模糊推理课件

模糊推理系统模糊逻辑

模糊命题

模糊推理规则

模糊推理系统

模糊逻辑语言是一种符号系统，通常包括自然语言和人工语言两种。自然语言是指人类交流信息时使用的语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观念、行为、情感等。自然语言具有相当的不确定性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、模范、优美、拥护等)。人工语言主要是指程序设计语言，如我们熟悉的C语言、汇编语言等。人工语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。模糊逻辑一切具有模糊性的语言都称为模糊语言，它是一种广泛使用的自然语言，如何将模糊语言表达出来，使计算机能够模拟人的思维去推理和判断，这就引出了语言变量这一概念。语言变量是以自然语言中的词、词组或句子作为变量。语言变量的值称为语言值，一般也是由自然语言中的词、词组或句子构成。语言变量的语言值通常用模糊集合来描述，该模糊集合对应的数值变量称作基础变量。模糊逻辑一个完整的语言变量可定义为一个五元体（X,T(X),U,G,M)其中X——语言变量的名称；T(X)——语言变量的语言值；

U

——论域；

G

——语法规则；

M

——语义规则。实例

以“年龄”作为语言变量X，该语言变量的论域U取[0,∞)。根据语法规则可知，描述语言变量“年龄”的语言值有“年青”、“中年”、“年老”几种，那么T(X)可表示为T(X)＝年青＋中年＋年老语义规则主要是用来反映实际论域中的岁数与模糊集合“年青”、“中年”、“年老”之间的关系。模糊语言变量的完整描述见后图“年龄”语言变量的五元体“年龄”语言变量的五元体

模糊逻辑

数理逻辑是建立在经典集合论上的研究概念、判断和推理形式的一门学科，又称为经典逻辑。其最大的特点是所反映的内容非真即假，在客观世界中这样的命题不胜枚举。比如：◆北京是中华人民共和国的首都◆石头可以当饭吃但是，还有一类命题很难做出这样明确的判断。比如：◆机动车比自行车的速度更快◆南方的天气很热

对于这样的模糊性命题，经典逻辑往往不能给出符合实际情况的结果。模糊逻辑是二值逻辑的推广，可以在[0,1]区间上任意取值。模糊逻辑运算规则也是以经典逻辑运算规则为基础，经过适当的扩展而形成的。布尔代数运算性质若存在a,b,c∈{0,1}，在布尔代数中则有以下性质(1)幂等律

a∧a=aa∨a=a(2)交换律a∧b=b∧aa∨b=b∨a(3)结合律（a∨b）∨c=a∨(b∨c)

（a∧b）∧c=a∧(b∧c)(4)吸收律（a∨b）∧b=b（a∧b）∨b=b(5)分配律

(6)复原律

(7)补余律

（模糊逻辑运算不符合）(8)av1=1av0=aa∧1=aa∧0=0

模糊逻辑对应于模糊集合论，模糊逻辑运算除了不满足布尔代数里的补余律外，布尔代数的其它运算性质它都适用。除此之外，模糊逻辑运算满足De-Morgan代数，即

对于补余运算，De-Morgan代数中是这样定义的：

模糊命题

模糊命题是指带有模糊性的陈述句。

模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”，而

反映其隶属于“真”的程度。模糊逻辑是表征模糊命题的工具，是研究模糊推理最基本的数学手段。模糊命题可以分为性质命题和关系命题两种，通常用大写字母表示，如：P~：金属物体的导电性能好；Q~：100比1大得多。

模糊命题从构成上划分，又可分为简单模糊命题和复合模糊命题两种。简单模糊命题的一般形式为:其中元素x∈X，X是论域；A~是某个模糊概念所对应的模糊集合.模糊命题的真值，由元素x对模糊集合A~的隶属程度表示。在模糊命题中，“is”称作模糊谓词。简单模糊命题通过连接词“且”、“或”、“非”等连接起来，就构成了复合模糊命题。复合模糊命题一般形式如下：由于模糊命题间的“且”、“或”、“非”实质上可以通过模糊逻辑“交”、“并”、“补”实现。因此，对于复合模糊命题的真值，需要通过模糊合成运算来求取。模糊命题之间的“并”、“交”、“补”基本运算的定义：模糊推理

