水力学第二讲

第二章流体静力学§2-1流体静压强及其特性1静压强的定义静止流体单位面积上的表面力称为流体静压强。静止或相对静止流体在接触面积上的表面力是流体静压力。平均流体静压强点静压强单位§2-1流体静压强及其特性2静压强的特性①静压强的方向是垂直受压面，并指向受压面。…静止流体不能承受拉力和切力。②任一点静压强的大小和受压面方位无关，只与空间位置有关。…液体中任一点各方向静压强相等；可以用连续函数表示质量力表面力证明：取微小四面体O-ABCb.任一点静压强的大小与作用面的方位无关与方位无关与位置有关p的全微分§2-2流体的平衡微分方程及其积分1流体的平衡微分方程—欧拉平衡微分方程取正六面微元体建立力的平衡方程采用泰勒级数展开合并表面力项考虑质量力作用以x方向为例推导得欧拉平衡微分方程流体平衡微分方程1.流体平衡微分方程由泰勒级数展开，取前两项：质量力：用dx、dy、dz除以上式，并化简得同理——欧拉平衡微分方程（1）（2）（3）§2-2流体的平衡微分方程及其积分2流体的平衡微分方程的积分构造全微分求解静压强分布；积分条件①流体密度是常量；②质量力有势；质量力有势是静压强分布连续的必要条件；重力和惯性力都是有势力；＝＝

§2-2流体的平衡微分方程及其积分方程积分形式帕斯卡原理：处于平衡状态的不可压缩流体中，作用于边界上的压强将等值地传递到流体内的一切点上。§2-2流体的平衡微分方程及其积分3等压面及其特性等压面的两个重要性质：①在平衡液体中等压面是等势面；②等压面与质量力正交。等压面不一定是水平面（等加速运动的小车）；等压面不一定是平面（等速旋转的容器）；水平面是等压面的条件是：只有重力作用；静止流体；同种流体；连续流体。液体的相对平衡（等压面）（1）等加速直线运动质量力边界条件为积分由边界条件对于自由液面（2）等角速度旋转运动质量力边界条件为积分由边界条件对于自由液面例：如图,敞口容器内盛有油和水,试判断,及、是否成立？答：(1)(2)(3)(非同一种流体)(同一种流体)(同一种流体)§2-3流体静压强分布规律1流体静压强公式只有重力作用时积分得1任意两点关系；2用深度差表示液面下一点；3液面为大气压时(相对压强表示)；4在气体中.解：例：试比较上例中的大小。§2-3流体静压强分布规律2压强的计算基准和表示方法压强的计算基准①绝对压强：以设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量压强。②相对压强：以当地大气压强作为零点计量压强③真空及真空压强：相对压强为负时存在真空；绝对压强小于当地大气压强的数值称为真空压强。

§2-3流体静压强分布规律2压强的计算基准和表示方法压强的表示方法①应力单位表示法；②大气压倍数表示法；标准大气压（平均海面上的压强）工程大气压（200m海拔处的压强）③液柱高度表示法；

例：一封闭水箱，如图所示，水面上压强p0=85kN/m2，求水面下h=1m点C的绝对压强、相对压强和真空压强。已知当地大气压pa=98kN/m2,ρ=1000kg/m3。由压强公式解：得C点绝对压强为相对压强为负值，说明C点存在真空。，C点的相对压强为由公式,

相对压强的绝对值等于真空压强，即得或据公式

§2-3流体静压强分布规律3静压强分布图绘制规则：①按一定比例用线段长度代表点静压强大小；②用箭头表示静压强方向，并与受压面垂直。hpapaopoh§2-3流体静压强分布规律4压强的量测仪器和方法量测压强的仪器：弹簧式、舌簧式（压力表），电阻式、电容式（传感器）、液柱式（测压管）；①直测式测压管：直接在容器中引出液体的液柱高度量测压强；（容器开敞、封闭）②U形水(银)柱测压管：弯曲部分装有水银的测压管，水银柱高程变化较水柱减小13.55倍，增大量程。（应注意：毛细现象；防止水银回流）§2-3流体静压强分布规律4压强的量测仪器和方法③比压计（压差计）：空气比压计：水银比压计：§2-3流体静压强分布规律空气比压计：水银比压计：例：某供水管路上装一复式U形水银测压计，如图所示。已知测压计显示的各液面的标高和A点的标高为：试确定管中A点压强。解：因2-2、3-3、4-4为等压面，根据静压强公式可得

已知断面1上作用着大气压，因此可以从点1开始，通过等压面，并应用流体静力学基本方程式，逐点推算，最后便可求得A点压强。

，，将已知值代入上式，得，联立求得

例：如图所示，利用三组串联的U型水银测压计测量高压水管中的压强，测压计顶端盛水。当M点压强等于大气压强时，各支水银面均位于0-0水平面上。当最末一组测压计右支水银面在0-0平面以上的读数为h时，求M点的压强？当点压强等于大气压强时，各支水银面均位于0-0水平面上(图a)解：

