山西省太原市重机中学2023年高三数学理联考试卷含解析

山西省太原市重机中学2023年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】几何概型．【分析】首先求出所以事件个数就是集合元素个数5，然后求出满足使函数为增函数的元素个数为3，利用公式可得．【解答】解：从集合{﹣2，0，1，3，4}中任选一个数有5种选法，使函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的是a2﹣2＞0解得a＞或者a＜，所以满足此条件的a有﹣2，3，4共有3个，由古典概型公式得函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是；故选：B．2.要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位 B．向右平移单位C．向左平移单位 D．向右平移单位参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．3.已知集合，，则__________.

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t≤2，又由=t，故≤≤2；故选：D．【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式．5.条件甲：a＞b＞0，条件乙：，则甲是乙成立的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．【解答】解：条件乙：，即为?若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立不一定有条件甲：a＞b＞0成立所以甲是乙成立的充分非必要条件故选A．【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充要条件的定义进行判断．6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．5参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．7.已知双曲线,其中，双曲线半焦距为c,若抛物线的准线被双曲线C截得的弦长为（e为双曲线C的离心率），则双曲线C的渐近线方程为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B8.下列命题错误的是

A．命题“”的逆否命题是若或，则B．“”是””的充分不必要条件C．命题：存在,使得，则：任意,都有

D．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题参考答案：D略9.已知a∈R，若a+1，a+2，a+6依次构成等比数列，则此等比数列的公比为(

) A．4 B．2 C．1 D．﹣参考答案：A考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得（a+2）2=（a+1）（a+6），解得a=﹣，由此能求出此等比数列的公比．解答： 解：∵a+1，a+2，a+6依次构成等比数列，∴（a+2）2=（a+1）（a+6），解得a=﹣，∴此等比数列的公比q==4．故选：A．点评：本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的公比的求法．10.设全集U=R，集合M={x|x＞1}，P={x|x2＞1}，则下列关系中正确的是（）A．M=P B．P?M C．M?P D．?U（M∪P）=?参考答案：C【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】求出集合P={x|x＞1，或x＜﹣1}，根据真子集的概念即可得到M?P．【解答】解：P={x|x＞1，或x＜﹣1}，M={x|x＞1}；∴M?P．故选C．【点评】考查解一元二次不等式，描述法表示集合，以及真子集的概念．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△中，角、、所对的边分别为、、，且满足，，则△的面积为______________．参考答案：2因为，所以，所以，因为，所以，所以△的面积。12.（不等式选讲）若不等式的解集为，则实数的取值范围为

．参考答案：略13.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a=15，b=10，A=60°，则cosB=

．参考答案：【考点】正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】由正弦定理可得，可求sinB，然后结合大边对大角及同角平方关系即可求解【解答】解：∵a=15，b=10，A=60°由正弦定理可得，∴sinB===∵a＞b∴A＞B∴B为锐角∴cosB==故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理及同角平方关系的简单应用，属于基础试题14.是定义在实数有R上的奇函数，若x≥0时，，则___参考答案：-115.设是定义在R上的奇函数，当时，（其中b为常数），则___________．参考答案：－316.设集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则A∩B=

．参考答案：{x|0＜x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．17.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的，分别为14，20，则输出的＝______．参考答案：2【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为

输出

故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=sin2x+sin(－2x)．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x值；（Ⅱ）设函数g(x)=f(x)，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cos∠MPN的值．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）化简函数（x）为正弦型函数，利用正弦函数的图象与性质求出它的最大值以及此时对应的x值；（Ⅱ）化简函数g（x），过D作MD⊥x轴于D，根据三角函数的对称性求出∠PMN=90°，再求cos∠MPN的值．【解答】解：（Ⅰ）函数=sin2x+cos2x﹣sin2x…==；…∴f（x）的最大值为f（x）max=1，…此时，…解得；…（Ⅱ）函数=sin=sin（x+），…过D作MD⊥x轴于D，如图所示；∵PD=DM=1，∴∠PMN=90°，…计算PM=，MN=2PM=2，PN==，…∴．…19.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求的取值范围；(2)证明：参考答案：（1）由题意知，函数的定义域为，方程在有两个不同根，即方程在有两个不同根，令，则当时，由恒成立，即在内为增函数，显然不成立当时，由解得，即在内为增函数，内为减函数，故即可，解得综上可知的取值范围为（2）由（1）知：当时，恒成立∴┄上式个式子相加得：即又因为所以所以20.已知数列，满足条件：，．（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，并求使得对任意都成立的正整数的最小值．参考答案：解：（Ⅰ）∵∴，∵，…………2分∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．

∴∴

…………4分（Ⅱ）∵，

…………6分∴

．

…………8分

∵，又，∴N*，即数列是递增数列．∴当时，取得最小值．

…………10分

要使得对任意N*都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需，由此得．∴正整数的最小值是5．

…………12分略21.（12分）（2015?嘉峪关校级三模）已知函数f（x）=x?lnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数a＞，求函数f（x）在上的最小值；（3）若k为正数，且f（x）＞（k﹣1）x﹣k对任意x＞1恒成立，求k的最大值．参考答案：【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）由已知得x＞0，f′（x）=lnx+1，由此能求出y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程．（2）由f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=，由此利用导数性质能求出函数f（x）在上的最小值．（3）记h（x）=f（x）﹣（k﹣1）x+k=xlnx﹣（k﹣1）x+k，x＞1，则h′（x）=lnx+2﹣k，x＞1，由此利用导数性质能求出k的最大值．解：（1）∵f（x）=x?lnx，∴x＞0，f′（x）=lnx+1，∵f（e）=e，f′（e）=2，∴y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程为：y=2（x﹣e）+e，即y=2x﹣e．（2）∵f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=，当x∈（0，）时，F′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（）时，F′（x）＞0，f（x）单调递增，当a≥时，f（x）在单调递增，min=f（a）=alna，当时，a＜，min=f（）=﹣．（3）记h（x）=f（x）﹣（k﹣1）x+k=xlnx﹣（k﹣1）x+k，x＞1，则h′（x）=lnx+2﹣k，x＞1，当k≤3且k∈Z时，h（x）在x∈（1，+∞）上为增函数，∴h（x）＞h（1）=1＞0，符合．当k≥4且k∈Z时，h（x）在x∈（1，ek﹣2）上为减函数，在x∈，∴h（2）=2ln2+2﹣k＜2+2﹣k≤0，不符合．综上，k≤3且k∈Z，∴k的最大值是3．【点评】：本题考查切线方程的求法，考查函数的最小