山西省太原市三十二中学高三数学理月考试题含解析

山西省太原市三十二中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A． B．5 C．7 D．参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线焦点的位置可得，解可得a的范围，又由其焦距为4，即c=2，由双曲线的几何性质可得c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a的值．【解答】解：根据题意，双曲线+=1，焦点在y轴上，则有，解可得a＜2，又由其焦距为4，即c=2，则有c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a=；故选：D．2.若向量，且，则锐角等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知集合，，则（

）A．[1,+∞)

B.(0,1)

C.(?-∞,0)

D.(0,+∞)参考答案：B4.已知为虚数单位，则复数的模等于A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.若,则（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：C

6.若圆与直线交于不同的两点，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.的值为

A. B. C. D.参考答案：C8.函数的部分图象如图所示,则(

)A.4

B.

C.2

D.参考答案：A9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中曲线部分是圆弧，则此几何体的表面积为（）A．10+2π B．12+3π C．20+4π D．16+5π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是上部为半圆柱体，下部为长方体的组合体，结合图中数据求出它的表面积．【解答】解：由三视图知，该几何体是上部为半圆柱体，下部为长方体的组合体，其表面积为S=S长方体+S半圆柱=（1×2×2+2×1×2+22）+（π?12+π?1?2）=12+3π．故选：B．10.若（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：=，则z的共轭复数为：i．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若m＞1，则函数f（m）=（1﹣）dx的最小值为．参考答案：﹣1【考点】定积分．【分析】根据微积分基本定理和基本不等式，计算即可．【解答】解：f（m）=（1﹣）dx=（x+|）=m+﹣5≥2=4﹣5=﹣1，当且仅当m=2时等号成立．故答案为：﹣1．12.函数，其中，对，恒有，若，则的取值范围是

．参考答案：13.

参考答案：150°14.已知圆直线（1）圆的圆心到直线的距离为

．(2)圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为

．参考答案：（1）5（2）本题考查点到直线的距离公式、几何概型问题，难度较大。（1）由点到直线的距离公式得；（2）圆上到直线L距离为2的点所在的弦长为，此弦所对的圆心角为，所以所求概率为。15.函数处取得极值，则的值为

参考答案：答案：016.在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A—BCD中，DA⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在面BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间关系为

．参考答案：17.函数的单调增区间为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC，设点F为棱AD的中点．（1）求证：DC平面ABC；（2）求直线与平面ACD所成角的余弦值．参考答案：（1）证明：在图甲中∵且∴,即在图乙中，∵平面ABD平面BDC，且平面ABD平面BDC＝BD∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．又，∴DC⊥BC,且∴DC平面ABC．

（2）解：作BE⊥AC，垂足为E。由（1）知平面ABC⊥平面ACD，又平面ABC平面ACD=AC，∴BF⊥平面ADC，∴即为直线与平面ACD所成角设得AB=，AC=∴，，

∴∴直线与平面ACD所成角的余弦值为。略19.在平面直角坐标系x0y中，已知点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．参考答案：考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E的轨迹C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1），将y=k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由题设条件能推导出直线MN的垂直平分线的方程为y+=﹣，由此能求出点P纵坐标的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），∵点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，∴，整理，得，x≠，∴动点E的轨迹C的方程为，x．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），将y=k（x﹣1）代入，并整理，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，△=8k2+8＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=，设MN的中点为Q，则，，∴Q（，﹣），由题意知k≠0，又直线MN的垂直平分线的方程为y+=﹣，令x=0，得yP=，当k＞0时，∵2k+，∴0＜；当k＜0时，因为2k+≤﹣2，所以0＞yP≥﹣=﹣．综上所述，点P纵坐标的取值范围是[﹣]．点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．20.（12分）

数列的前项和记为，，．（1）当为何值时，数列是等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又

成等比数列，求．参考答案：解析：（1）由，可得，两式相减得，∴当时，是等比数列，…………………3分要使时，是等比数列，则只需，从而．

……6分（2）设的公差为d，由得，于是，

…………………8分故可设，又，由题意可得，解得，∵等差数列的前项和有最大值，∴，

…………10分∴．

………………12分21.(本题满分14分)设公差为（）的等差数列与公比为（）的等比数列有如下关系：，，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记，，，求集合中的各元素之和。参考答案：解：（I）由已知Ks5u

得或

又

，

（Ⅱ）集合与集合的相同元素和为：

略22.已知f（x）=sinx+﹣mx（m≥0）．（1）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围；（2）当a≥1时，?x∈[0，+∞）不等式sinx﹣cosx≤eax﹣2是否恒成立？请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为不等式eax﹣﹣x﹣1≥0对x∈[0，+∞）恒成立，构造函数M（x）=ex﹣﹣x﹣1，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）由题意得f′（x）=cosx+﹣m，设g（x）=cosx+﹣m，则g′（x）=﹣sinx+x，令h（x）=﹣sinx+x，则h′（x）=﹣cosx+1≥0，故h（x）在[0，+∞）递增，故g′（x）≥g′（0）=0，故g（x）在[0，+∞）递增，即g（x）≥g（0）=1﹣m，故要使f（x）在[0，+∞）递增，则1﹣m≥0，即m≤1，故m的范围是m≤1；（2）由（1）可得，x∈[0，+∞）时，sinx≤x且cosx+﹣m≥1﹣m，即cosx≥1﹣，故sinx﹣cosx≤x﹣（1﹣），故若?x∈[0，+∞），不等式x﹣（1﹣）≤eax﹣2恒成立，则不等式sinx﹣cosx≤eax﹣2，?x∈[0，+∞）恒成立，要使不等式x﹣（1﹣）≤eax﹣2，?x∈[0，+∞）恒成立，即使不等式eax﹣﹣x﹣1≥0对x∈[0，+∞）恒成立，构造函数M（x）=ex﹣﹣x﹣1，则M′（x