山西省太原市西谷乡中学2021年高二数学理联考试题含解析

山西省太原市西谷乡中学2021年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，，若与共线，则等于（

）A．；

B．

C．

D．参考答案：C2.在等差数列{an}中，已知a5=3，a9=6，则a13=（） A．9 B．12 C．15 D．18参考答案：A【考点】等差数列的通项公式． 【专题】计算题． 【分析】根据等差数列的性质得出2a9=a5+a13，然后将值代入即可求出结果． 【解答】解：∵{an}是等差数列 ∴2a9=a5+a13 a13=2×6﹣3=9 故选A． 【点评】本题考查了等差数列的性质，灵活运用等差数列中项性质可以提高做题效率．属于基础题． 3.已知a+b+c=0,ab+bc+ac的值()A．大于0

B．小于0

C．不小于0

D．不大于0参考答案：D4.已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则b的值等于（

）A. B. C.2 D.±2参考答案：B【分析】由为幂函数，即可得到的值，计算出，且经过的定点，代入中，即可得到的值。【详解】由于为幂函数，则，解得：，函数，且，当时，，故的图像所经过的定点为，所以，即，解得：,故答案选B【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数恒过点点的问题，属于基础题。5.记I为虚数集，设，，。则下列类比所得的结论正确的是（

）A．由，类比得B．由，类比得C．由，类比得

D．由，类比得参考答案：C略6.定点到双曲线的渐近线的距离为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.直线的倾斜角是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D8.将点M的极坐标化成直角坐标是(

)A. B. C.(5,5) D.(－5,－5)参考答案：A本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M的极坐标，知极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为即故正确答案为A9.5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（

）

A．54

B．45

C．5×4×3×2

D．5×4参考答案：B略10.双曲线中，已知，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．参考答案：A【知识点】双曲线【试题解析】因为由渐近线方程得得

所以，离心率为

故答案为：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的定义域为，部分对应值如下表：的导函数的图象如图所示，下列关于函数的命题：①函数的值域为；②函数在上是减函数；③如果当x∈时，的最大值是2，那么t的最大值为5；④当1<a<2时，函数有4个零点．其中真命题为________(填写序号)．参考答案：②③试题分析：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，可得：函数f（x）在区间上单调递增；在区间上单调递减；在区间上单调递增；在区间上单调递减．结合表格可得函数f（x）的图象：由图象可得：①函数f（x）的值域为，正确；②函数f（x）在上是减函数，正确；③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5，因此不正确；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a最多有4个零点，正确．综上可得：正确命题的个数为：3考点：命题的真假判断与应用12.若，且，则__________．参考答案：1113.将5个相同的小球放到4个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，共有_____种放法参考答案：4

略14.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是______参考答案：.解：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2．将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ=0，1，2，4，15.如图，有组数据，去掉

组（即填A，B，C，D，E中的某一个）后，剩下的四组数据的线性相关系数最大。

参考答案：D组16.已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为______参考答案：1817.若曲线在点（1,1）处的切线和曲线也相切，则实数的值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点P（4，0）且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围.参考答案：（1）；（2）试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出的值，若不明确，需分焦点在轴和轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：解：（1）由题意知，.又双曲线的焦点坐标为，，椭圆的方程为.（2）若直线的倾斜角为，则，当直线的倾斜角不为时，直线可设为，，由设，，，，综上所述：范围为.考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题.19.（本大题满分12分）直三棱柱中，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．参考答案：解：（Ⅰ）直三棱柱中，，

又可知，………2分由于，则由可知，，……4分则

所以有平面

……………6分（Ⅱ）直三棱柱中，，…….8分因为，所以ABC面积为................10分.............12分略20.已知函数，曲线在处的切线方程为.（Ⅰ）求实数a，m的值；（Ⅱ）求在区间[1,2]上的最值.参考答案：（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为－2，最小值为.【分析】（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.【详解】解：（Ⅰ），∵曲线在处的切线方程为，∴解得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增，又，，，∴在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.21.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．(1)求圆心的极坐标；(2)求{－1,0}面积的最大值．参考答案：（1）；（2）。【分析】（1）先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程(x－1)2＋(y＋1)2＝2，再把圆心的坐标化为极坐标.(2)先求出弦长AB,再求点P到直线AB距离的最大值，即得面积的最大值.【详解】(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为.(2)直线l的普通方程为2x－y－1＝0，圆心到直线l的距离d＝，所以|AB|＝2＝，点P到直线AB距离的最大值为，故最大面积Smax＝.【点睛】(1)本题主要考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的互化，考查弦长的计算、圆和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求圆的弦长经常用到公式.（3）解答本题的关键是利用数形结合求出点P到直线AB的最大值.22.已知椭圆的焦距为，短半轴长为2，过点P（﹣2，1）斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求弦AB的长．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知可得：2c=4，b=2，a2=b2+c2，联立解得即可得出．（2）直线l的方程为：y﹣1=x+2，即y=x+3．设A（x1，y1），B（x2，y2）．与题意方程联立化为：4x2+18x+15=0，利用弦长公式|AB|=即可得出．【解答】解：（1）由已知可得：2c=4，b=2，a2=