山西省太原市城第二中学2022年高三数学理期末试卷含解析

山西省太原市城第二中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.参考答案：B略2.若，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.为得到的图象，只需要将的图象（

）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位参考答案：D因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向左平移个单位；故选D．

4.复数A．i B．-i C． D．1+i参考答案：A5.“”是“”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要参考答案：A6.若，，则（

）．A. B. C. D.参考答案：B【分析】由三角函数的诱导公式，求得的值，再利用同角三角函数基本关系式可求，最后利用二倍角的正弦函数公式可求的值．【详解】由，可得，又因为，可得，所以．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式、基本关系式，以及正弦的倍角公式的化简求值，着重考查了推理与计算能力．7.设命题.则为A.B.C.D.参考答案：D8.已知数列满足则该数列的前18项和为（

）A.2101

B.1067

C.1012

D.2012参考答案：B略9.定义域为的函数图像的两个端点为、，是图象上任意一点，其中．已知向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”．若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出k的值是A.8 B.7C.6 D.5参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.d .参考答案：。12.若双曲线的左、右焦点分别为F1,F2，线段F1F2被抛物线的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为___________.参考答案：略13.圆C：x2+y2=r2，点A（3，0），B（0，4），若点P为线段AB上的任意点，在圆C上均存在两点M，N，使得=，则半径r的取值范围．参考答案：[，）【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】设P（m，n），N（x，y），可得M的坐标，代入圆的方程，根据方程组有解得出m，n与r的关系，根据m的范围得出r的范围．【解答】解：直线AB的方程为4x+3y﹣12=0，设P（m，n），则0≤m≤3．设N（x，y），∵=，∴M为PN的中点，∴M（，），∵M，N在圆C上，∴．∵该方程组有解，∴r≤≤3r，即r2≤m2+n2≤9r2，∵P在线段AB上，∴4m+3n﹣12=0，即n=4﹣，∴r2≤≤9r2，即r2≤≤9r2对一切m∈[0，3]上恒成立，设f（m）=，则f（m）在[0，3]上的最大值为f（0）=16，最小值为f（）=，∴，解得≤r≤，又点P为线段AB上的任意点，在圆C上均存在两点M，N，使得=，∴直线AB与圆C相离，∴r＜=．∴r的范围是[，）．故答案为：[，）．14.

在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”.则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是__▲__；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是__▲

_.参考答案：，（1），画图可知时，取最小值.（2）设圆上点，直线上点，则，画出此折线，可知在时，取最小值，15.已知集合，集合，则_______．参考答案：16.奇函数在上有定义，且在区间上是增函数，，又函数，则使函数同取正值的的范围

_.参考答案：17.如图4，椭圆的中心在坐标原点，为左焦点，、分别为长轴和短轴上的一个顶点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为

．参考答案：由图知，，整理得，即，解得，故．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，三棱柱侧棱与底面垂直，且所有棱长都为4，D为CC1中点．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值．参考答案：解法一：（向量法）（1）取中点，连结．取中点，

故：以为原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

……2分则：

……3分

……4分，．

……6分

平面．

……7分（2）设平面的法向量为．．

令得为平面的一个法向量．

……10分由（1）可知：为平面的法向量．

……11分．

……13分二面角是锐角

二面角的余弦值为为．……14分解法二：（传统几何法）（1）取BC中点O，连结AO和，

……2分

……3分在正方形中，分别为的中点，由正方形性质知：，

……4分………5分又在正方形中，，

………6分平面．

……7分

（2）设AB1与A1B交于点，在平面1BD中，作于，连结，由（1）得．

为二面角的平面角．

………10分在中，由等面积法可求得， ………12分又，

………13分．

所以二面角的余弦值为．

……14分19.若向量mn=,在函数mn+的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为,且当时,的最大值为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调递增区间.参考答案：解:由题意得m﹒n+(1)∵对称中心到对称轴的最小距离为，的最小周期，当时，

.（2），解得：，所以函数的单调递增区间为20.设函数，（1）求的反函数；（2）判断的单调性，不必证明；（3）令，当，时，在上的值域是，求的取值范围．参考答案：（1），（2）当时，减；当时，增（3）21.已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)对一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)求证：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞－.参考答案：(1)由条件知2f(x)≥g(x)，即2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋.

……2分设h(x)＝2lnx＋x＋(x＞0)，h′(x)＝.

………………4分当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以[h(x)]min＝h(1)＝4.因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤[h(x)]min＝4.

故实数a的取值范围是(－∞，4]．…………6分(2)证明：问题等价于证明xlnx＞－，x∈(0，＋∞)．即f(x)＞－∵f′(x)＝lnx＋1.

…………7分当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以，[f(x)]min＝f()＝－.……10分设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝，……12分易得[m(x)]max＝m(1)＝－.从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞－成立．…………14分

略22.（12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA=AC=2，PB=PD=

（1）证明PA⊥平面ABCD；

（2）已知点E在PD上，且PE:ED=2:1，点F为棱PC的中点，证明BF//平面AEC。

（3）求四面体FACD的体积;

参考答案：解析：证明：（I）因为在正方形ABCD中，AC=2∴AB=AD=可得：在△PAB中，PA2+AB2=PB2=6。所以PA⊥AB同理可证PA⊥AD故PA⊥平面ABCD（4分）

（II）取PE中点M，连接FM，BM，连接BD交AC于O，连接OE∵F，M分别是PC，PF的中点，