山西省忻州市原平立达中学2021年高一数学文期末试卷含解析

山西省忻州市原平立达中学2021年高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

（

）

A．

B．

C．

D． 参考答案：C略2.若且，则的终边在(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：C3.已知平面向量，，且，则的值是（

）A．1

B．2

C.3

D．4参考答案：B因为平面向量满足，且，则有，故选B.

4.已知数列满足，则=（

）

A、

B、0

C、

D、参考答案：A略5.7在△ABC中，若，则△ABC的形状是（

）A．直角三角形

B．等腰直角三角形C．等边三角形

D．等腰三角形

参考答案：D略6.设m是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A.若，则

B.若，则C.若，则

D.若，则参考答案：B在中，，则与相交或平行，故错误；在中，，则由面面垂直的判定定理得，故正确；在中，，则与相交，平行或，故错误；在中，，则或，故错误，故选B.

7.已知向量=（3，2），=（x，4）且∥，则x的值是(

)A．﹣6B．6C．D．﹣参考答案：B考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由向量平行的条件可得2x﹣3×4=0，解之即可．解答： 解：因为=（3，2），=（x，4）且∥，所以2x﹣3×4=0，解之可得x=6故选B点评：本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题．8.（5分）f（x）=，若f（a2﹣4a）+f（3）＞4，则a的取值范围是（） A． （1，3） B． （0，2） C． （﹣∞，0）∪（2，+∞） D． （﹣∞，1）∪（3，+∞）参考答案：D考点： 二次函数的性质．专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析： 结合已知中f（x）=，可将不等式f（a2﹣4a）+f（3）＞4化为a2﹣4a＞﹣3，解得a的取值范围．解答： 解：∵f（x）=，∴f（3）=17，若f（a2﹣4a）+f（3）＞4，则f（a2﹣4a）＞﹣13…①，当x≥0时，f（x）=x2+2x+2为增函数，此时f（x）≥2恒成立，当x＜0时，f（x）=﹣x2+2x+2为增函数，令﹣x2+2x+2=﹣13，解得x=﹣3，或x=5（舍去），由①得：a2﹣4a＞﹣3，即a2﹣4a+3＞0，解得：a∈（﹣∞，1）∪（3，+∞），故选：D点评： 本题考查的知识点是分段函数，二次函数的图象和性质，解不等式，其中将不等式f（a2﹣4a）+f（3）＞4化为a2﹣4a＞﹣3，是解答的关键．9.当点P在圆上变动时，它与定点Q(3,0)相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是A. B.C. D.参考答案：B【分析】设，，利用中点坐标公式可以求出，代入圆方程中，可以求出中点M的轨迹方程.【详解】设，，因为M是线段PQ中点，所以有，点P在圆上，所以有，故本题选B.【点睛】本题考查了求线段中点的轨迹方程，考查了中点坐标公式、代入思想.10.满足{x|x2－3x＋2＝0}M{x∈N|0<x<6}的集合M的个数为(

)

A、2

B、4

C、6

D、8参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.8251与6105的最大公约数是

。

参考答案：37略12.设是等差数列的前n项和，已知，则

。参考答案：49

略13.设定义在R上的函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则_____________.参考答案：200略14.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东30°的方向，两船相距a海里，乙船正在向东匀速行驶，经计算得知当甲船以北偏东75°方向前进，可追上乙船，则甲船速度是乙船速度的________倍.参考答案：【分析】先设出追上时，乙船走了海里，甲船走了海里，由正弦定理解三角形即可求出结果.【详解】设追上时，乙船走了海里，甲船走了海里，根据正弦定理，，解得，故甲船速度是乙船速度的倍.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，在解三角形中，正余弦定理是最常用到的知识，属于基础题型.15.等腰的顶角，，以为圆心，1为半径作圆，为该圆的一条直径，则的最大值为

