山西省太原市英杰学校高三数学文联考试题含解析

山西省太原市英杰学校高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，实数满足,且，若实数是函数的一个零点,则下列结论一定成立的是

A

B

C

D参考答案：C2.已知点在第三象限，则角的终边在（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：【知识点】三角函数值的符号．C1【答案解析】B

解析：点P（cosα，tanα）在第三象限，所以，cosα＜0角α的终边在第二、三象限．tanα＜0角α的终边在第二、四象限．∴角α的终边在第二象限．故选：B．【思路点拨】利用点所在象限，推出三角函数的符号，然后判断角所在象限．3.定义域是一切实数的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“—半随函数”.有下列关于“—半随函数”的结论：①是常数函数中唯一一个“—半随函数”；②“—半随函数”至少有一个零点；③是一个“—半随函数”；其中正确结论的个数是（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．0个参考答案：A4.定义在实数集R上的奇函数f(x)满足，且当时，，则下列四个命题：①；②函数f(x)的最小正周期为2；③当时，方程有2018个根；④方程有5个根.其中真命题的个数为（

）A．1

B．2

C.

3

D．4参考答案：C∵∴∴函数的最小正周期为，故②错误.∴∵当时，∴，即，故①正确.∵函数在实数集上为奇函数∴∴，即函数关于直线对称.画出函数的图象如图所示：由图象可得，当时，方程有2个根，故当时，方程有个根，故③正确；画出的图象如图所示，与函数有5个交点，故④正确.故选C.

5.若a＞b＞1，0＜c＜1，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C试题分析：用特殊值法，令a=3，b=2，c=，得，A错误.，B错误.，C正确.，D错误.

6.若集合，，则（A）（B）

（C）

（D）参考答案：B考点：集合的运算因为

故答案为：B7.在中，，则向量与夹角余弦值为 A．

B．

C．

D．参考答案：D8.已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（m∈R），若导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为（）A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣6参考答案：C【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】先求导数，然后分析发现导数是由一个奇函数和常数的和，然后利用函数的奇偶性容易解决问题．【解答】解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．故选C．【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．9.已知集合，，则A.

B.

C.

D.或参考答案：B【考点】集合的运算，一元二次不等式。解析：集合B＝{x|1＜x＜3}，所以，，故选B。10.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数（是虚数单位），则的模=

.参考答案：略12.已知函数（为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是

.

参考答案：13.集合A={x||x﹣2|≤3，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}则?R（A∩B）=．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B交集的补集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣3≤x﹣2≤3，即﹣1≤x≤5，∴A=[﹣1，5]，由B中y=﹣x2，﹣1≤x≤2，得到﹣4≤y≤0，即B=[﹣4，0]，∴A∩B=[﹣1，0]，则?R（A∩B）=（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．14.已知点，椭圆与直线交于点、，则的周长为__________参考答案：815.若，则_______。参考答案：-116.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．参考答案：0.18甲队要以，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：.

17.展开式中的系数为_________.参考答案：48【分析】变换，根据二项式定理计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，，取和，计算得到系数为：.故答案为：48.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，……，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数在[60，80)内学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在[70，80)内的概率．参考答案：解：（Ⅰ）直方图（Ⅱ）45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71（Ⅲ）由题意知[60,70)中抽2人，设为A1A2[70,80)中抽取4人，设为B1B2B3B4则任取两人共有15种取法(A1,A2)，(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A1,B4)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(A2,B4)(B1,B2)(B1,B3)(B1,B4)(B2,B3)(B2,B4)(B3,B4)至多有一人在[70,80)总有9种情况答:分数在[70，80)内的频率为，本次考试的平均分为71，至多有1人的分数在[70，80)内的概率.略19.（本小题满分12分）中，角、、的对边分别为、、.向量与向量共线.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）设等比数列中，，，记，求的前项和.参考答案：20.2013年4月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：

混凝土耐久性达标混凝土耐久性不达标总计使用淡化海砂25t30使用未经淡化海砂s1530总计402060（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：P（k2≥k）0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828参考公式：k2=．参考答案：【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用2×2列联表中的数据，计算出s，t，k2，对性别与喜爱运动有关的程度进行判断，（Ⅱ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件共有15种结果，设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A，它的对立事件为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，根据概率公式得到对立事件的概率，最后根据对立事件的概率公式得出结果．【解答】解：（Ⅰ）s=40﹣25=15，t=30﹣25=5

…假设：是否使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关，由已知数据可求得：K2=≈7.5＞6.635因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．…（Ⅱ）用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为，“混凝土耐久性不达标”的为1．“混凝土耐久性达标”的记为A1，A2，A3，A4，A5，“混凝土耐久性不达标”的记为B．从这6个样本中任取2个，共有15可能，设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A，它的对立事件为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含（A1，B），（A2，B），（A3，B），（A4，B），（A5，B）共5种可能，所以P（A）=1﹣P（）=．则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是．…21.已知某圆的极坐标方程是ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0求：（1）求圆的普通方程和一个参数方程；（2）圆上所有点（x，y）中xy的最大值和最小值．参考答案：【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）圆的极坐标方程是，化为直角坐标方程即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，从而进一步得到其参数方程．（2）因为xy=（2+cosθ）（2+sinθ）=4+2（sinθ+cosθ）+2sinθcosθ，再令sinθ+cosθ=t∈[﹣，]，则xy=t2+2t+3，根据二次函数的最值，求得其最大值和最小值．【解答】解：（1）普通方程：x2+y2﹣4x﹣4y+6=0…（2分）；参数方程：（θ为参数）…（4分）（2）xy=（2+cosθ）（2+sinθ）=4+2（sinθ+cosθ）+2sinθcosθ…令sinθ+cosθ=t∈[﹣，]，2sinθcosθ=t2﹣1，则xy=t2+2t+3…（6分）当t=﹣时，最小值是1；…（8分）当t=时，最大值是9；…（10分）【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两角和的正弦公式，圆的参数方程，得到圆的参数方程，是解题的关键．22.从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E（ξ）．参考答案：【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由频率分布直方图计算数据的平均分；（2）计算样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数，根据分层抽样原理求出抽取的人数；（3）计算抽取的6人中分数在[130，150]的人数，求出ξ的所有取值与概率分布，计算数学期望值．