函数的最小正周期为

.参考答案：15.已知，若函数的最小值为1，则_______．参考答案：略16.已知在等差数列中，满足则该数列前项和的最小值是

.参考答案：-3617.已知三棱锥O－ABC，∠BOC＝90°，OA⊥平面BOC，其中AB＝，BC＝，AC＝，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为________．参考答案：14π三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知数列是首项为２，公比为的等比数列，为的前项和.

（1）求数列的通项及；

（2）设数列是首项为－２，第三项为２的等差数列，求数列的通项公式及其前项和.参考答案：∴

∴------9分

设数列的前ｎ项和为

则

∴.…………13分

19.（本小题满分15分）

已知（1）若时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（3）令是否存在实数，当是自然对数的底）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。参考答案：（1）当时，

∴

…………1分∴……2分∴函数在点处的切线方程为…3分（2）∵函数在上是减函数∴在上恒成立

…………4分令，有得

…………6分∴

…………7分（3）假设存在实数，使在上的最小值是3

…………8分1

当时，，∴在上单调递减，（舍去）

…………10分2

当时，即，在上恒成立，∴在上单调递减∴，（舍去）

…………11分3

当时，即，令，，，∴在上单调递减，在上单调递增∴，满足条件

……13分综上所述，存在实数，使在上的最小值是3……14分20.已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值﹣2（I）求函数f（x）的解析式并讨论单调性（II）证明对任意x1，x2∈（﹣1，1），不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）由奇函数的定义利用待定系数法求得d，再由x=1时f（x）取得极值﹣2．解得a，c从而确定函数，再利用导数求单调区间和极大值．（II）由（I）知，f（x）=x3﹣3x（x∈[﹣1，1]）是减函数，从而确定|f（x1）﹣f（x2）|最小值，证明即可．【解答】解：（I）∵f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）可得d=0，∴f（x）=ax3+cx…f'（x）=3ax2+c，当x=1时f（x）取得极值﹣2，则，解得，故所求解析式为f（x）=x3﹣3x．因此，f（x）=x3﹣3x，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）f'（﹣1）=f'（1）=0当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（﹣∞，﹣1）上是增函数，当x∈（﹣1，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在单调区间（﹣1，1）上是减函数，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数，∴f（x）单调递增区间（﹣∞，﹣1），（1，+∞）单调递减区间（﹣1，1）；（II）证明：由（1）知，f（x）=x3﹣3x（x∈[﹣1，1]）是减函数，且f（x）在[﹣1，1]上的最大值M=f（﹣1）=2，f（x）在[﹣1，1]上的最小值m=f（1）=﹣2所以，对任意的x1，x2∈（﹣1，1），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜M﹣m=2﹣（﹣2）=4，∴不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立．21.

某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．

（I）若治安满意度不低于分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；

（II）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极安全”的人数，求的分布列及数学期望．参考答案：22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型：以表示第个时刻进入园区的人数；以表示第个时刻离开园区的人数．设定以分钟为一个计算单位，上午点分作为第个计算人数单位，即；点分作为第个计算单位，即；依次类推，把一天内从上午点到晚上点分分成个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天点至点这一小时内，进入园区的游客人数、离开园区的游客人数各为多少？（2）从点分（即）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．参考答案：【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.【知识内容】（1）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.（2）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.【参考答案】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为（人）…3分离开园区的人数（人）

………………6分（2）当时，园内游客人数递增；当时，园内游客人数递减．