山西省大同市白洞矿中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析

山西省大同市白洞矿中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C【分析】画出几何体的直观图，判断出各面的形状，可得答案．【详解】三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD：由正方体的性质得为直角三角形，为正三角形故选：C【点睛】本题考查的知识点是简单几何体的直观图，数形结合思想，难度中档．2.实数x，y满足如果目标函数z=x—y的最小值为-2，则实数m的值为 A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：D略3.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（）． ． ． ．参考答案：D因为圆的标准方程为，圆心为,因为点弦的中点，所以,AP的斜率为，所以直线的斜率为2，所以弦所在直线方程为，即，选D.4.已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（） A．[﹣1，2] B． [﹣2，﹣1] C． [﹣1，1] D． [1，2]参考答案：分析： 求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出A与B的交集即可．解答： 解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1或x≥2，即A=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：B．点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5.已知函数[-1，0]上有解的概率为

A．

B．

C．

D．0参考答案：A6.满足条件的所有集合的个数是A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：D7.已知向量a、b，其中a=（-2，-6），b=

，a?b=-10，则a与b的夹角为A.1500

B.-300

C.-600

D.1200参考答案：D，所以向量与的夹角为．8.已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于

A．

B．

C．

D．

参考答案：A，要使复数为纯虚数，所以有，解得，选A.9.对于任意,函数表示中的较大者，则的最小值是（

）A2

B3

C8

D参考答案：A略10.设，则满足的最小正整数是

A、7

B、8

C、9

D、10参考答案：C要使

成立，只要比较函数上的整点与原点连线的斜率即可，函数上的横坐标为正数的整点分别为可得，所以最小正整数二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的实部为

▲

．参考答案：2分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则z的实部为2.

12.若表示圆，则的取值范围是

参考答案：或13.给出下列个命题：①若函数R）为偶函数，则；②已知,函数在上单调递减，则的取值范围是；③函数（其中）的图象如图所示，则的解析式为；④设的内角所对的边为若，则；⑤设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是.其中正确的命题为____________.参考答案：略14.设变量x，y满足约束条件，则的最小值为

．参考答案：略15.已知f(x)定义域为(a，b)，如果都有,则称f(x)为“周函数”。下列函数中，“周函数”有

（填序号）①，

②，③，④参考答案：

②③16.已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．参考答案：2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2?=3?2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．17.设集合A=，B=，则实数的值为______.参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数满足如下条件：当时，，且对任意，都有．（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求当，时，函数的解析式；（3）是否存在，，使得等式成立？若存在就求出（），若不存在，说明理由．参考答案：（1）时，，，

…………2分所以，函数的图象在点处的切线方程为，即．…3分（2）因为，所以，当，时，，

…………4分…6分（3）考虑函数，，，则，当时，，单调递减；当时，；当时，，单调递增；所以，当，时，，当且仅当时，．

……………10分所以，而，令，则，两式相减得，．所以，，故．

……………12分所以，．当且仅当时，．所以，存在唯一一组实数，，使得等式成立．

………………14分

略19.（12分）设函数f(x)=lnx+,m∈R.(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(Ⅱ)讨论函数g(x)=f'(x)-零点的个数;(Ⅲ)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.参考答案：【知识点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点．B12

【答案解析】（Ⅰ）2（Ⅱ）当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.(Ⅲ)[，+∞）解析：(Ⅰ)由题设,当m=e时,f(x)=lnx+,则f'(x)=,∴当x∈(0,e),f'(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减,当x∈(e,+∞),f'(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增,∴x=e时,f(x)取得极小值f(e)=lne+=2,∴f(x)的极小值为2.(Ⅱ)由题设g(x)=f'(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0),则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,∴φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),可知①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.(Ⅲ)对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【思路点拨】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。20.（本小题满分13分）已知函数，其中，的最小正周期为.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角的对边分别是、、，且满足，求函数的取值范围.参考答案：

………………3分（Ⅰ），

.由

得：.的单调递增区间是

……………7分（Ⅱ）由正弦定理：

，，

……………11分，

，.

……………13分21.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．参考答案：略22.如图，五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB=6，AD=4．顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6，EF=2，二面角F﹣BC﹣A的余弦值为，（1）在线段BC上是否存在一点N，使BC⊥平面EFN；（2）求平面EFB和平面CFB所成锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）存在，点N为线段BC的中点，使BC⊥平面EFN．由已知得EF∥AB，MN∥AB，从而EF∥MN，E，F，M，N四点共面，由此能证明BC⊥平面EFNM．（2）在平面EFNM内，过点F作MN的垂线，垂足为H，则二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠FNH，过H作边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，连接FN，FS，FQ，以H为坐标原点，以HS，HN，HF方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角B﹣EF﹣C的余弦值．【解答】解：（1）存在，点N为线段BC的中点，使BC⊥平面EFN．证明如下：∵EF∥平面ABCD，且EF?平面EFAB，又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB，∴EF∥AB（线面平行的性质定理）．又M，N是平行四形ABCD两边AD，BC的中点，∴MN∥AB，∴EF∥MN，∴E，F，M，N四点共面．∵FB=FC，∴BC⊥FN，又∴BC⊥MN，且，∴BC⊥平面EFNM．…（6分）（2）在平面EFNM内，过点F作MN的垂线，垂足为H，则由（1）知：BC⊥平面EFNM，则平面ABCD⊥平面EFNM，所以FH⊥平面ABCD，又因为FN⊥BC，HN⊥BC，则二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠FNH，在Rt△FNB和Rt△FNH中，FN==，HN=FN?cos∠FNH==2．FH=8，过H作边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，连接FN，FS，FQ，以H为坐标原点，以HS，HN，HF方向为x