高中数学北师大版2第五章数系的扩充与复数的引入

章末分层突破[自我校对]①－1②a＝c，b＝d③z＝a－bi④Z(a，b)⑤eq\o(OZ,\s\up8(→))⑥a＋c⑦(b＋d)i⑧(a－c)＋(b－d)i复数的概念正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数.【精彩点拨】根据复数的分类列方程求解.【规范解答】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，①,log2（x－3）＝0，②,x－3>0，③))由②得x＝4，经验证满足①③式.所以当x＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，①,log2（x－3）≠0，②,x－3>0，③))由①得x>eq\f(3＋\r(21),2)或x<eq\f(3－\r(21),2).由②得x≠4，由③得x>3.所以当x>eq\f(3＋\r(21),2)且x≠4时，z为虚数.[再练一题]1.(1)设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A.－3 B.－1 (2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________.【解析】(1)因为a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(10（3＋i）,（3－i）（3＋i）)＝a－eq\f(10（3＋i）,10)＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－b＝－3，,a＋1＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故复数z的实部是1.法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝eq\f(－3＋2i,i)＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1.【答案】(1)D(2)1复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·eq\o(z,\s\up8(－))为实数.(1)设i是虚数单位，eq\o(z,\s\up8(－))表示复数z的共轭复数.若z＝1＋i，则eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up8(－))＝()A.－2 B.－2i (2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()＋3i －3i＋2i －2i【精彩点拨】(1)先求出eq\o(z,\s\up8(－))及eq\f(z,i)，结合复数运算法则求解.(2)利用方程思想求解并化简.【规范解答】(1)∵z＝1＋i，∴eq\o(z,\s\up8(－))＝1－i，eq\f(z,i)＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(－i2＋i,i)＝1－i，∴eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up8(－))＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋eq\f(5,2－i)＝2i＋eq\f(5（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝2i＋2＋i＝2＋3i.【答案】(1)C(2)A[再练一题]2.已知(1＋2i)eq\o(z,\s\up8(－))＝4＋3i，则eq\f(z,\o(\s\up5(-),z))的值为()\f(3,5)＋eq\f(4,5)i \f(3,5)－eq\f(4,5)iC.－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i D.－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i【解析】因为(1＋2i)eq\o(z,\s\up8(－))＝4＋3i，所以eq\o(z,\s\up8(－))＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(（4＋3i）（1－2i）,5)＝2－i，所以z＝2＋i，所以eq\f(z,\o(\s\up5(-),z))＝eq\f(2＋i,2－i)＝eq\f(（2＋i）2,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i.【答案】A复数的几何意义1.复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示.此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.2.复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变.(1)在复平面内，复数eq\f(i,1＋i)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)在复平面内，复数eq\f(1－2i,2＋i)对应的点的坐标为()A.(0，－1) B.(0，1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))【精彩点拨】先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标.【规范解答】(1)复数eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(1＋i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i.∴复数对应点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))).∴复数eq\f(i,1＋i)在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.(2)∵eq\f(1－2i,2＋i)＝eq\f(（1－2i）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(－5i,5)＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A.【答案】(1)A(2)A[再练一题]3.(1)已知复数z对应的向量如图5­1所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是()图5­1(2)若i为虚数单位，图5­2中复平面内点Z表示复数z，则表示复数eq\f(z,1＋i)的点是()图5­2【解析】(1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z＝3＋i，所以eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1).【答案】(1)A(2)D转化与化归思想一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.设z∈C，满足z＋eq\f(1,z)∈R，且z－eq\f(1,4)是纯虚数，求z.【精彩点拨】本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.【规范解答】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋eq\f(1,z)＝x＋yi＋eq\f(1,x＋yi)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(x,x2＋y2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y,x2＋y2)))i，∵z＋eq\f(1,z)∈R，∴y－eq\f(y,x2＋y2)＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1，又∵z－eq\f(1,4)＝x＋yi－eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))＋yi是纯虚数.