推理是根据一定的规则，从一个或几个已知判断引伸出一个新判断的思维过程。—般说来，推理都包含两个部分的判断，一部分是已知的判断，作为推理的出发点，叫做前提(或前件)。由前提所推出的新判断，叫做结论(或后件)。

推理的形式主要有直接推理和间接推理。只有一个前提的推理称为直接推理，由两个或两个以上前提的推理称为间接推理。间接推理又可分为演绎推理、归纳推理和类比推理等，其中演绎推理是生活中最常用的推理方法，它的前提与结论之间存在着确定的蕴涵关系。模糊推理又称模糊逻辑推理，是指在确定的模糊规则下，由已知的模糊命题推出新的模糊命题作为结论的过程。模糊推理是一种近似推理，主要有以下两种形式：(1)已知模糊蕴涵关系“若x是A,则y是B”，其中A是X上的模糊集，B是Y上的模糊集，模糊蕴涵关系往往是大量的实验观测和经验的概括。在模糊推理过程中，认为该蕴涵关系提供的信息是可靠的，它是近似推理的出发点。又知X上的一个模糊集A*，它可能与A相近，也可能与A相去甚远，那么从模糊蕴涵关系能推断出什么结论B*?(2)已知模糊蕴涵关系“若x是A,则y是B”，其中A是X上的模糊集，B是Y上的模糊集，又知Y上的模糊集B*，那么从模糊蕴涵关系能推断出什么结论A*?模糊推理规则模糊规则也称模糊条件语句，其表达式为：

ifxisA,thenyisB

其中A和B分别是论域上的模糊集合定义的语言值。含有多个前提条件的称为多维模糊规则。1、近似推理2、模糊条件推理3、多输入模糊推理4、多输入多规则推理前提1：如果x是A，则y是B前提2：如果x是,结论：y是第一步：求的关系矩阵第二步：求y即：利用关系矩阵可以得到近似推理的隶属度函数为：模糊关系矩阵元素的计算方法：玛达尼(Mamdani)法其隶属度函数为：例：设论域,上的模糊子集“大”、“小”、“较小”分别定义为：“大”“小”“较小”已知规则：若x小，则y大问题：当x较小时，y应是多少？

解：已知模糊子集“大”、“小”、“较小”的隶属度函数分别为：由玛达尼(Mamdani)推理法,可以得到由“小”到“大”的模糊关系矩阵：于是，当x”较小“时的推理结果即：1、近似推理2、模糊条件推理3、多输入模糊推理4、多输入多规则推理语言规则：如果x是A,则y是B,否则y是C。其逻辑表达式为：那么，x与y的模糊关系矩阵就是直积的子集，表示为：其隶属度函数写作：于是，当输入为时，根据模糊推理合成规则，得到模糊推理输出：例：对于一个系统，当输入A时，输出为B，否则为C，且有已知当前输入。求输出B'。首先求系统的模糊关系矩阵由玛达尼(Mamdani)法得则模糊关系矩阵于是，当输入为时，输出即：1、近似推理2、模糊条件推理3、多输入模糊推理4、多输入多规则推理多输入模糊推理常应用于多输入单输出系统的设计中，这种规则的一般形式为：前提1：如果A且B，那么C

前提2：现在是且结论：隶属度函数“如果A且B，那么C”的隶属度函数表达式就是：其模糊关系矩阵，矩阵的计算就变成：于是，规则的推理结果为：其隶属度函数为：

其中，

分别是指模糊集合与、与交集的高度。

AA'BB'CC'该方法叫做“玛达尼推理消顶法”，它的意义就是：分别求出对、对的隶属度，并且取两者之中小的一个作为总的模糊推理前件的隶属度，再以此为基准去切割推理后件的隶属度函数，便得到结论。

对于论域是有限集，即模糊子集的隶属度函数是离散的情况，多输入模糊推理过程仍然用模糊关系矩阵的运算来描述。推理规则：如果A且B，那么C求：当和时，输出是多少？解：Step1:先求，令得矩阵为Step2:将D写成列矢量DT,即

