山西省忻州市杨芳学校2021年高三数学理联考试卷含解析

山西省忻州市杨芳学校2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的最小值和最大值分别为（

▲

）A.3，1

B.2，2

C.3，

D.2，参考答案：C略2.已知下列四个命题：

①底面积和高均相等的柱体体积是锥体体积的3倍：

②正方体的截面是一个n边形，则n的是大值是6;

③在棱长为1的正方体中，三棱锥的体积是；

④6条棱均为的四面体的体积是

其中真命题的序号是(A)①②③

(B)①②④

(C)①③④

(D)②③④参考答案：B3.（6）下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[20,30）内的概率为（A）0.2

（B）0.4（C）0.5

（D）0.6参考答案：B．4.下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C在定义域上是奇函数，但不单调。为非奇非偶函数。在定义域上是奇函数，但不单调。所以选C.5.已知m、n、s、t∈R*，m+n=4，+=9其中m、n是常数，且s+t的最小值是，满足条件的点（m，n）是双曲线﹣=1一弦的中点，则此弦所在直线方程为（）A．x+4y﹣10=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．4x+y﹣10=0 D．4x﹣y﹣6=0参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题设中所给的条件，求出点（m，n）的坐标，由于此点是其所在弦的中点，故可以用点差法求出此弦所在直线的斜率，再由点斜式写出直线的方程，整理成一般式即可．【解答】解：由已知得s+t=（s+t）（+）=（m+n++）≥（m+n+2）=（+）2，由于s+t的最小值是，因此（+）2=，即+=2，又m+n=4，所以m=n=2．设以点（m，n）为中点的弦的两个端点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有x1+x2=y1+y2=4．又该两点在双曲线上，代入双曲线方程，两式相减得=4，即所求直线的斜率是4，所求直线的方程是y﹣2=4（x﹣2），即4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，求解本题的关键有二，一是利用基本不等式与最值的关系求出参数的值，一是利用点差法与中点的性质求出弦所在直线的斜率，点差法是知道中点的情况下常用的表示直线斜率的方法，其特征是有中点出现，做题时要善于运用．6.斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a2b2，求得关于的方程求得e．【解答】解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了椭圆方程中a，b和c的关系．7.设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（）A．3 B． C．5 D．7参考答案：A考点： 基本不等式．

专题： 不等式的解法及应用．分析： 先判断a、c是正数，且ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．解答： 解：由题意知，a＞0，△=1﹣4ac=0，∴ac=4，c＞0，则则≥2×=3，当且仅当时取等号，则的最小值是3．故选A．点评： 本题考查函数的值域及基本不等式的应用，求解的关键就是拆项，属于基础题．8.已知集合A＝{x|x＋1<2}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝A.(1，3)

B.(－∞，1)

C.(－3，3)

D.(－3.1)参考答案：D9.在区间和内分别取一个数，记为和，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为（

）A

B

C

D参考答案：B略10.已知△ABC是边长为2的正三角形,则=（

）A．2 B． C．－2 D．参考答案：C由于△ABC是边长为2的正三角形，故选C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

设，则不等式的解集为

参考答案：12.函数的最大值为______________________。参考答案：.【分析】化简已知得，再求函数的最大值.【详解】，则的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知向量，的夹角为，且，，，则_____参考答案：-3由已知可设故可得解得或则或则当时，则当时，，的夹角为，故可得则14.已知点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则a+b﹣m=．参考答案：2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出函数y=ax+的导数，求出切线的斜率，由已知切线，得到a﹣2=﹣1，从而得到m，再由切线过切点，即可得到b，进而得到a+b﹣m．解答：解：点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，则m=a+2，函数y=ax+的导数y′=a﹣，该函数图象在P点处的切线斜率为a﹣2，由于直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则有a﹣2=﹣1，即a=1，m=3，b=1+m=4，则有a+b﹣m=1+4﹣3=2．故答案为：2．点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．15.已知实数满足约束条件,则的最小值是

.参考答案：略16.设函数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为________.

参考答案：π17.的展开式中的常数项是

（用数字作答）。参考答案：60三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若点是曲线上一动点，求点到直线（为参数，）的最短距离.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）1．19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，EA⊥平面ABCD，EF//AB，AB=4，AE=EF=2．（1）若G为BC的中点，求证：FG∥平面BDE；（2）求证：AF⊥平面FBC。参考答案：略20.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.参考答案：（Ⅰ）由正弦定理，设＝＝＝k，则＝＝，所以＝，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此＝2.（Ⅱ）由＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×.解得a＝1，从而c＝2.又因为cosB＝，且0＜B＜π，所以sinB＝，因此S＝acsinB＝×1×2×＝.21.已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值；（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）设圆心C（a，b），则，解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2（Ⅱ）设Q（x，y），则x2+y2=2，=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+）﹣2，∴（θ+）=2kπ﹣时，2sin（θ+）=﹣1，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．（Ⅲ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得同理，，所以=kOP

，所以，直线AB和OP一定平行略22.已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．（I）求证：EF平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；

参考答案：方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，∴平面PAD，

∵E、F为PA、PB的中点，∴