山西省忻州市南河沟乡联校2021年高二数学文下学期期末试卷含解析

山西省忻州市南河沟乡联校2021年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为等比数列，，则．若为等差数列，，则的类似结论为（）A．

B．C．

D．参考答案：D略2.设,，，…，，，则＝（

）

A.－

B.

C.－

D.参考答案：C略3.已知，则向量的夹角为（

）

A

B

C

D

参考答案：C4.设a，b，c∈R+，若(a+b+c)(+)≥k恒成立，则k的最大值是（

）（A）1

（B）2

（C）3

（D）4参考答案：D5.已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．【解答】解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，故A∩B={﹣1，0，1，2}故选D．6.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（

）A.2

B.

C.

D.参考答案：D7.设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数f（x）进行求导运算，根据在点（t，f（t））处切线的斜率为在点（t，f（t））处的导数值，可得答案．【解答】解：∵f（x）=xsinx+cosx∴f′（x）=（xsinx）′+（cosx）′=x（sinx）′+（x）′sinx+（cosx）′=xcosx+sinx﹣sinx=xcosx∴k=g（t）=tcost根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x＞0时g（t）＞0故选B．8.若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将（1，1）代入直线得：+=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C．9.已知函数，在区间内任取两个不相等的实数、，若不等式恒成立，则实数的取值范围是(

)A．(－∞,2]

B．

C.

D．参考答案：B10.双曲线的渐近线的方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.现有直径为d的圆木，要把它锯成横断面为矩形的梁，从材料力学知道，横断面为矩形的梁的强度Q=k?b?h2，（b为断面宽，h为断面高，k为常数），要使强度最大，则高与宽的比是

。参考答案：12.已知向量，，若向量，那么?????。参考答案：13.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线分别交于，两点（点在轴上方），则

.参考答案：解法一：记，，准线为，分别过，作，，则，，再过作于.在中，，，，于是，，故所求为.解法二：，，，，故所求为.14.若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，由目标函数变型得y=﹣2x+z，根据可行域找出最优解即可．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数z=2x+y得y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，截距最大，即z最大．解方程组得x=1，y=，即B（1，）．∴z的最大值为2×1+=．故答案为：．15.命题“若，则”的否命题是：__________．参考答案：若，则原命题为“若则”，否命题为“若则”．16.已知xy=4（x＞0，y＞0），x+y的最小值是M，则M=．参考答案：4考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：根据不等式x+y求解即可．解答：解：∵xy=4（x＞0，y＞0），x+y=2=4，（x=y=2时等号成立）∴x+y的最小值是4，故答案为：4点评：本题考查了基本不等式的运用，属于容易题．17.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为___________.参考答案：78略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知圆的方程，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径。问：（1）可以作多少个不同的圆？（2）经过原点的圆有多少个？（3）圆心在直线上的圆有多少个？

参考答案：解：（1）可分两步完成：第一步，先选r有中选法，第二步再选a,b有中选法

所以由分步计数原理可得有.=448个不同的圆

4分（2）圆经过原点满足

所以符合题意的圆有

8分（3）

圆心在直线上，所以圆心有三组：0，10；3，7；4，6。所以满足题意的圆共有个

12分略19.已知椭圆C：的离心率为，右顶点为抛物线的焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）若过点任作一条直线交椭圆C于A、B两点，，连接，，求证：．参考答案：（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆C的右顶点为，因为椭圆C的焦点在y轴上，所以。

椭圆C的离心率，所以，所以椭圆C的方程为。

当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知。当直线的斜率存在时，设直线的方程为。联立方程，得方程。设，则，。因为，，，

因为。所以，所以。略20.已知x，y都是正数．（1）若3x+2y=12，求xy的最大值；（2）若x+2y=3，求的最小值．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】（1）由于3x+2y=12，再根据xy=?3x?2y，利用基本不等式求得xy的最大值．（2）由x+2y=3，得到1=，故=（）（），利用基本不等式求得最小值．【解答】解：（1）∵3x+2y=12，∴xy=?3x?2y≤×（）2=6，当且仅当3x=2y=6时，等号成立．∴当且仅当3x=3时，xy取得最大值．（2）∵x+2y=3，∴1=，∴=（）（）=+++≥1+2=1+，当且仅当=，即x=3﹣3，y=3﹣时取等号，∴最小值为．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，以及等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．21.已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy． （1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程； （2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 参考答案：【考点】椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质；直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（1）由题意可得点A，B，C的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知2a=AC+BC，求得a，进而根据b，a和c的关系求得b，则椭圆的方程可得． （2）设直线l的方程为y=kx+2．与椭圆方程联立，根据判别式大于0求得k的范围，设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，进而根据若以MN为直径的圆恰好过原点，推断则，得知x1x2+y1y2=0，根据x1x2求得y1y2代入即可求得k，最后检验看是否符合题意． 【解答】解：（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为． 设椭圆的标准方程是． 则2a=AC+BC， 即，所以a=2． 所以b2=a2﹣c2=4﹣2=2． 所以椭圆的标准方程是． （2）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2． 由得（1+2k2）x2+8kx+4=0． 因为M，N在椭圆上， 所以△=64k2﹣16（1+2k2）＞0． 设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）． 则， 若以MN为直径的圆恰好过原点，则， 所以x1x2+y1y2=0， 所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0， 即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0， 所以，，即， 得k2=2， 经验证，此时△=48＞0． 所以直线l的方程为，或． 即所求直线存在，其方程为． 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的关系．在设直线方程时一定要看斜率的存在情况，最后还要检验斜率k是否符合题意． 22.如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积VP﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）取AC中点O，连结PO，BO，证明OP⊥平面ABC，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥P﹣ABC的体积VP﹣ABC；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）取AC中点O，连结PO，BO，∵PA=PC，AB=BC，∴OP⊥AC，OB⊥AC，又∵平面APC⊥平面ABC，∴OP