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)＝0，,y≠0，))∴x＝eq\f(1,4)，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±eq\f(\r(15),4)，∴复数z＝eq\f(1,4)±eq\f(\r(15),4)i.[再练一题]4.满足z＋eq\f(5,z)是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由.【解】设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，则z＋eq\f(5,z)＝x＋yi＋eq\f(5,x＋yi)＝x＋eq\f(5x,x2＋y2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)))i，z＋3＝x＋3＋yi.由已知，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)＝0，,x＋3＝－y，))因为y≠0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,x＋y＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1.))所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件.1.(2023·全国卷Ⅱ)设复数z满足z＋i＝3－i，则eq\o(z,\s\up8(－))＝()A.－1＋2i －2i＋2i －2i【解析】由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴eq\o(z,\s\up8(－))＝3＋2i，故选C.【答案】C2.(2023·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则eq\o(z,\s\up8(－))＝()－3i ＋3i＋2i －2i【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴eq\o(z,\s\up8(－))＝2－3i.【答案】A3.(2023·安徽高考)设i是虚数单位，则复数eq\f(2i,1－i)在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(2（i－1）,2)＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1，1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】B4.(2023·山东高考)若复数z满足eq\f(\o(\s\up5(-),z),1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝()－i ＋iC.－1－i D.－1＋i【解析】由已知得eq\o(z,\s\up8(－))＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.【答案】A5.(2023·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A.－3 B.－2 【解析】(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.【答案】A章末综合测评(五)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知a，b∈C，下列命题正确的是()<5i ＝0⇔|a|＝0C.若|a|＝|b|，则a＝±b ≥0【解析】A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))，但i≠－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i或eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.【答案】B是虚数单位，则eq\f(i,1＋i)的虚部是()\f(1,2)i B.－eq\f(1,2)i\f(1,2) D.－eq\f(1,2)【解析】eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(1＋i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i.【答案】C\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋i)))＝()\r(2) \r(2) 【解析】由eq\f(2,1＋i)＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(2－2i,2)＝1－i，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋i)))＝|1－i|＝eq\r(2).故选C.【答案】C4.eq\o(z,\s\up12(-))是z的共轭复数.若z＋eq\o(z,\s\up12(-))＝2，(z－eq\o(z,\s\up12(-)))i＝2(i为虚数单位)，则z＝()＋i B.－1－iC.－1＋i －i【解析】法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则eq\o(z,\s\up12(－))＝a－bi，∵z＋eq\o(z,\s\up12(－))＝2a＝2，∴a＝1.又(z－eq\o(z,\s\up12(－)))i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.法二：∵(z－eq\o(z,\s\up12(－)))i＝2，∴z－eq\o(z,\s\up12(－))＝eq\f(2,i)＝－2i.又z＋eq\o(z,\s\up12(－))＝2，∴(z－eq\o(z,\s\up12(－)))＋(z＋eq\o(z,\s\up12(－)))＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.【答案】D5.复数eq\f(i,1－i)的共轭复数为()【导学号：94210087】A.－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i \f(1,2)＋eq\f(1,2)i\f(1,2)－eq\f(1,2)i D.－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i【解析】∵eq\f(i,1－i)＝eq\f(i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(－1＋i,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴其共轭复数为－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.故选D.【答案】D6.下面是关于复数z＝eq\f(2,－1＋i)的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()，p3 ，p2，p4 ，p4【解析】∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(（－1）2＋（－1）2)＝eq\r(2)，∴p1是假命题；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵z＝－1＋i，∴p3是假命题；∵z的虚部为－1，∴p4是真命题.其中的真命题为p2，p4.【答案】C7.复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i，3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是()A.－2＋3i B.－3－2i－3i －2i【解析】设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2＋（－2）,2)＝\f(3＋x,2)，,\f(3＋（－3）,2)＝\f(2＋y,2)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，))∴D(－3，－2)，∴对应复数为－3－2i.【答案】B8.若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则()＝－1 ≠－1且a≠2≠－1 ≠2【解析】要使复数不是纯虚数，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－a－2≠0，,|a－1|－1≠0，))解得a≠－1.