Step3:求出关系矩阵Step4:由求出Step5:同step2,将写成列矢量Step6:最后求出模糊推理输出量1、近似推理2、模糊条件推理3、多输入模糊推理4、多输入多规则推理IFA1andB1THENC1IFA2andB2THENC2IFAmandBmTHENCm一系列模糊控制规则构成一个完整的模糊控制系统，它的推理运算就采用多输入多规则推理方法。以二输入多规则为例，考虑如下一般形式：如果A1且B1，那么C1否则如果A2且B2，那么C2否则如果An且Bn，那么Cn.已知：

且，那么这里，、、分别是不同论域上的模糊集合。利用玛达尼推理方法，规则“如果且，那么”的模糊关系可以表示为：系列规则中，“否则”的含义是“OR”，在推理计算过程中可以写成并集形式。由此，整个系列的推理结果为：模糊关系第一条条件规则其中，其隶属度函数为：例：二输入多规则的推理方法A1A1”B1B1”C1C1”A2A2”B2B2”C2C2”C1”C2”

推理过程的意义：从不同的规则得到不同的结论。从几何意义上讲就是分别在不同规则中用各自推理前件的总隶属度去切割推理规则后件的隶属度函数以得到输出结果。

模糊推理系统系统是指两个或两个以上彼此相互作用的对象所构成的具有某种功能的集体。模糊推理系统又称为模糊系统，是以模糊集合理论和模糊推理方法等为基础，具有处理模糊信息能力的系统。模糊推理系统以模糊逻辑理论为主要计算工具，可以实现复杂的非线性映射关系，而且其输入输出都是精确的数值，因此已被广泛应用。

1模糊推理系统的结构一、模糊推理系统的组成模糊推理是一种基于行为的仿生推理方法，主要用来解决带有模糊现象的复杂推理问题。由于模糊现象普遍存在，因此，模糊推理系统被广泛使用。从功能上来看，模糊推理系统主要由模糊化、模糊规则库、模糊推理方法及去模糊化几部分组成，其基本结构如图二、模糊推理系统的工作过程

为了满足实际需要，模糊系统的输入输出必须是精确数值。模糊推理系统的工作机理是：首先通过模糊化模块将输入的精确量进行模糊化处理，转换成给定论域上的模糊集合；然后激活规则库中对应的模糊规则，并且选用适当的模糊推理方法，根据已知模糊事实获得推理结果，最后将该模糊结果进行去模糊化处理，得到最终的精确输出量。

2模糊化(Fuzzification)精确值进入模糊推理系统时，一般要将其模糊化成给定论域上的模糊集合。模糊化的实质是将给定输入转换成模糊集合。模糊化有三原则：①在精确值处模糊集合的隶属度最大；②当输入有干扰时，模糊化结果具有一定的抗干扰能力；③模糊化运算应尽可能简单。下面介绍三种常用的模糊化方法。一、模糊单值法

模糊单值法是将精确值转化为模糊单值，这种模糊化方法只是形式上将精确值转化成模糊量，实质上仍然是精确量。

设为实测的精确值，为转换后的模糊集合，则有

(3.3.1)模糊单值法优点：易于实现模糊化运算，当输入数据准确时，模糊化性能良好，是一种常用的模糊化方法。

模糊单值法不足：由于舍弃了所有处的隶属度，因此，输入数据抗干扰性较差。

二、三角隶属函数法

如果输入数据干扰严重，那么用模糊单值法进行模糊化处理将会产生很大的误差。对于这种情况，常常采用三角形隶属函数法进行模糊化处理。其模糊化运算比较简单，模糊化结果具有一定的鲁棒性，是一种常用模糊化方法。设为精确值，为转换后的模糊集合，三角隶属函数法为

(3.3.2)其中：当给定精确值为时，采用三角形隶属函数法得到的模糊集合如图所示。可以看出：①当时，三角形隶属函数模糊集合就变成了模糊单值。②越大，的变化对的影响越小。即当足够大时，该方法具有足够强的抗扰能力。三、高斯隶属函数法

高斯隶属函数法模糊化运算较前两种去模糊方法复杂，但具有良好的抗干扰能力，且模糊化结果更接近于人的认知特点。

设为精确值，为转换后的模糊集合，高斯隶属函数法为

(3.3.3)其中：参数决定了高斯函数的陡度。3模糊规则库模糊规则库是由模糊推理系统中的全部模糊规则组成，是模糊推理系统的核心部分。从某种意义上讲，模糊推理系统的其它部分都是为了有效地执行这些规则而存在。一、模糊规则的基本形式(省)

