山西省大同市阁老山中学高三数学理模拟试题含解析

山西省大同市阁老山中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：B解析：直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，联立方程组得，消元得，解得，和，∴|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面积为48，选B.2.如图，在正方体ABCD-EFGH中，下列命题中错误的是

A.BD//面FHABEC丄BDC.EC丄面FHAD.异面直线BC与AH所成的角为60°参考答案：D略3.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y=x3为幂函数，是奇函数，不符合题意，对于B，y=|x-1|，不是奇函数，不符合题意；对于C，y=|x|-1，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数，符合题意；对于D，y=，为指数函数，不是偶函数，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.函数的定义域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.已知，且,则x的取值范围是（

）A．[

,4]

B.[

,4]

C.[

,3]

D.[

,3]参考答案：B6.已知偶函数f（x）对任意x∈R满足f（2+x）=f（2﹣x），且当﹣3≤x≤0时，f（x）=log3（2﹣x），则f（2015）的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2015参考答案：B【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用已知关系式以及函数的奇偶性求出函数的周期，然后化简所求f（2015）为f（﹣1），通过函数表达式求出函数值即可．【解答】解：∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（4+x）=f（﹣x）．∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）=f（x+4），函数的周期为：4，∴f（2015）=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=log33=1．故选：B．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力．7.设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝2x－x，则有()A．f<f<f

B．f<f<fC．f<f<f

D．f<f<f参考答案：B8.有一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48π B．36π C．24π D．12π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，代入圆锥表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，底面直径为6，底面半径r=3，母线长l=5，故其表面积S=πr（r+l）=24π，故选：C．9.向面积为S的平行四边形ABCD中任投一点M，则△MCD的面积小于的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】先求出△MCD的面积等于时，对应的位置，然后根据几何概型的概率公式求相应的面积，即可得到结论【解答】解：设△MCD的高为ME，ME的反向延长线交AB于F，当“△MCD的面积等于”时，即ME，过M作GH∥AB，则满足△MCD的面积小于的点在?CDGH中，由几何概型的个数得到△MCD的面积小于的概率为；故选C．【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据面积之间的关系是解决本题的关键．10.不等式组的解集记为,若,则的最小值是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A画出不等式组表示的平面区域，如图三角形ABC为所示，当过A（－2,0）时取得最上值为－4二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为锐角，则___________参考答案：【分析】先求出，再利用两角和的正弦公式展开，带值计算即可.【详解】解：为锐角，则为钝角，则，，故答案为：.【点睛】本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，关键是要找到已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，是基础题.12.已知直角梯形ABCD中，,,,P是腰CD上的动点，则的最小值为____________.参考答案：13.已知复数（其中是虚数单位），满足，则实数

，

．参考答案：2

,

14.已知均为正数，且，则的最大值为

参考答案：15.已知数列的前项和为，且，，则满足的的最小值为

．参考答案：416.f(x)=若f(x)=10,则x=_________.参考答案：-317.已知圆的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为,则直线截圆所得的弦长是

.参考答案：圆的参数方程化为平面直角坐标方程为，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为，如右图所示，圆心到直线的距离，故圆截直线所得的弦长为三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=5，sinBsinC=，求△ABC的面积S．参考答案：【考点】：两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（I）化简已知等式可得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，即可解得cosA的值，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．（II）又由正弦定理，得?sin2A═．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，即可解得c的值，由三角形面积公式即可得解．解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．﹣﹣﹣﹣（2分）解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣（4分）因为0＜A＜π，所以A=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）又由正弦定理，得sinBsinC=sinA?sinA=?sin2A═．﹣（8分）解得：bc=，由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，所以c=4或c=﹣﹣﹣﹣（10分）所以可得：S=bcsinA=bc?=bc=5或S=﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．19.对于数列：，若不改变，仅改变中部分项的符号，得到的新数列称为数列的一个生成数列．如仅改变数列的第二、三项的符号可以得到一个生成数列．已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．⑴写出的所有可能值；⑵若生成数列满足：，求的通项公式；⑶证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为：．参考答案：（1）由已知，，，∴

……2分由于∴可能值为．

…4分

（2）∵，当时，，

…5分当时，……6分∵是的生成数列∴；；；∴……8分在以上各种组合中，当且仅当时，才成立。……………9分∴

………………10分（3）证法一：用数学归纳法证明：①时，，命题成立。

………………11分②假设时命题成立，即所有可能值集合为：由假设，=

………………13分则当，………………15分即或即

∴时，命题成立

……17分由①②，，所有可能值集合为。……18分

证法二：共有种情形。即

………………12分又，分子必是奇数，满足条件的奇数共有个。

………………14分设数列与数列为两个生成数列，数列的前项和，数列的前项和，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第项。由于，不妨设，则所以，只有当数列与数列的前项完全相同时，才有。……………16分∴共有种情形，其值各不相同。∴可能值必恰为，共个。即所有可能值集合为

…………18分

略20.（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2+sinBsinC=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求b+c的值．参考答案：【考点】三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）求出，即可求角A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，利用余弦定理及三角形的面积公式，求b+c的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，（2分）化简得，整理得，即，（4分）由于0＜B+C＜π，则，所以．（6分）（Ⅱ）因为，所以bc=2．（8分）根据余弦定理得，（10分）即7=（b+c）2﹣2，所以b+c=3．（12分）【点评】本题考查三角函数知识的运用，考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．参考答案：解析：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2则，独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有

,

.

据此算得

,

,

.

,

,

.

(Ⅰ)所求概率为.

(Ⅱ)解法一：的所有可能值为0，1，2，3，4，且

,

,

=

,

.

.综上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9从而，的期望为（株）解法二：分布列的求法同上令分别表示甲乙两种树成活的株数，则故有从而知22.如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

（1）求证：BD⊥FG；

（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．

（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．参考答案：方法一：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，

其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD

∴BD⊥平面APC，平面PAC，∴BD⊥FG

…………3分

（II）当G为EC中点，即时，FG//平面PBD，

…………4分

理由如下：

连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD，

故FG//平面PBD．

…………7分

（III）作BH⊥PC于H，连结DH，

∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，

…………9分

即

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角………10分

连结EH，则

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是

…………12分

方法二解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如