山西省忻州市原平中阳乡中学2023年高三数学理月考试题含解析

山西省忻州市原平中阳乡中学2023年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，是两个非零向量，则“”是“”的（

）（A）充分不必要条件

（B）充要条件

（C）必要不充分条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：2.在边长为1的正三角形AOB中，P为边AB上一个动点，则?的最小值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】P为边AB上一个动点，不妨设=λ，（0≤λ≤1），?=﹣λ+λ2=（λ﹣）2﹣，问题得以解决．【解答】解：∵P为边AB上一个动点，不妨设=λ，（0≤λ≤1）∴?=（+）?=（+λ）?λ=λ?+λ2=﹣λ+λ2=（λ﹣）2﹣，当λ=时，有最小值，即为﹣，故选：C3.若全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩?UB=（）A．{x|0＜x≤1} B．{x|1＜x＜2} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合B，进而求出CUB，由此能求出A∩?UB．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩?UB={x|0＜x＜2}∩{x|x≤1}={x|0＜x≤1}．故选：A．4.数列的通项公式是，若前n项的和为，则项数n为（

）A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：C5.若函数，若,则实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.参考答案：A若，则由得，，解得，若，则由得，，即解得，所以，综上或，选A.6.在等比数列{an}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．则{an}的前5项和为（）A．31 B．62 C．64 D．128参考答案：A【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{an}的公比为q，a4=8a1，可得a1q3=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，再求和即可【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a4=8a1，∴a1q3=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2∴{an}的前5项和为=31，故选：A．7.（5分）（2015?济宁一模）已知i是虚数单位，复数z=，则|z﹣2|=（）A．2B．2C．D．1参考答案：C【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式求模．解：∵z﹣2=﹣2=，∴|z﹣2|=．故选：C．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．8.已知全集集合,则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B9.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则实数t的取值范围是(

)A．[1，2] B．[2，] C．[1，] D．[2，+∞）[来源:学|科|网Z|X|X|K]参考答案：C【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]，的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t≤．故选：C．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．10.下列区间中，函数f(x)＝在其上为增函数的是 ()参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知不等式的解集为,不等式的解集为,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是_______________参考答案：略12.已知函数y=f（x+1）﹣1（x∈R）是奇函数，则f（1）=

．参考答案：1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】直接利用函数的奇偶性的性质求解即可．【解答】解：函数y=f（x+1）﹣1（x∈R）是奇函数，可知x=0时，y=0，可得0=f（1）﹣1，则f（1）=1．故答案为：1．13.已知平面向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，若（m）⊥，则m=．参考答案：1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出的值，再由（m）⊥，得（m）?=0，展开后得答案．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，∴，又（m）⊥，∴（m）?=，解得m=1．故答案为：1．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是中档题．14.已知随机变量的的分布列为：

－102Pxy

若E（）＝，则x+y＝；D（）＝参考答案：

15.由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为

．参考答案：（1，+∞）【考点】特称命题．【专题】计算题．【分析】原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出?x∈R，都有x2+2x+m＞0，再由△＜0，求得m．【解答】解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”，∴其否命题为真命题，即是说“?x∈R，都有x2+2x+m＞0”，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1．∴m的取值范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）【点评】本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题．考查转化、计算能力．16.方程在上有四个不同的根，则___________．参考答案：4略17.在边长为1的正三角形ABC中，设，，，则=

．参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C上的任意一点M到点的距离比到直线的距离少1，动点P在直线上，过点P作曲线C的两条切线，其中A、B为切点.（1）求曲线C的方程；（2）判断直线AB是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由.参考答案：（1）；（2）能，(0,1)【分析】（1）曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离少1，得动点到点的距离与到直线：的距离相等,根据抛物线定义，即可求得答案.（2）设点，，，由根据导数可得求得抛物线在点处的切线的方程，结合点在切线上，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离少1得动点到点的距离与到直线：的距离相等又由抛物线的定义可知，曲线为抛物线，焦点为，准线为：曲线的方程为（2）设点，，由，即，得.抛物线在点处的切线的方程为即.，，点在切线上，①，同理②综合①、②得，点，的坐标都满足方程即直线：恒过抛物线焦点【点睛】本题主要考查了求抛物线方程和抛物线与直线位置关系问题，解题关键是掌握抛物线定义和导数求切线斜率的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19.（本小题满分12分）已知数列满足，.猜想数列的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)证明：。参考答案：解析:证（1）由由猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立

（2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么

=即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，，结论成立当时，易知

20.国家统计局北京调查总队3月5日发布《2018年北京市居民时间利用调査报告》，北京市居民平均每天使用互联网的时间为3小时6分钟。某大学为了掌握学生每天使用手机上网情况，随机抽取了100名学生对其进行调查。下面是根据调查结果绘制的时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均上网时间不低于200分钟的学生称为“手机控”，低于200分钟的学生称为“非手机控”。(I)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有97.5％的把握认为“手机控”与性别有关？

非手机控手机控合计男

50女

l4

合计

(II)将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的4人中“手机控”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期EX。附：(n＝a＋b＋c＋d)P(K2k)0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828参考答案：21.（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为，且．（1）求的表达式；（2）设，，，求的值．参考答案：（1）（2）

【知识点】三角函数的图像与性质;三角恒等变形C3C7解析：(1)依题意得，∴，

……2分由f(2π)=2，得，即，∴A=4，……4分∴.

……5分(2)由，得，即，∴，

……6分又∵，∴，

……7分由，得，即，∴，

……9分又∵，∴，

……10分cos(α－β)=