二、模糊规则库的基本性质

(1)完备性

规则完备性是指对于给定论域X

上的任意x

，在模糊规则库中至少存在一条模糊规则与之对应。也就是说：输入空间中的任意值都至少存在一条可利用的模糊规则。这是模糊推理系统能正常工作的必要条件。(2)交叉性

为了保证模糊推理系统的输入输出行为连续、平滑，一般要求相邻的模糊规则之间有一定的交叉性。模糊规则的交叉性也反映出概念类属的不明确性，通过模糊规则的交叉设计，可以提高推理系统的抗干扰性。

(3)一致性

如果两条模糊规则的条件部分相同，但结论部分相差很大，则称这两条规则相互矛盾。一致性是指模糊推理系统的规则库中不能存在相互矛盾的模糊规则。4去模糊化(Defuzzification)

去模糊化又称为清晰化，其任务是确定一个最能代表模糊集合的精确值，它是模糊推理系统必不可少的环节。不过，由于模糊性的存在，获得的代表模糊集合的清晰值可能有所不同，也就是说去模糊化方法并不唯一。但确定去模糊化方法时，一定要考虑到以下准则：①有效性。所得到的精确值能够直观地表达该模糊集合；②简便性。去模糊化运算要足够简单，保证模糊推理系统实时使用；③鲁棒性。模糊集合的微小变化不会使精确值发生大幅变化。下面介绍几种在实际中经常用到的清晰化方法。

一、最大隶属度法

最大隶属度法是指选取模糊集合覆盖的论域中，对应隶属度最大的元素作为该模糊集合的精确值。如果给定模糊集合，则精确值应满足。见图

最大隶属度法的优点是去模糊运算特别简单最大隶属度法的缺点是精确值包含的信息量较少。这种方法完全排除了其它一切元素对精确值的影响，其结果是对两个差异很大的模糊集合，可能获得同样的精确结果（见上图）。为了保证清晰化后的精确值是唯一的，一般要求给定的模糊集合是正态凸模糊集合。对于离散论域上的模糊集合，直接取对应于隶属度最大的基础变量作为清晰值即可。

例给定模糊集合试用最大隶属度法求其清晰值。解：按最大隶属度的原则清晰化，清晰值为显然，对于隶属函数只有唯一最大值的模糊集合，最大隶属度去模糊化方法是适用的。但模糊推理系统的实际推理结果，其最大隶属度对应的基础变量可能并不唯一，甚至有无穷多个基础变量与之对应。比如采用Mamdani方法进行推理得到的结果，其清晰值往往是不唯一的，如图。对于这种情况，可以采用以下三种方法清晰化处理：

其中inf为取最小值运算。⑴左取大法取模糊集合隶属函数左边达到最大值时所对应的基础变量值作为清晰值的方法。即(3.3.7)其中sup为取最大值运算。⑵右取大法取模糊集合隶属函数右边达到最大值时所对应的基础变量值作为清晰值的方法。即(3.3.8)⑶最大平均法取最大隶属度对应的所有基础变量的平均值作为该模糊集合的精确值。对于下图，有由上图可以看出，虽然模糊推理结果由和两个模糊集合构成，但只要采用最大隶属度法(包括左取大、右取大和最大平均法)去模糊化，模糊集合对最终获得的精确值没有任何贡献。说明最大隶属度法对模糊信息的丢失十分严重。二、重心法

重心法是指取模糊集合隶属函数曲线同基础变量轴所围面积的重心对应的元素作为清晰值的方法，也是一种常用的去模糊化方法。在连续论域上，重心法的计算公式为：其中，为清晰化量，，为模糊集隶属函数。

下图给出了在连续论域上，用重心法去模糊化的计算结果。

在离散论域上，重心法的计算公式为其中N

为论域中的元素个数，是指论域中的第i个单点模糊值，为对应的隶属度。重心去模糊化方法的优点是充分利用了推理结果中的所有模糊信息，得到的清晰值具有很好的鲁棒性。缺点是计算要求比较高。特别是当推理得到的隶属函数不规则时，对其进行积分是一件困难的事情。

三、中心平均法

模糊推理的结果往往是多个模糊集合的并或交，其隶属函数的表达形式比较复杂。最大隶属度法虽然计算简单，但丢失的模糊信息