山西省忻州市南西力学校2021-2022学年高三数学文联考试题含解析

山西省忻州市南西力学校2021-2022学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（

）A．

B．－1或1

C．1

D．－1参考答案：D2.“”是“”的（

）A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B略3.若，则“成立”是“成立”的

（

）（A）充分非必要条件

（B）必要非充分条件（C）充要条件

（D）既非充分又非必要条件参考答案：C4.曲线在点处的切线为．若直线与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的周长的最小值为

A.

B.

C.2

D.参考答案：【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值.

B11

E6A

解析：∵，∴即，可得A(,0)，B(0,)，∴△OAB的周长，当且仅当时等号成立.故选A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线的方程，从而求得A、B的坐标，进而用表示△OAB的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.

5.已知函数的图象如图①所示，则图②是下列哪个函数的图象c

A．

B.

C.

D.参考答案：C略6.某程序框图如图所示,若输出的S=120,则判断框内应为

A.

B.

C.

D.参考答案：B7.已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2）参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值范围是（﹣2，1）．故选：B8.设常数，集合，若，则的取值范围为（

）(A) (B) (C) (D)参考答案：B9.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列说法正确的是A． B．C．D．参考答案：D10.函数在的零点个数为（

）A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：B【分析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.【详解】由，得或，，．在的零点个数是3，故选B．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=．参考答案：﹣7【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a的值．【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，即a2+8a+7=0．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查两直线平行的条件，其中5﹣3a≠8是本题的易错点．属于基础题．12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S=

▲

．参考答案：略13.设函数的定义域为R，若存在常数m>0，使对一切实数x均成立，则称为F函数．给出下列函数： ①；②；③；④； ⑤是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2均有．其中是F函数的序号为.参考答案：①④⑤略14.在钝角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，b=1，c=，∠B=30°，则△ABC的面积等于___________．参考答案：略15.若，.则.参考答案：略16.一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．参考答案：由题意知，解得。所以这组数据的方差为。17.函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为函数的“完美区间”.下列函数中存在“完美区间”的是________（只需填符合题意的函数序号）.①；

②；

③；

④.参考答案：①④考点：函数性质．【思路点睛】本题主要考查函数的性质，属中档题.题目首先需对给定的新定义进行读取与理解，从题给定义寻找问题的突破口：①函数在区间单调；②函数满足，且方程的根必须有两根，其中小根为，大根为.由此，可得可对各函数解析式进行一一的验证，并假设存在“完美区间”，通过方程根的情况进行判断，最后检验函数的单调性.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知（Ⅰ）若，求使函数为偶函数。（Ⅱ）在（I）成立的条件下，求满足＝1，∈[－π，π]的的集合。参考答案：(1)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋)要使f(x)为偶函数，则必有f(－x)＝f(x)∴2sin(－2x＋θ＋)＝2sin(2x＋θ＋)∴2sin2xcos(θ＋)＝0对x∈R恒成立∴cos(θ＋)＝0又0≤θ≤π

θ＝

(2)当θ＝时f(x)＝2sin(2x＋)＝2cos2x＝1∴cos2x＝∵x∈[－π，π]

∴略19.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题设条件知b=2，，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由韦达定理结合题设条件能够导出直线AB过定点（﹣，﹣2）．若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，由题设条件能够导出直线AB过定点（﹣，﹣2）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，∴b=2，，所求椭圆方程为．…（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．…则，．∵，∴，即2k+（m﹣2）?=8．…所以k=﹣，整理得m=．故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）﹣2．所以直线AB过定点（﹣，﹣2）．…若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知，得．此时AB方程为x=﹣，显然过点（﹣，﹣2）．综上，直线AB过定点（﹣，﹣2）．…20.已知函数()，.（Ⅰ）当时，解关于的不等式：；（Ⅱ）当时，记，过点是否存在函数图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由；（Ⅲ）若是使恒成立的最小值，对任意，试比较与的大小(常数).参考答案：(I)当时，不等式等价于，解集为.

3分(Ⅱ)假设存在这样的切线，设其中一个切点，∴切线方程：，将点坐标代入得：，即，

①法1：设，则．………………6分，在区间，上是增函数，在区间上是减函数，故．又，注意到在其定义域上的单调性知仅在内有且仅有一根方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．8分.法2：令()，考查，则，从而在增，减，增.故，，而，故在上有唯一解.从而有唯一解，即切线唯一.法3：，；当；所以在单调递增。又因为，所以方程有必有一解，所以这样的切线存在，且只有一条。(Ⅲ)对恒成立，所以，令，可得在区间上单调递减，故，.

10分得，.

令，，注意到，即，所以，

=.

14分21.设函数．（1）若是函数的一个极值点，试用a表示b，并求函数的减区间；（2）若，，证明：当时，．参考答案：（1），当时，函数的减区间为，，当时，函数的减区间为，；（2）见解析．（1）由，有，得．此时有．由是函数的一个极值点，可知，得．①当，即时，令，得或，函数的减区间为，．②当时，函数的减区间为，．（2）由题意有，要证，只要证：令有．则函数的增区间为，减区间为，则．故不等式成立．22.过抛物线y2=2px（p为不等于2的素数）的焦点F，作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M、N两点，线段MN的垂直平分线交MN于点P，交x轴于点Q．（1）求PQ的中点R的轨迹L的方程；（2）证明：轨迹L上有无穷多个整点，但L上任意整点到原点的距离均不是整数．参考答案：【考点】J3：轨迹方程．【分析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意设出直线l的方程为y=k（x﹣）（k≠0），联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到P点坐标，结合PQ⊥l，求得PQ的方程，再设R的坐标为（x，y），再由中点坐标公式求得PQ的中点R的轨迹L的方程；（2）直接得到对任意非零整数t，点（p（4t2+1），pt）都是l上的整点，说明l上有无穷多个整点．再反设l上由一个整点（x，y）到原点的距离为正数m，不妨设x＞0，y＞0，m＞0，然后结合p是奇素数、点在抛物线上及整点（x，y）到原点的距离为正数m，逐渐推出矛盾，说明l上任意整点到原点的距离均不是整数．【解答】（1）解：y2=2px的焦点F（），设直线l的方程为y=k（x﹣）（k≠0），由，得，设M，N的横坐标为x1，x2，则，得，，由PQ⊥l，得PQ的斜率为﹣，故PQ的方程为，代入yQ=0，得，设R的坐标为（x，y），则，整理得：p（x﹣p）=，∴PQ的中点R的轨迹L的方程为4y2=p（x﹣p）（y≠0）；（2）证明：显然对任意非零整数t，点（p（4t2+1），pt）都是l上的整点，故l上有无穷多