．参考答案：16.已知角为钝角,若角的终边与角的终边重合,则角=

.参考答案：17.函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为．参考答案：{x|x＜1}【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式．【解答】解：要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义则1﹣x＞0即x＜1∴函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以及一元一次不等式的解法，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将y=f（x）的图象向右平移个单位，所得函数g（x）为奇函数．（1）求函数f（x）的解析式及单调增区间；（2）设函数，求函数y的最小值φ（m）．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】分类讨论；换元法；转化法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】（1）先求出ω=2，由所得函数g（x）为奇函数，可求得φ的值，从而确定f（x）的解析式；从而求得f（x）的单调增区间．（2）利用换元法，将函数最化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行讨论即可．【解答】解：（1）由题意函数f（x）的图象两相邻对称轴之间的距离是，可得函数的周期为π，即=π，ω=2，故函数为f（x）=sin（2x+φ）．将函数f（x）图象向右平移个单位，得到函数g（x）的解析式为g（x）=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ），∵函数g（x）为奇函数．∴﹣+φ=kπ，φ=kπ+，k∈Z．不妨令k=0，则φ取值为．故有f（x）=sin（ωx+φ）=sin（2x+）．∵函数y=sin（2x+），∴令2kπ﹣≤2x+≤+2kπ

k∈Z，即kπ﹣≤x≤+kπ（k∈Z），即函数的单调增区间为：[kπ﹣，+kπ]，k∈Z．（2）∵x∈[0，]，∴2x∈[0，π]，0≤sin2x≤1，由（1）得g（x）=sin2x，且，设t=g（x），则0≤t≤1，则函数等价为y=3t2+mt+2，0≤t≤1，对称轴为t=﹣，若0＜﹣＜1，得﹣6＜m＜0，则当t=﹣时，y取最小值φ（m）=2﹣，若﹣≤0，得m≥0，则当t=0时，y取最小值φ（m）=2，若﹣≥1，得m≤﹣6，则当t=1时，y取最小值φ（m）=5+m，即φ（m）=．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质以及一元二次函数的最值问题，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．19.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若在区间[2,4]上是增函数，求实数a的取值范围.参考答案：（1）当时，，要使函数有意义需：，即，解得：或，所以函数定义域为或，设函数，函数开口向上，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为为单调递减函数，所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为.综上所述，结论是：函数的单调递减区间为，单调递增区间为。（2）由题意可知：且，设，函数对称轴为：，函数开口向上，当时，因为为关于变量的递增函数，所以要使函数在上是增函数，需要：且在上恒成立，由可得：，由在上恒成立可得：，即时在上恒成立，即，当时，因为为关于变量的递减函数，所以要使函数在上单调递增，需要且在上恒成立，由可得：，由在上恒成立可得：即时在上恒成立，不存在综上所述，结论是：20.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：=12，所以这时租出了88辆车（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车月租金定为4050元时，租赁公司月收益最大，最大收益为307050元.……12分略21.设a为正实数，记函数f（x）=a﹣﹣的最大值为g（a）． （1）设t=+，试把f（x）表示为t的函数m（t）； （2）求g（a）； （3）问是否存在大于的正实数a满足g（a）=g（）？若存在，求出所有满足条件的a值；若不存在，说明理由． 参考答案：【考点】函数与方程的综合运用；函数最值的应用． 【专题】综合题；函数的性质及应用． 【分析】（1）由t=+平方得=t2﹣1，从而将函数f（x）换元为m（t），而m（t）的定义域即t=+的值域，平方后求其值域即可； （2）由（1）知，通过讨论对称轴的位置可得最大值关于a的函数g（a）； （3）假设存在大于的正实数a满足g（a）=g（），分类讨论，即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意得，∴﹣1≤x≤1，∴函数f（x）的定义域为[﹣1，1]． t=+，由x∈[﹣1，1]得，t2∈[2，4]，所以t的取值范围是[，2]． 又=t2﹣1，∴m（t）=at2﹣t﹣a，t∈[，2]； （2）由题意知g（a）即为函数m（t）=at2﹣t﹣a，t∈[，2]的最大值． 注意到直线t=是抛物线m（t）=at2﹣t﹣a的对称轴，分以下几种情况讨论： ①≤，即a≥知m（t）=at2﹣t﹣a在[，2]上单调递增，∴g（a）=m（2）=a﹣2． ②当＜＜2时，＜a＜，g（a）=m（）=﹣﹣a． ③当≥2，即0＜a≤时，g（a）=m（）=﹣ ∴g（a）=； （3）由（2）可得g（）=． 假设存在大于的正实数a满足g（a）=g（），则 ＜a＜2时，a﹣2=﹣﹣，方程无解； a≥2时，a﹣2=﹣，a=2﹣＜2，不