则当最末一组测压计右支水银面在0-0平面以上的读数为h时，三组U型水银测压计中水银柱的高差均为2h(图b)图a图b自最末一组测压计右支起，依次推求，得

例：如图所示，盛同一种液体的两容器，用两根U形差压计连接。上部差压计内盛密度为ρA

的液体，液面高差为hA；下部差压计内盛密度为ρB的液体，液面高差为hB

。求容器内液体的密度ρ。（用ρA

、ρB、hA、hB

表示）。由图可知１－１、２－２为等压面，解：

则容器内液体的密度为

则在这两个等压面之间两端的液柱产生的压力之和相等，即1122§2-4作用于平面的液体总压力1图解法压强分布体（大小、指向）；图形体积分（图形体积）边长分别为压强和长度；体积图形心，对三角形距底边为；梯形为适用于规则平面。

§2-4作用于平面的液体总压力2解析法

§2-4作用于平面的液体总压力2解析法

图解法与解析法的比较图解法解析法压力：压强图形体积受压面积一次静矩

作用点：压强图形一次静矩受压面积二次静矩沿ob方向的压力中心例：一矩形闸门铅直放置，如图所示，闸门顶水深h1=1m，闸门高h=2m，宽b=1.5m，试求静水总压力P的大小及作用点。

解：①求静水总压力

由图a知，矩形闸门几何形心面积代入公式，得b图ahCCb②求压力中心

因代入公式面积惯距，得而且压力中心D在矩形的对称轴上。CDblClDhC

例：如图所示为一平板闸门，水压力经闸门的面板传到三个水平横梁上，为了使各个横梁的负荷相等，三水平横梁距自由表面的距离y应等于多少？已知水深h=3m。首先画出平板闸门所受的静水压强分布图。解：

单位宽闸门上所受的静水总压力可以由图解法计算静水压强分布图的面积求出，即ρghDhP将压强分布图分成三等分，则每部分的面积代表若使三个横梁上的负荷相等，则每个梁上所承受的水压力应相等，即

hh3h2h1以表示这三部分压强分布图的高度，因此，则则同理，

，因此hh3h2h1所以每根横梁要承受上述三部分压强分布面积的压力，横梁安装位置应在各相应压力的压心y1、y2、y3上。对于梯形面积，其压力中心距下底的距离

y1，则同理，对于三角形压强分布，压力中心距底部距离为，则y2y3

例：有一直立的矩形自动翻板闸门，门高H为3m，如果要求水面超过门顶h为1m时，翻板闸门即可自动打开，若忽略门轴摩擦的影响，问该门转动轴0-0应放在什么位置？

由题意分析可知，当水面超过1m时，静水压力的作用点刚好位于转动轴的位置处。于是，要求转动轴的位置，就是要求静水压力的作用点的位置。解：

可利用公式进行求解

例：如图所示，涵洞进口设圆形平板闸门，其直径d=1m，闸门与水平面成倾角并铰接于B点，闸门中心点位于水下4m，门重G=980N。当门后无水时，求启门力T（不计摩擦力）

首先分析平板闸门所受的力，有重力G、静水压力P以及启门力T，根据开启闸门时三者绕B点转动的力矩达到平衡即可求得启门力T。

解：DP下面求静水压力P及其作用点位置由题可知

代入公式

作用点D位于如图所示的位置，可利用公式求得，其中

圆形平板绕圆心转动的面积惯矩

则

DPlDlC重力作用线距转动轴B点的距离

启门力T到B点的距离

由力矩平衡方程

解得

DPlDlC因此可求得D距转动轴B点的距离l2l1§2-5作用于曲面的液体总压力§2-5作用于曲面的液体总压力1水平分力§2-5作用于曲面的液体总压力2铅垂分力§2-5作用于曲面的液体总压力3总压力

例：两水池隔墙上装一半球形堵头，如图。已知：球形堵头半径Ｒ=1m，测压管读数h=200mm。求：（1）水位差ΔH；（2）半球形堵头的总压力的大小和方向。⑴如图所示的面为等压面，解：解得

于是有cch1⑵先求总压力的水平分力又

半球形堵头的垂直投影面为半径的圆,则左边水池的水对半球形堵头的水平压力为

右边为

故

hC1hC2方向水平向左Px然后再求垂直分力

左边水体对半球形堵头的压力体为如图虚线所示，方向向上；右边水体对半球形堵头的压力体为如图虚线所示，方向向下。因此，压力体为零。

故，垂直分力为零。所以，总压力即为水平分力。

例：如图所示，一圆弧门，门长2m。（1）求作用于闸门的水平总压力及其作用线位置。（2）求垂直总压力。

⑴求水平总压力

解：

代入公式得

弧形闸门的铅垂投影面如图

面积

投影面形心点淹没深度

ChCbrPxD然后再求水平作用线的位置

因

面积惯矩

代入