山西省太原市第六十七中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析

山西省太原市第六十七中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线y=x+m与圆x2+y2+4x+2=0有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是(

)A．（2﹣，2） B．（﹣4，0） C．（﹣2﹣，﹣2+） D．（0，4）参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，即可确定实数m的取值范围．【解答】解：圆x2+y2+4x+2=0化为（x+2）2+y2=2，圆的圆心坐标（﹣2，0），半径为∵直线y=x+m与圆（x+2）2+y2=2有两个不同的公共点，∴d=＜∴m2﹣4m＜0∴0＜m＜4故选D．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，属于中档题．2.已知是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（

）A．－2

B．1

C．2

D．3参考答案：A3.设集合A={x|（x+1）（4﹣x）＞0}，B={x|0＜＜3}，则A∩B等于（）A．（0，4） B．（4，9） C．（﹣1，4） D．（﹣1，9）参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣4）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即A=（﹣1，4），由B中不等式解得：0＜x＜9，即B=（0，9），则A∩B=（0，4），故选：A．4.已知函数，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）A． B．（0，1] C．[0，1] D．参考答案：D【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数f（x）中两个函数解析式对称的图象，然后求出能使函数值为2的关键点，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数，∴函数f（x）的图象如下图所示：∴函数f（x）在[﹣1，k）上为减函数，在[k，a]先减后增函数，当﹣1＜k≤，x=时，，由于当x=1时，﹣x3﹣3x+2=0，当x=a（a≥1）时，﹣a3﹣3a+2≤2，可得1≤a故若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则a∈[1，]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值域，数形结合思想，难度中档．5.虚数（x-2）+yi中x,y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（

）

A．[]

B．[-,0]∪（0,）

C．［-］

D．[-,0]∪（0,）参考答案：B∵,设k＝，

则k为过圆上的点及原点的直线斜率，

作图如下，则，又∵,∴k≠0．由对称性选B．6.复数的值是（

）A．0

B．1

C．

D．参考答案：答案：A7.已知，若，则(

)A．a+b=0 B．a﹣b=0 C．a+b=2 D．a﹣b=2参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】化简函数的解析式，利用函数的奇偶性求解即可．【解答】解：，则f（x）﹣1是奇函数，而，所以==2，所以a+b=2，故选：C．【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．8.设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点： 充要条件．专题： 简易逻辑．分析： 求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．解答： 解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选：A点评： 本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．9.命题“若，则”的逆否命题是（

）

A．“若，则”

B．“若，则”

C．“若x，则”

D．“若，则”参考答案：C10.已知为不相等的正实数，则三个数的大小顺序是

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在锐角△ABC中，已知AB=，BC=3，其面积S△ABC=，则AC=．参考答案：3【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinB的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，进而利用余弦定理可求AC的值．【解答】解：∵AB=2，BC=3，面积S△ABC=AB?BC?sinB=2×3×sinB=3，∴解得：sinB=，∵由题意，B为锐角，可得：cosB==，∴由余弦定理可得：AC===3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．12.复数z满足z（2+i）=3﹣6i（i为虚数单位），则复数z的虚部为．参考答案：﹣3【考点】复数的基本概念．【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的代数运算法则，求出复数z，即得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足z（2+i）=3﹣6i（i为虚数单位），∴z====﹣3i即复数z的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了复数的概念与代数运算问题，是基础题目．13.若函数在R上有两个零点，则实数a的取值范围是________.参考答案：14.当点（x，y）在直线x+3y=2上移动时，z=3x+27y+3的最小值是

．参考答案：9【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质、指数的运算法则即可得出．【解答】解：∵点（x，y）在直线x+3y=2上移动，∴x+3y=2，∴z=3x+27y+3≥+3=+3=+3=9，当且仅当x=3y=1时取等号．其最小值是9．故答案为：9．【点评】本题考查了基本不等式的性质、指数的运算法则，属于基础题．15.定义在R上的偶函数在[0,+∞)为单调递增，则不等式的解集是_________.参考答案：【分析】由偶函数的性质，再结合函数的单调性可得，再解绝对值不等式即可得解.【详解】解：因为函数为定义在R上的偶函数，则由可得，又函数在为单调递增，则，解得，故不等式的解集是：.【点睛】本题考查了偶函数的性质及利用函数的单调性求参数的范围，重点考查了函数思想，属基础题.16.已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则________.参考答案：4考点：双曲线定义17.已知等比数列{an}的各均为正数，且，则数列{an}的通项公式为．参考答案：an=【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】设公比为q，由题意可得a1（1+2q）=3且=4，解方程组求出首项和公比的值，即可得到数列{an}的通项公式．【解答】解：等比数列{an}的各均为正数，且，设公比为q，则可得

a1（1+2q）=3且=4，解得a1=，q=，故数列{an}的通项公式为an=×=，故答案为an=．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图3，在圆锥中，已知的直径的中点．

（Ⅰ）证明：平面;

（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值.参考答案：解法1：（I）因为又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，所以AC⊥PO，而OD，内的两条相交直线，所以

（II）由（I）知，又

所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．在在在19.（本小题满分13分）如图，是圆的直径，是圆上异于的一个动点，垂直于圆所在的平面，DC∥EB，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当三棱锥C-ADE体积最大时，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．参考答案：（Ⅰ）∵DC⊥面ABC，∴DC⊥BC，又∵AB是的直径，∴AC⊥BC

AC∩DC=C，面ACD，∴BC⊥平面ACD

又∵DC//EB，DC=EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE//BC

∴DE⊥平面ACD

…5分（Ⅱ）

当且仅当时取等号，∴当三棱锥C-ADE体积最大时，如图，以C为原点建立空间直角坐标系，则，设平面ADE的一个法向量，则，令得设平面ABE的一个法向量，，令得，∴当三棱锥C-ADE体积最大时，平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为…13分20.(本小题满分12分)已知数列与，若且对任意正整数满足数列的前项和.（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和参考答案：1）因为对任意正整数n满足所以是公差为2的等差数列

又因为所以

（2分）当时，；

（3分）当时，

（4分）对不成立。所以，数列的通项公式:

(5分)2)由1）知当时

(6分)当时

（8分）所以，

(10分)当n=1时仍成立。

(11分)所以对任意正整数n成立。

(12分)21.（本小题满分12分）如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于点O、A.直线x=t(0<t<1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D.（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t)；（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值.参考答案：解：（Ⅰ）由

题意得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.f(t)=S△ABD+S△OBD=|BD|·|1-0|=|BD|=(-3t3+3t)，即f(t)=-(t3-t)，(0<t<1).（