【答案】C9.若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)，又∵a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.∴复数对应的点在第四象限.故选D.【答案】D10.如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|<2，那么实数a的取值范围是()A.(－2eq\r(2)，2eq\r(2)) B.(－2，2)C.(－1，1) D.(－eq\r(3)，eq\r(3))【解析】因为|z－2|＝|3＋ai－2|＝|1＋ai|＝eq\r(1＋a2)<2，所以a2＋1<4，所以a2<3，即－eq\r(3)<a<eq\r(3).【答案】D11.若1＋eq\r(2)i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则()＝2，c＝3 ＝－2，c＝3＝－2，c＝－1 ＝2，c＝－1【解析】因为1＋eq\r(2)i是实系数方程的一个复数根，所以1－eq\r(2)i也是方程的根，则1＋eq\r(2)i＋1－eq\r(2)i＝2＝－b，(1＋eq\r(2)i)(1－eq\r(2)i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.【答案】B12.设z是复数，则下列命题中的假命题是()A.若z2≥0，则z是实数B.若z2<0，则z是虚数C.若z是虚数，则z2≥0D.若z是纯虚数，则z2<0【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2≥b2，))故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确.选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2<b2，))则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))故z一定为虚数，正确.选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误.选项D，若z为纯虚数，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b≠0，))则z2＝－b2<0，正确.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.(2023·重庆高考)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq\r(3)，则(a＋bi)(a－bi)＝________.【解析】∵|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.【答案】3为正实数，i为虚数单位，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝2，则a＝__________.【解析】eq\f(a＋i,i)＝eq\f(（a＋i）·（－i）,i·（－i）)＝1－ai，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝|1－ai|＝eq\r(a2＋1)＝2，所以a2＝3.又a为正实数，所以a＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)15.设a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________.【导学号：94210088】【解析】a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(（11－7i）（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.【答案】816.若复数z满足|z－i|≤eq\r(2)(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________.【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤eq\r(2)可得eq\r(x2＋（y－1）2)≤eq\r(2)，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0，1)为圆心，eq\r(2)为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.【答案】2π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)计算：(1)(eq\r(2)＋eq\r(2)i)2(4＋5i)；(2)eq\f(2＋2i,（1－i）2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1＋i)))eq\s\up12(2016).【解】(1)(eq\r(2)＋eq\r(2)i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.(2)eq\f(2＋2i,（1－i）2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1＋i)))eq\s\up12(2023)＝eq\f(2＋2i,－2i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2i)))eq\s\up12(1008)＝i(1＋i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,i)))eq\s\up12(1008)＝－1＋i＋(－i)1008＝－1＋i＋1＝i.18.(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，①,（2x＋ay）－（4x－y＋b）i＝9－8i，②))有实数解，求实数a，b的值.【解】由①得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,y－3＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4，))将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b)i＝9－8i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋4a＝9，,－（6＋b）＝－8，))所以a＝1，b＝2.19.(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数.(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数.(3)当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2－3k－4＝0，,k2－5k－6≠0，))即k＝4时，z是纯虚数.(4)当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2－3k－4＝0，,k2－5k－6＝0，))即k＝－1时，z是0.20.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝eq\r(2)，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积.【解】(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.21.(本小题满分12分)已知复数z1＝eq\r(5)i，z2＝eq\r(2)－eq\r(3)i，z3＝2－i，z4＝－eq\r(5)在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.(1)求证：A，B，C，D四点共圆；(2)已知eq\o(AB,\s\up12(→))＝2eq\o(AP,\s\up12(→))，求点P对应的复数.【解】(1)证明：∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝eq\r(5)，即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，∴A，B，C，D四点都在圆x2＋y2＝5上，即A，B，C，D四